Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

114
Теорема.
1.  Ромбының  ауданы. 
Ромб  —  параллелограмм  болғандықтан,  қа­
бырғасы
 а
 және биiктiгi 
h
 болатын ромбының ауданы  
S 
=
 ah
н
 
  
формуласы бойынша есептеп шығарылады.
Бiзге мәлiм болғанындай, ромбының барлық биiктiктерi өзара тең.
Бұдан тыс ромбының ауданын диагональдары арқылы да есептеп табуға 
болады.
  
Ромбының ауданы оның диагональдары көбейтiндiсiнiң жартысына тең:
=
⋅
1
2
1
2
S
d
d
,
бұндағы 
d
1
 және 
d
2
 – ромбының диагональдары.
Дәлелдеу. 
Белгiлi  болғанындай,  ромбының  АС  диагоналi  оны  өзара 
тең  екi  тең  бүйiрлi  үшбұрышқа  бөледi  (1­сурет).  Ал  екiншi  диа го налi 
бiрiншiсiне  перпендикуляр  болғандықтан,  пайда  болған  үшбұ рыш тар дың 
биiктiктерiнiң қосындысына тең болады. Сондықтан да ром бы ның ауданы: 
(
)
1
1
1
2
2
2
ABCD
ABC
ADC
S
S
S
S
AC BO
AC DO
AC BO
DO
+
=
=
+
=
⋅
⋅
=
⋅
+
=
1
1
1
2
2
2
.
AC BD
d
d
=
⋅
=
⋅
Демек, 
1
2
1
2
S
d d
=
⋅
. 
 
Теорема дәлелдендi.
1-есеп.
 
ABCD
 ромбының қабырғасы 
a
­ғa, ал сүйiр бұрышы α ­ға тең. 
Осы  ромбының  ауданын  табыңдар.  α  =  30º­та  оның  ауданы  қандай  бола­
тынын табыңдар. 
Шешуі.
  1) 
ABCD
  ромбыда 
AB
 = 
BC
 = 
CD
 = 
AD
 = 
a
, 
∠
A
 = α  болсын. 
BP
⊥
AD-
ны  жүргіземіз  (2­сурет).  Ондай  жағдайда 
h
н
  биіктік  тікбұрышты   
ABP
 үшбұрышының α сүйір бұрышының қарсысында жатқан катет бо ла ­
ды. 
h
а
 
­ны α бұрыштың синусымен өрнектейміз: 
h
а
 
= 
a 
sin
 
α. Ромбы ның ау­
данын есептеу формуласы 
S
 = 
ah
а 
­қa 
h
а
­ның осы өрнегін қойып, мына  фор­
муланы шығарамыз:  
S
 = 
a
2
 
sinα.
49–50. РОМБ ПЕН ТРАПЕЦИЯНЫҢ АУДАНЫ 
B
A
P
D
1
D
A
C
O
AC
 = 
d
1
 
  
BD
 = 
d
2
h
a
B
C
a
 = 
AB
 =  
BC
 = 
CD
 =  
AD
BP 
⊥
 AD
, 
 AP
 =  
h
н
,
 
 
∠
A 
= 
α
.
α
2
http:eduportal.uz

115
Теорема.
2) Ромбының ауданын  
S
 = 
a
2
 
sinα формуласын пайдаланып табамыз:
S
 = 
a
2
 
sin30° = 
a
2
 
· 0,5 = 0,5
a
2 
(кв. бірл.).
Жауабы:
 
S 
=
 
0,5
a
2
 кв. бірл.
2-есеп.
  Ромб  диагональдарының  бiреуi  екiншiсiнен  1,5  есе  үлкен, 
ал  ромбының  ауданы  27  см
2
­қа  тең.  Осы  ромбының  диагональдарын  та­
быңдар.
Берілгені:
 
ABCD
 – ромб; 
S
ABCD
 = 27 см
2
; 
AC
 = 1,5
BD
 (1­суретке
 
 қ.)
Табу керек:
 
AC
, 
BD.
Шешуі.
 
BD
 = 
x
 см болсын, ондай жағдайда  
AC
 = 1,5
x
 см болады.
=
⋅
1
2
ABCD
S
AC BD
.
 
Бұған  тиiстi  белгiлердi  қоямыз: 
1
2
27
1,5
x x
= ⋅
⋅
. 
Бұл жағдайда 
х
2
 = 36 болады,  бұдан 
х
 = 6 (см) келiп шығады. Сонымен  
ВD 
= 6 см және  
AC
 = 1,5
 
·
 
6 = 9 (см).                            
Жауабы:
 9 см, 6 см.
2. Трапециянын ауданы. 
Әрбiр  көпбұрышты  диагональдар  жүргiзу 
арқылы  үшбұрыштарға  бөлуге  болатыны  белгiлi.  Бұдан  кез  келген 
көпбұрыштың  ауданын  есептеу  үшiн  оны  алдымен  үшбұрыштарға 
бөлiп аламыз. Содан соң үшбұрыштардың ауданы есептеледi. Ал көпбұ­
рыштың  ауданы  оны  құраған  бiр­бiрiн  қаптамайтын  үшбұрыштардың 
аудандарының  қосындысына  тең  болады.  Параллелограмм  мен  трапе­
ция ның аудандарын есептеуде осындай тәсiлдi пайдаланамыз.
Трапецияның ауданы оның табандарының жарым қосындысы мен 
биiктiгiнiң көбейтiндiсiне тең болады:
                                       
S = –––  .h
 
,
a+b
  2
бұндағы 
a
 және 
b
 – трапецияның табандары, 
h
 – биiктiгi.
Дәлелдеу.
 Табандары 
AD
 = 
a
, 
BC
 = 
b
 және 
биіктігі 
CE
 = 
h
  (
CE 
⊥
 
AD
)  болатын 
ABCD
 
трапецияны қарастырайық (3­ сурет).
Трапецияның 
AC
 диагоналiн жүргiземiз. 
Бұнда 
ABCD
 трапеция 
ABC
 және 
ACD
 үш­
бұ рыштарға бөлiнедi. Трапецияның ауда ны 
бұл үшбұ рыштардың аудандарының қо сын­
дысына тең болады.
Параллель түзулер арасындағы қашықтық тұрақты болғандықтан, 
ABC
 
және 
ACD
 үшбұрыштарының биiктiктерi өзара тең. 
Бұдан 
1
1
2
2
ABC
S
BC CE
b h
=
⋅
=
⋅
 және
 
1
1
2
2
ACD
S
AD CE
a h
=
⋅
=
⋅
.
Трапецияның ауданы 
S
 = 
S
ABC
 + 
S
ACD
,  яғни:
1
1
2
2
S
a h
b h
=
⋅ +
⋅
 
немесе
2
a
b
S
h
+
=
⋅
.
     
Теорема дәлелдендi.
A
E
D
B
h
C
a
b
3
http:eduportal.uz

116
Салдар. 
Трапецияның  ауданы  оның  орта  сызығы  мен  биiктiгiнiң 
көбейтiндiсiне
 
тең.
Бұл салдар трапецияның орта сызығы оның табандары қосын дысының 
жартысына теңдiгiнен келiп шығады.
3-есеп.
 Трапецияның табандары 15 см­ге және 30 см­ге, ал ауданы 225 
см
2
­қа тең.  Осы трапецияның биiктiгiн табыңдар.
Шешуі.
 Трапецияның орта сызығы 
15 30
45
2
2
2
22,5
a b
+
+
=
=
=
(см)­ге тең. 
Демек,  трапецияның биiктiгi төмендегiдей:
tr.
2
:
225 : 22,5 10
a b
h
S
+
=
=
=
 
(см).   
Жауабы:
 
 
h 
= 10 см. 
4-есеп.
  Трапецияның  орта  сызығынан  өтiп,  табандарын  қиятын  түзу 
бұл трапецияны екi теңауданды бөлiкке бөлетiнiн дәлелдеңдер.
Дәлелдеу.
  
АВСD
 — берiлген трапеция 
(АD || ВС), ЕF
 — оның орта сызығы, 
ал 
МN
 – орта сызықтың  
О
 нүктесi арқылы өтетiн және табандарын 
М 
және 
N
 нүктелерiнде қиятын түзу болсын делiк (4­сурет). 
АВМN
 және 
МNDС
 
трапециялары  сәйкесiнше  өзара  тең 
ЕО
  және 
ОF
  түзулерiне,  сондай­ақ 
берiлген  трапецияның  биiктiгiне  тең  болатын  биiктiкке  ие.  Демек,  бұл 
трапециялардың аудандары да тең, өйткенi олар теңауданды болып табылады:
S
АВМN
 = S
MNDC
.
Бiзден осыны дәлелдеу талап етiлген болатын.
5-есеп.
 Тең бүйiрлi трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр 
болса,  ондай  жағдайда  трапецияның  биiктiгi  оның  орта  сызығына,  ал 
ауданы  биiктiгiнiң  квадратына  тең  болады. 
Осыны дәлелдеңдер.
Берiлгенi:
  
АВСD
 — тең бүйiрлi трапеция 
(АВ  = DС),  АС 
⊥
 
ВD, АD = а, ВС = b
 болсын 
(5­сурет).
Дәлелдеу   керек:
  1)
2
a
b
h
+
=
;   
 2)
( )
2
2
tr.
2
a b
S
h
+
=
=
.
Шешуі
.    1)  ∆ 
АОD
  —  тең  бүйiрлi,    тiк  
бұрышты.  Сондықтан  
∠
АDО
 = 45°.
2) 
 В
 төбеден 
ВР
 
⊥
 
АD
­ны жүргіземіз. Пайда 
болған 
ВРD
 үшбұрышы тең бүйiрлi және тік 
бұрышты, өйткенi 
 ∠
АDО= 
= 45°.  Бұдан:  
DР 
= ВР
. Бiзге белгiлi болғанындай, тең бүйiрлi  
трапецияның кiшi табаны төбесiнен өткiзiлген 
биiктiктiң қасиетiне орай: 
A
N
D
F
O
B
E
M
C
4
A
P
D
O
B
C
h
45°
45°
5
http:eduportal.uz

117
2
a b
BP
DP
+
=
=
.
3) 
2
tr.
2
a b
S
h
h h
h
+
=
⋅ = ⋅ =
 немесе 
( )
2
tr.
2
2
2
2
a b
a b a b
a b
S
h
+
+
+
+
=
⋅ =
⋅
=
.
Сонымен  тең  бүйірлі  трапецияның  диагональдары  өзара  пер­
пендикуляр болғанда, оның биіктігі орта сызығына, ал ауданы биік тігінің 
квадратына теңдігі толық дәлелденді.
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
?
 1. 
1)  Қабырғасы  және  биiктiгi  белгiлi  ромбының  ауданын  қалай  табуға 
болады?
 
2) Диагональдары берiлген ромбының ауданы қалай табылады? Оны 
өрнектеңдер.
 
3) Трапецияның ауданы неге тең болады?
 2. 
Ромбының  ауданы  40  см
2
,  ал  биiктiгi  5  см­ге  тең.  Осы  ромбының 
периметрiн табыңдар.
 3. 
Егер ромбының: 1) биіктігі 16 см, ал сүйiр бұрышы 30°; 2) қабырғасы 
1,8 дм, сүйiр бұрышы 30°­қа тең. Осы ромбының ауданын табыңдар.
 4. 
Ромбының ауданы 60 см
2
, диагональдарының бiреуi 10 см­ге тең. Осы 
ромбының екiншi диагоналiн табыңдар.
 5. 
Ромбының ауданы 30 см
2
, ал периметрi 24 см­ге тең. Осы ромбының 
биiктiгiн табыңдар. 
 6. 
Берілгені:
 
ABCD
  —  ромб. 
∠
BAD
 = 60°, 
BP
 
⊥
 AD
, 
BP 
= 12 см (6­сурет). 
 
Табу керек: S
.
 
Шешуі.
  Тік  бұрышты 
BPA
  үшбұрышын 
қарастырамыз. Сүйір бұрыш синусының 
анық тамасына  орай: 
sin
BP
AB
A
=
.  Бұған 
берілгендерді қойып,  
АВ
­ны табамыз:
12
3
2
24
sin
sin 60
2
3
3
sin
12 :
12
BP
BP
AB
A
A
AB
°
=
⇒
=
=
=
=
⋅
=
 (см).
  Қабырғасы  мен  сүйір  бұрышына  орай  ромбының  ауданын  табу 
форму ласына 
 
24
3
AB
a
= =
,
 
3
2
sin 60
° =
 
мәндерін қойып, төмендегіні таба­
мыз:
 
2
2
3
3
24
2
2
3
576
sin 60
96 3
3
S
a






=
⋅
° =
⋅
=
⋅
=
 
(см
2
).
 
Жауабы:
96 3
 см
2
.
A
P
D
B
C
6
60°
http:eduportal.uz

118
A
B
C
F
D
45°
7
 7. 
Диагональдары: 1) 1,5 дм және 1,8 дм; 2) 24 см және 15 см; 3) 3,2 см және 
0,5 дм болатын ромбының ауданын табың дар.
 8. 
1) Трапецияның табандары 11 см­ге және 18 см­ге, ал биiктiгi 6 см­ге 
тең. Осы трапецияның ауданын табыңдар.
 
2)  Трапецияның  табандары  26  см,  биiк тiгi    10  см,  ауданы  болса  200 
см
2
. Осы трапецияның екінші табанын табыңдар.
 9. 
ABCD
  тiк  бұрышты  трапециясында 
AB
 = 
BC 
= 18  см, 
∠
D
 = 45°  (7­су­
рет).  Тра пе цияның  ауданын  табыңдар.  Бос 
орындарға сәйкес жауаптарды жазыңдар.
 
Шешуі. 
CF 
⊥ 
AD
­ны 
жүргiземiз. 
1)   
АВСF
  —  квадрат,  өйткенi 
АВСF
  төрт­
бұрышының  сыбайлас  қабырғалары 
АВ
  және 
..., сондықтан  
АF = СF
 = ...(см).
   2) 
∆
СFD
 — тiк бұрышты, жасалуына қарай 
∠
F
 = 90° және шартына қарай  
∠
D
 = 45°, сон­
дықтан да   
∠
DСF
 = ...° , демек,  ∆
СFD
 — ... 
және 
DF
 =  ... =  ... см.
 
  
3)
 AD
 = 
AF
 + ... = ... + ... = ... (см) және 
S
ABCD
 
=
 ... · ... 
=
 ... · ... 
= 
... 
(см
2
). 
 
Жауабы:
  ... 
см
2
.
10. 
Ромб бұрыштарының қатынасы 1 : 5 ­ке, ал қабырғасы  
а
 ­ға тең. Осы 
ромбының ауданын табыңдар.
11. 
ABCD
  трапециясында: 
20 2
AD
=
 
см, 
10 2
BC
=
 
см, 
AC
 = 24  см, 
∠
CAD
 = 45° (8­сурет). Трапецияның ауданын табыңдар.
12. 
Диагональдары:  1)  3,5 дм және 1,4 дм;   2) 28 см және 17 см; 3)  4,2 см 
және 1,5 дм болған ромбының ауданын табыңдар.
13. 
Тең  бүйірлі  трапецияның  диагональдары  өзара  перпендикуляр  және 
биіктігі 5 см­ге тең.  Осы трапецияның ауданын табыңдар.
14. 
Тең бүйірлі трапеция пішініндегі ордың көлденең қимасының ауданын 
табыңдар (9­сурет).     
15. 
Трапецияның табандары 16 см және 12 см. Диагональдарының қиылы­
су нүктесінен табандарына дейінгі қашықтық 6 см­ге және 4 см­ге тең 
(10­сурет). Осы трапецияның ауданын табыңдар.
A
P
B
C
D
A
F
D
B
E
C
O
1,2 м
8
9
10
0,6 м
1,8 м
http:eduportal.uz

119
51. 
КӨПБҰРЫшТЫҢ АУДАНЫ
Көпбұрыштың  ауданын  есептеу  үшiн  оны 
өзара  қиылыспайтын,  яғни  ортақ  iшкi  нүктелерi 
бол майтын үшбұрыштарға бөлу арқылы олардың 
аудандарының қосындысын табуға болады. Дөңес 
көпбұрышты үшбұ рыштарға бөлу үшiн, мысалы, 
оның  бiреуiнiң  төбесiнен  диагональдар  жүргiзу 
мүмкiн (1­
а
  сурет). Кейбiр жағдайда басқаша бөлу­
дi пайдаланған ыңғайлы (1­
б
  сурет). 
1-есеп.
 
ABCDE
  көпбұрыштың 
BD 
|| 
AE
, 
CP 
⊥
 AE
 
екендiгi белгiлi  (2­сурет)
   S
ABCDE
 = 0,5(
BD
 ·
 CP
 + 
AE
 ·
 OP
) болатынын дәлелде.
Дәлелдеу.
 Берiлген пiшiннiң трапециядан және 
үшбұрыштардан  құрал ғанын  байқау  қиын  емес. 
Сондықтан ауданның  қасиетi бойынша: 
S
ABCDE
 
= 
S
BCD
 + 
S
ABDE
 = 0,5
BD
 ·
 CO
 + 0,5(
AE
 + 
BD
) ·
 OP
 =
= 0,5(
BD
 
·
 CO
 + 
AE
 ·
 OP
 + 
BD
 ·
 OP
) = 0,5(
BD
 ·
 
(
CO
 + 
OP
) +
+ 
AE
 ·
 OP
) = 0,5(
BD
 ·
 CP
 + 
AE
 ·
 OP
).
Демек, 
S
ABCDE
 = 0,5(
BD
 ·
 CP
 + 
AE
 ·
 OP
).
2-есеп.
 
AC
  және 
BD
  – 
ABCD
  төртбұрыштың  диагональдары, 
O 
— 
диагональдарының  қиылысу  нүктесi  (3­сурет).  Егер 
S
AOB
 
=
 
S
1
, 
S
BOC
 
=
 
S
2
, 
S
COD
 
=
 
S
3
 және 
S
AOD
 
=
 
S
4
 болса, 
S
1 
·
 S
3
 
=
 
S
2 
·
 S
4
  болатынын дәлелде.
Дәлелдеу.
 1) 
AE
 
⊥
 BD
 және 
CF
 
⊥
 BD
­ларды жүргiземiз.
2) 
1
4
0,5
0,5
S
OB AE
OB
S
OD AE
OD
⋅
⋅
=
=
  (1)  және 
2
3
0,5
0,5
S
OB CF
OB
S
OD CF
OD
⋅
⋅
=
=
  (2). 
3) (1) және (2)­ден табамыз: 
1
2
1
3
2
4
4
3
S
S
S
S
S S
S
S
=
⇒
⋅
=
⋅
.
a
ә
1
B
D
A
P
C
E
O
C
D
B
A
E
F
O
2
3
S
1
S
2
S
4
S
3
http:eduportal.uz

120
3-есеп.
 
BC
  және 
AD
 — 
ABCD
  трапецияның  табандары, 
O
 — 
AC
  жә не 
BD
 диагональдарының қиылысу нүктесi (4­сурет). 
AD
 = 
a
, 
BC
 = 
b
.
S
AOB
 = 
S
1
, 
 S
BOC
 = 
S
2
, 
 S
COD
 = 
S
3
 және
 S
AOD
 = 
S
4
 болса, төмендегіні дәлелде:
1)
4
2
3
1
S
S
S
S
⋅
=
=
;     2) 
(
)
2
tr.
2
4
S
S
S
=
+
.
Дәлелдеу. 
1)
1
2
3
2
1
3
1
2
ABC
DBC
S
S
bh
S
S
S
S
S
S
=
=
⇒
+
=
+
⇒
=
.
2)  Бiзге 
S
1 
·
 S
3
 = 
S
2 
·
 S
4
  екендiгi  белгiлi. 
S
1
 = 
S
3
­ті  назарға  алсақ,  
S
1
 = 
S
3
 =
2
4
S
S
⋅
  келiп шығады. Есептiң бiрiншi бөлiгi дәлелдендi.
3)  Трапецияның ауданы төрт үшбұрыш аудандарының қосындысына тең 
болатынын және жоғарыдағы салдарларды назарға алып, келтiрiп шы ға рамыз:
=
+
+
=
+
+
+
=
4
1
2
4
3
2
1
tr.
2
S
S
S
S
S
S
S
S
( )
( ) (
)
2
2
2
2
2
4
4
2
4
2
S
S
S
S
S
S
=
+
⋅
+
=
+
.
Демек,
(
)
2
tr.
2
4
S
S
S
=
+
.  Есеп тiң екiншi бөлiгi дәлелдендi.
4-есеп.
  Параллелограммен  табаны  және  биiктiгi  ортақ  үшбұрыштың 
ауданы параллелограмм ауданының жартысына тең болады.
Дәлелдеу.
 
AD
  табан  және 
h
  биіктік 
ABCD
  параллелограмы  және 
APD
 
үшбұрышы үшін ортақ (5­сурет). 
S
APD
 = 0,5
S
ABCD
 екенін дәлелдейміз.  
S
ABCD
 = 
ah
  (1)  жана 
S
APD
 = 0,5
ah
  (2)  болғаны  белгілі.  (2)  теңдеудегі 
ah 
­тың орнына 
S
ABCD
 ­ті қойып, табамыз:  
S
APD
 = 0,5
ah
 = 0,5
S
ABCD
.
Ескерту!
 
 Жоғарыда келтiрiлген есептi төмендегiдей шешуге де болады:
Үшбұрышпен табаны және биiктiгi ортақ параллелограмның ауданы 
үшбұ рыштың ауданынан екi есе үлкен.
5-есеп.
 Дөңес төртбұрыштың төбе лерi арқылы оның диагональдарына 
параллель түзулер жүргiзiлсе, онда пайда болған параллелограмның ауданы 
бе рiлген төртбұрыштың ауданынан екi есе үлкен болатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеу. 
 
АВСD
 — берiлген дөңес төртбұрыш, 
О — АС
 және 
ВD 
диа­
гональдарының қиылысу нүктесi, 
h
1
 мен 
h
2
 — төртбұрыштың 
В  
және 
D 
төбе лерiнен 
АС
 диагоналiне түсiрiлген биiктiктер,  
ЕFРQ
 — төртбұрыштың 
тө белерi арқылы оның диагональдарына параллель жүр гi зiлген түзулердiң 
қиылысуынан пайда болған па рал лелограмм (6­сурет). 
S
ЕFРQ
 = 2
S
АВСD
 екенiн 
дәлелдеймiз.
A
D
B
C
O
S
1
S
2
S
4
S
3
h
4
Q
A
B
P
C
D
h
AD
 
=
 
a
PQ
 
⊥
 AD
PQ
 
=
 
h
5
http:eduportal.uz

121
Жасалуына қарай, параллелограмның 
ЕF
 және 
QP
 қабырғалары 
АС 
диагоналiне параллель әрi тең 
болып табылады. Сондықтан 
АС 
диагоналi пайда 
болған 
ЕFРQ
  параллелограмын  екiге  — 
АЕFС 
және 
АСРQ 
параллелограмдарына бөледi.
Жо ғ а р ы д а   ке л т i р i л г е н   е с ке р т уд е г i 
қорытындыны қолданып,  
S
EFPQ
 
=
 
=2
S
ABCD
 
екенiн 
дәлелдеймiз: 
S
EFPQ
    = S
AEPC 
+ S
ACPO 
 = 2S
ABC 
+ 2S
ADC
  =2(S
ABC 
+ S
ADC
) = 2S
ABCD 
.
 Демек,  
S
EFPQ 
= 2
S
АВСD
.
 1. 
7­суреттегі пішіннің ауданын табыңдар.
 
Шешуі.  
Суретте кескінделген пішіннің ауда­
нын
  А  
және 
 В  
нүкте лерін тұтастырып, оны 
квадратқа  айналдыру  арқылы  тапқан  қо лай­
лы.  Берілген  пішіннің  ауданы  түзілген  квад­
раттың  ауданы  мен 
АВС 
үшбұрышы  ауда­
нының айырмасына тең:
 
        
S
 = 
S
кв.
 – 
S
ABC
 = ...
2
 – 0,5 · (50 – 2 · 10) · ... =
                       = ... – 375 = ... (кв. бірлігі.).
 
Нүктелердің  орнына  сәйкес  сандарды  орна­
лас тырыңдар.                 
Жауабы:
 ... кв. бірлігі.
 2. 
8­ суретте  кескiнделген  пiшiннiң  ауданын 
есеп теу үшiн фор му ласын қорытып шығар. Бұн­
да  
AE 
||
BC 
||
PD,  АЕ=ВС,  АР=РВ, PD 
⊥ 
AB.
 
 3. 
Берiлгенi:
 ABCD 
–  тiк  төртбұрышында  
АВ=
12 см, 
АD
=16 см.
, F, Р
 және 
Q
 нүктелерi 
— сәй кес қабырғалардың орталары.
 
Табу керек:
 
S
EFCPQA.
.
 4. 
Берiлгенi:
 
ABCD
  –  параллелограмм, 
P
∈
BD
, 
KL 
|| 
BC
, 
MN 
|| 
AB
 (9­сурет).
 
Дәлелдеу керек:
 
S
AKPN
 = 
S
PMCL
. 
 
 5. 
AC
  және 
BD
  — 
ABCD
  төртбұрыштың  диа­
гональдары, 
O
 — олардың  қиылысу  нүктесi.  
S
AOD
 
= 12, 
S
BOC
 
= 8, 
S
AOB
 
= 6. 
S
COD
 ­ны тап.
 
6. 
Тiк  төртбұрыш  пiшiнiндегi  жер  көлемiнiң 
ау  да ны  400  га.  Егер:  1)  жер  көлемiнiң  ұзын­
ды ғы 10 км болса; 2) жер көлемi квадрат пi­
шiнде болса, оның периметрi қандай бола ды.
50
h
50
25
10
10
A
 B
C
A
a
E
P
D
 c
b
B
C
B
M
C
P
K
L
A
N
D
7
9
8
E
B
h
1
h
2
6
O
A
C
Q
D
P
F
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
http:eduportal.uz

122
52. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖАТТЫҒУ ЖӘНЕ ҚОЛДАНУ
I. Зерттеуге арналған есептер.
1-есеп. 
Тік төртбұрыштың қабырғалары натурал сан және периметрі 4 еселі 
болған есепті қарастырамыз.
Периметрі  72  см­ге  тең  және  қабырғалары  натурал  сан  болған  барлық  тік 
төртбұрыштар арасынан ауданы ең үлкенін табыңдар. Ол қандай пішін болады? 
Қорытынды шығарыңдар.
Шешуі.
 Тік төртбұрышта: 
P
 = 2 
⋅
 (
a
 + 
b
) = 72 см – периметр, 
p 
=
 a
 + 
b
 = 36 см – 
жарты периметр, яғни сыбайлас қабырғалардың қосындысы, 
а
 мен 
б 
­ның мән­
дері белгілі болғанда ғана
 S
 = 
a 
·
 b
­ны есептей аламыз.  Есепте қойылған сұраққа 
жау ап беру үшін тік төртбұрыштың сыбайлас қабырғаларын табуға әрекет жасай­
мыз.
Бұл үшін  36­ны екі натурал санның  қосындысы түрінде өрнектейміз:
a 
+ 
b 
= 36
 
= 1
 
+ 35 = 2
 
+ 34
 
= 3
 
+ 33
 
= 
... 
= 33
 
+ 3
 
= 34
 
+ 2
 
= 35
 
+ 1
.
Бұдан  көрініп  тұрғанындай,  сыбайлас  қабырғалардың  қосындысы  36  см­
ге  тең  болған  35  түрлі  тік  төрбұрыш  бар.  Мәліметтерді  кестеге  енгізіп,  оларды 
талдаймыз және қорытынды шығарамыз:
a
 см 
1
 
2 
... 
17
 
18
 
19
  20 
... 
34  35
 
b
 см 
35
 
34 
... 
19
 
18
 
17
  16 
... 
 2 
 1
(
a
 + 
b
) см 
36
 
36
 
 
36
 
36
 
36
 
36 
... 
36  36
S
 = 
a
 . 
b
 см
2 
35
 
68 
... 
323
 
324
 
323
  320 
... 
68  35
Кестеден  көрініп  тұрғанындай,    есеп  ең  кіші  ауданға 
a
 = 1  см  және 
b
 = 35 
см  немесе 
a
 = 35  см  және 
b
 = 1  см  болғанда,  ең  үлкен  ауданға  ие 
a
 = 
b
 = 18 
см  –  қабырғасы  18  см­ге  тең  квадрат  болғанда  ғана  шешіледі.  Қалған  тік 
төртбұрыштардың периметрлері 72 см болса да, аудандары 
18 
⋅
 
18 = 324 (см
2
)
­тан кіші болады.
Кестені талдаудың нәтижесінде төмендегідей қорытындыға келеміз.
1-қорытынды.
  Егер  тік  төртбұрыштың  қабырғалары  натурал  сан,  ал  пери­
метрі 4 еселі болса, онда ең үлкен аудан төмендегі формула бойынша табылады:
 
 кв. бірл. 
2-қорытынды.
  Егер  тік  төртбұрыштың  қабырғалары  натурал  сан,  ал 
периметрі 2 еселі болса, онда периметрлері тең болған барлық тік төртбұрыштар 
арасынан  қабырғаларының  біреуі  1­ге,  ал  екінші  қабырғасы  1­ді  жарты 
периметрге толықтыратын сан болғанда ғана ең кіші ауданға ие болады.
3-қорытынды.
 Тік төртбұрыштың сыбайлас қабырғаларының ұзындықтары 
бір­біріне жақындаған сайын, аудан ұлғая береді.
http:eduportal.uz

123
2-есеп. 
Қытайша    “танграм”  ойынында  квадрат  1­суретте  көрсетілгеніндей 
үшбұрыштар  мен  төртбұрыштарға  бөлінген.  Олардан  алуан  түрлі  пішіндер 
жасауға  болады.  Егер  квадраттың  қабырғасы  8  см­ге  тең  болса,  бөлінген 
пішіндердің аудандарын табыңдар.  
Шешуі.  a
 = 8  см  –  квадраттың  бір  қабырғасы. 
S
 = 
a
2
=
 8
2
 = 64  (см
2
)  –  берілген 
квадраттың ауданы.  Енді пішіндегі бөлекшелердің аудандарын табамыз. 
1) 
S
1
 және 
S
7 
– квадрат аудандарының төрттен біріне тең. Демек,
 
S
1
 = 
S
7
 = 
S 
: 4 = 64 : 4 = 16 (см
2
).
2)  Тең  бүйірлі  тік  бұрышты  үшбұрыштың  ауданы  гипотенуза  квадратының 
төрттен біріне тең. Демек,
S
2
 = 
S
5
 = 0,25 · (
a
 : 2)
2
 = 0,25 · 4
2
 = 0,25 · 16 = 4 (см
2
).
3) 
S
3
  квадраттың  ауданы  екі 
S
2
  үшбұрыштары  аудандарының  қосындысына 
тең. Демек, 
S
3
 
= 2
S
2
 = 2 · 4 = 8 (см
2
).
4) 
S
4
 үшбұрыштың катеттері берілген квадрат қабырғасының жартысына тең, 
яғни   
a
 : 2 = 8 : 2 = 4  (см).  Тең  бүйірлі  үшбұрыштың  ауданы  катеті  квадратының 
жартысына тең, яғни 
S
4
 = 0,5 · 4
2
 = 0,5 · 16 = 8 (см
2
).
5)  Табандары  мен  биіктіктері  тең  болған  квадрат  пен  параллелограмм  – 
теңауданды. Сондықтан  
S
6
 
= 
S
3
 = 2 · 4 = 8 (см
2
).
Жауабы:
 
S
1
 = 
S
7
= 
16 см
2
; 
 S
2
 = 
S
5
 =
 
4 см
2
; 
 S
3
 = 
S
4
 =
 S
6
 = 8 см
2
.
3-есеп. 
Шебер  ұзындығы  2,25  м  және  ені  1,8  м  тік  төртбұрыш  пішініндегі 
қабырғаның бір бөлігін кафельмен қаптамақ. Бұл үшін оған қабырғасы 15 см­лік 
квадрат пішініндегі кафельден қанша керек болады (2­сурет)?
Шешуі.
  1)  Қапталуға  тиіс  қабырғаның  ауданын  табамыз  және  оны  квадрат 
сантиметрмен өрнектейміз:
 2,25 · 1,8 = 4,05 (м
2
)= 4,05 · 10 000 см
2
 = 40500 см
2
.
 
2) Бір дана кафельдің ауданын табамыз:  
a
2
 = 15
2
 = 225 (см
2
). 
3)  Тіктөртбұрыш  пішініндегі  қабырғаны  қаптау  үшін  қанша  кафель  керек 
болатынын табамыз:
                                  40500 : 225 = 180.  
 
      
Жауабы:
 
180 дана кафель керек.
Төмендегі есепті шешуді өздеріңе қалдырамыз.
4-есеп. 
Қабырғасы 4 м­ге тең квадрат пішініндегі жолдың бетін қаптау үшін 
қабырғасы 20 см­лік кафельден қанша керек?
2
1
S
1
S
2
S
3
S
5
S
6
S
4
a
S
7
http:eduportal.uz

124
ПРАКТИКАЛЫҚ БІЛІКТІЛІКТІ ДАМЫТАТЫН 
ҚОСЫМшА МАТЕРИАЛДАР
ТОРКӨЗДІ ҚАҒАЗ БОЙЫНшА АУДАНДАРДЫ ЕСЕПТЕУ
Берілген  дөңес  және  дөңес  емес  көпбұрыштардың  аудандарын  тор­
көзді қағазбен есептеу үшін 
“Пик формуласы”
 деп аталатын форму ланы 
келтіреміз.  Әрбір  торкөз  қабырғасының  ұзындығы  1  см  болсын.  Тор­
көзді  қағаздағы  түзу лердің  қиылысу  нүктелерін  –  квадрат  бірліктерінің 
тө белерін
  түйін  нүктелер 
деп  атаймыз.  Онда  көпбұрыштардың  ауданы 
төмендегі формула бойынша табылады: 
2
1
M
S
N
=
+
−
.
Бұл  формуладағы    М  –  көпбұрыш  шекарасында  жатқан  түйін  нүк­
телердің саны, N – көпбұрыштың ішінде жатқан түйін нүктелердің саны. 
Бұл  формуланы  төбелері  түйін  нүктелерде  жатқан  кез  келген  көп­
бұрыш үшін қолдануға болады.
1-есеп.
 
1­суреттегі пішіннің ауданын есептейміз.
Шешуі.  1-әдіс. 
1)  Барлық  толық  квадраттардың  саны  59,  олардың 
ауданы 59 см²;  квадраттың жартысына тең болған үшбұрыштар саны 16, 
олардың ауданы 16 : 2 = 8 (см²); бір табаны 2 см­ге,  биіктігі 3 см­ге тең 
үшбұрыш бар, оның ауданы 3 см²­қа тең.
Сонымен берілген көпбұрыштың ауданы:
 
S
 = 59 + 8 + 3 = 71 (см
2
).
2-әдіс.  
Осы жауаптың  Пик формуласының көмегімен қалай табыла­
тынын қарастырып көрейік. Түйін нүктелерді белгілеп аламыз.
1)  Пішін ішінде жатқан түйін нүктелерді (қара түспен берілген) са най­
мыз: олар 50, яғни 
 N
 = 50.   
2)  Фигураның  қабырғаларында  жаткан  түйін  нүктелерді  (кызыл 
түспен белгеленген) санаймыз: олар 44 дана, яғни 
M
 = 44. Пик формуласын 
қолданамыз: 
44
2
50 1 22 49
71
S
=
+
− =
+
=
 (см
2
).
Демек, екі әдіспен де бірдей нәтиже келіп шықты. 
  
Жауабы:
 71 см
2
.
2-есеп.
 
2­суреттегі көпбұрыштың ауданын есептеңдер.
Шешуі. 
1)    Көпбұрыштың  қабырғаларында  жатқан  түйін  нүктелерді 
2
1
http:eduportal.uz

125
(қызыл  түспен  белгіленген)  санаймыз:    олардың 
саны 40, яғни
  М = 40
.
2)  Көпбұрыштың  ішінде  жатқан  түйін  нүк­
телерді (қара түспен белгіленген) санаймыз: олар 
37, яғни N = 37. Пик формуласы бойынша:
 (см
2
). 
Жауабы:
 56 см
2
. 
3-есеп.
 
3­суреттегі  көпбұрыштың  ауданын 
есептейміз.
Шешуі.  1-әдіс.
  1)  Көпбұрыштың  қабырғала­
рын  да жатқан түйін нүктелерді (қызыл түспен бел ­
гіленген) санаймыз: олардың саны 39, яғни М = 39.
2) Көпбұрыштың ішінде жатқан түйін нүкте­
лерді  (қара  түспен  белгіленген)  санаймыз:  олар­
дың саны 17, яғни  N = 17.
Пик формуласына орай: 
39
2
17 1 19,5 16 35,5
S
=
+
− =
+
=
 (см
2
). 
2-әдіс.
  Алынған  жауаптың  дұрыс  екеніне  тағы  бір  рет  көз  жеткізбек 
болсаңдар, алғаш берілген көпбұрышты сан қилы әдістермен тексерілген 
дөңес  көпбұрыштарға  бөліңдер.  Содан  соң  пайда  болған  пішіндердің  
аудандарын  тиісті  формулалардың  көмегімен  табыңдар.  Алынған  нәти­
желерді  қосып,  1­әдіспен  шығарылған  нәтижемен  салыстырыңдар.  Егер 
есептеулер  дұрыс  шығарылған  болса,  алынған  екі  нәтиже  де  міндетті 
түрде бірдей болады. Берілген көпбұрыш сызбада түрлі пішіндерге бөлініп 
көрсетілмесе де бола береді. Есептеу әдісін таңдау өздеріңе байланысты. 
Есептеулерді ауызша орындауға да болады. 
Барлық толық квадраттар саны 26, олардың ауданы 26 см²;  квад раттың 
жартысына тең үшбұрыштар саны 17, олардың ауданы 17 : 2 = 8,5 (см
2
); бір 
табаны 2 см, биіктігі 1 см­ге тең үшбұрыш бар? оның ауданы 1 см
2
­қа тең. 
Сонымен,  берілген  көпбұрыштың  ауданы:  26 + 8,5 + 1 = 35,5  (см
2
).  Демек, 
екі нәтиже де бірдей.   
Жауабы:
 35,5 см
2
.
4-есеп. 
4­  және  5­суреттердегі  көпбұрыштардың  ауданын  Пик  формуласын 
қолданып есептеңдер.
4
3
5
http:eduportal.uz

126
  1.
  Қабырғалары  27  см  және  21  см­ге 
тең  тік  төртбұрыштардың  периметріне  тең 
болған квадраттың ауданын табыңдар.
  2.
  Тік  төртбұрыштың  ауданы  540  см², 
екі  қабырғасының  қатынасы  3  :  5.  Осы  тік 
төртбұрыштың периметрін табыңдар.
  3. 
Параллелограмның ауданы 24 см². Егер 
оның биіктіктері 3 см және 4 см­ге тең болса, 
оның периметрін табыңдар.
  4.
 
1­суретте 
кескінделген 
пішіннің 
ауда нын  бөліктерге  бөліп,  содан  соң  Пик 
формуласын қолданып табыңдар.
 1. 
Егер  тiк  төртбұрыштың  қабырғалары  4  есе  артса,  оның  ауданы  неше 
есе артады?
 
A) 4; 
B) 8; 
D) 16; 
E) 32.
 2. 
Тiк төртбұрыштың ауданы 400 га, қабырғаларының қатынасы 4 : 1­ге тең; 
Осы тiк төртбұрыштың периметрiн тап.
 
A) 10 км; 
B) 5 км; 
D) 2 км; 
E) 8 км.
 3. 
Тiк  төртбұрыштың  ұзындығы  25%­ға  арттырылды.    Оның  ауданы 
өзгер меуi үшiн енiн неше пайызға кемейту керек?
 
A) 20 %; 
B) 16 %; 
D) 25 %; 
E) 18 %.
 4. 
Квадраттың қабырғасын неше есе азайтқанда, оның ауданы 4 есе кішірейеді?
        А) 1,5 есе;               Ә)  2 есе;           Б)  3 есе;              В)  3,5 есе.
 5. 
Ауданы  144  см
2
,  биiктiгi  8  см  және  12  см  болған  параллелограмның 
периметрiн тап.
 
A) 40 см; 
B) 30 см; 
D) 80 см; 
E) 60 см.
 6. 
ABCD
  параллелограмның 
AC
  диагоналiне 
BO
  перпендикуляр  түсiрiл­
ген. 
AO
 = 8, 
OC
 = 6 және 
BO
 = 4 болса, параллелограмның ауданын тап.
 
A) 50 см
2
; 
B) 28 см
2
; 
D) 52 см
2
; 
E) 56 см
2
.
 
7. 
Ромбының  ауданы  40  см
2
­қа,  ал  периметрi  20  см­ге  тең.  Осы  ром ­
бының биiктiгiн табыңдар.
 
A) 2 см; 
B) 8 см; 
D) 4 см; 
E) 16 см. 
 8. 
Табандары 5 см­ге және 9 см­ге тең трапецияның ауданы 35 см
2
­қа тең 
болды.  Осы трапецияның биiктiгiн табыңдар.
 
 
A) 9 см; 
B) 8 см; 
D) 5 см; 
E) 10 см. 
53–54. 4-БАҚЫЛАУ ЖҰМЫСЫ. ҚАТЕЛЕР БОЙЫНшА ЖҰМЫС
Өзіңді сынап көр!
4-
ТЕСТ
 
1
http:eduportal.uz

127
Ибн Сина «Бiлiмнама» деген шығармасының V тарауын 
«Төрт бұрыштар,  оларда  орналасқан  үшбұрыштар  және 
олардың байла ныс тарына қатысты негiзгi геометриялық 
есептерге» арнаған. Шығармада  параллель түзулер туралы 
төмендегідей бағалы пікірлер айтылған.
1­теорема.
 
Өзара  параллель  екi  түзу  арасына 
орналасқан,  ортақ  табаны  бар  және  қарама-қарсы 
қабырғалары параллель пiшiндер теңауданды болады 
(яғни  олардың  аудандары  тең). 
Мысалы,  табандары 
CD
  болған 
ABCD
  және 
EGCD
  жазық  пiшiндер  өзара 
теңауданды болады (1­ сурет).
2­теорема
. 
Өзара  параллель  түзулер  арасына 
орналасқан  және  ортақ  табаны  бар  үшбұрыштар 
теңауданды болады. 
Мысалы, 
CD
 табаны бар   
ACD
 және 
GCD
 үшбұрыштар теңауданды болады (2­ сурет).
3­теорема.
 
Өзара  параллель  түзулер  арасына  орналасқан  және 
табандары тең  төртбұрыштар теңауданды болады.
 Мысалы, 
ABCD
 және 
GEHF
 төртбұрыштар теңауданды (3­ сурет).
 9. 
Табандары  8­ге  және  12­ге  тең  болған  тең  бүйiрлi  трапецияның 
диагональдары өзара перпендикуляр. Трапецияның ауданын тап.
 
A) 100; 
B) 64; 
D) 144; 
E) 76.
10. 
Трапецияның ауданы 30 cм
2
­қа,  биiктiгi 6 см­ге тең болса,  оның орта 
сызығы қаншаға тең болады?
 
A) 2,5 см; 
B) 5 см; 
D) 7,5 см; 
E) 4,5 см.
Ағылшын тілін үйренеміз!
Квадрат түбір – 
square root
 
Герон формуласы – 
формула of
Үшбұрыш – 
triangle
 
Heron
Орта сызық  – 
midline
 
Аудан – 
area
Әбу Әли ибн 
Сина
(980–1037)
Т а р и х и   м а ғ л ұ м а т т а р
G
E
B
A
F
H
C
D
3
G
A
D
C
2
G
E
B
A
C
D
1
http:eduportal.uz

128

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: