Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері. Есептеу әдістері.
Қисықсызықты трапецияның ауданы туралы есеп.
a
b
x
y
0
a
b
x
y
0
1. [a, b] кесіндісін n теңдей бөліктерге бөлеміз
Нәтижесінде аралықтарды аламыз:
2. Әрбір
Үшін кез келген нүктені аламыз
3. Табамыз
…
=
=
(1)
Интегралдық қосындының формуласы
Анық: Егер [a, b] кесіндісін бөлгенде нүктесінің кез келген нүктесін алғанда әрбір бөлігінде интегралдық қосындының шегі бар болатын болса және сол шекке ұмтылатын болса, онда оны анықталған интеграл деп аталады және былай белгілейді:
(2)
Теорема: Егер функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз болса, ал функциясы осы кесіндіде функциясының алғашқы функциясы болса, онда келесі формуламен анықталады :
(3)
Ньютон-Лейбниц формуласы
И. Ньютон
Г. Лейбниц
Анықталған интегралдың қасиеттері:
Анықталған интегралдың қасиеттері:
1)
3)
Тұрақты көбейткішті анықталған интеграл белгісінің алдына шығаруға болады.
2)
Егер интегралдаудың
аралығын бөлік аралықтарының
ақырлы санына бөлсек, онда
алынған анықталған интеграл барлық бөлік аралықтары
бойынша алынған анықталған интегралдардың қосындысына тең
аралығы бойынша
Интегралдаудың шектерін алмастырғанда анықталған интегралдың таңбасы кері ауысады.
5)
Анықталған интегралдың төменгі шегі жоғарғы шегіне тең болса, онда интеграл нөлге тең, яғни
4)
Мысалы:
Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру
ТЕОРЕМА. кесіндісінде функциясының туындысы, және болғанда әрбір х нүктесінде функциясы үзіліссіз болсын, мұнда . Онда
теңдігі орындалады.
Бұл анықталған интегралда айнымалыны алмастыру формуласы деп аталады.
Мысал.
.
есептеңдер
Анықталған интегралда бөліктеп интегралдау формуласы
ТЕОРЕМА.
мұнда
кесіндісінде
.(1)
және
функцияларының туындылары үзіліссіз болсын. Онда
Формула (1) анықталған интеграл үшін бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.