Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

105
Теорема.
1. Тік төртбұрыштың ауданы.
Сен  тiк  төртбұрыштың  ауданы  оның  қабырғалары  ұзындық тарының 
көбейтiндiсiне тең болатын есептер шығарғансың.
Қазiр  бұл  орындалған  амалдың  теориялық  тұрғыдан  дұрыс  екендiгiн 
көрсетемiз.
Қабырғалары 
a
 және 
b
 болған тiк төртбұрыштың ауданы
S 
=
 
a 
·
 b
формула бойынша есептеледi.
Дәлелдеу.
  Қабырғалары 
a
  және 
b
  болған  тiк 
төртбұрыштың ауданы 
a
 және 
b
 — кез келген оң 
сандар. 
S
 = 
a 
·
 b
 екендiгiн дәлелдеймiз.
Теореманы  дәлелдеу  үшiн  қабырғасы 
(
a
 + 
b
)  болатын  квадрат  саламыз.  Бұл  квад-
рат ты  1-суретте  көрсетiлген  пiшiндердей  бө-
лiк терге  бөлемiз.  Бұнда  квадраттың  ауданы,  
қабырғалары 
а
  және 
b
-ға  тең  екi  квадраттан, 
сондай-ақ  қабырғалары 
a 
және
  b 
болған  екi  тiк 
төртбұрыштан құралғанын байқау қиын емес.
Демек, қабырғасы (
a
 + 
b
) болатын квадраттың 
ауданы   + 2
S
 + 
S
2
-ге тең. Екiншi жағынан аудан 
туралы аксиома бойынша бұл аудан (
a
 + 
b
)
2
-қа тең,  
яғни
S
1
 + 2
S 
+ 
S
2
 = (
a 
+ 
b
)
2
, немесе 
                S
1
 
+ 2
S 
+ 
S
2
 = 
a
2
 
+ 2
ab 
+ 
b
2
.
Бұл теңдiкте 
S
1
= 
a
2
, 
S
2
 = 
b
2
 екенiн есепке алсақ,  
S
 = 
a 
· 
b  
формула келiп 
шығады.  Теорема дәлелдендi.
1-есеп. 
Тiк төртбұрыштың ауданы 150 см
2
-қа тең, ал қабырғаларының 
қатынасы 3 : 2.  Осы тiк төртбұрыштың периметрiн табыңдар.
Шешуі.
 Тiк төртбұрыштың кiшi қабырғасы 
b 
= 2
х
 см болсын.  Ондай 
жағдайда үлкен қабырғасының ұзындығы 
а
 = 3
х
 см-ге тең болады.
S 
= 3
x · 
2
x
,  б. а. 
 S 
= 6
x
2
. 
Бұдан 
x
2
 = 
S
 : 6, 
 x 
2
 = 150 : 6, 
 x
2
 
= 25, 
 x 
= 5 (см).
Демек, тiк төртбұрыштың кiшi қабырғасы: 
b 
= 2
 · 
5
 
= 10 (см)-ге,  ал үл-
кен қабырғасы 
a 
= 3
 · 
5
 
= 15 (см)-ге тең болады. 
46–47. ТІК ТӨРТБҰРЫШ ПЕН 
ПАРАЛЛЕЛОГРАМНЫҢ АУДАНЫ
1
a
b
b
b
a
a
a
b
a
b
S
S
S
S
1
S
2
http:eduportal.uz

106
Теорема.
Ендi оның периметрiн есеп  теймiз: 
Р
 = 2 · 
(а+b)
 = 2 · (15+10) = 2 · 25 = 50 (см).  
 
Жауабы:
  
Р
 = 50 см.
2-есеп. 
Тiк  бұрышты  төртбұрыштың
 
ка-
теттерi  12  см-ге  және  24  см-ге  тең.  Гипо те-
нузаның қақ ортасынан үшбұрыш катет терiне 
перпендикуляр  түзулер  жүргiзiлген.  Пайда 
болған тiк төртбұрыштың ауданын табыңдар.
Берiлгенi:
  тiк  бұрышты 
r
ABC
  дa: 
AO
 = 
OB
, 
OE
⊥ 
AC
, 
OF
⊥
CB
, 
AC
 = 24  см, 
BC
 = 12 см (2-сурет).
Табу   керек:
 
 
S
CEOF 
. 
Шешуі.
  Бiзге  белгiлi  болғанындай,  бiр  түзуге  жүргiзiлген  екi 
перпендикуляр өзара параллель болады.  Фалес теоремасына орай: 
  AE
 = 
EC
 = 0,5
AC
 = 0,5
 · 
24 = 12  (см), 
 
CF
 = 
FB
 = 0,5
BC
 = 0,5
 · 
12 = 6  (см).
Демек, 
S
CEOF
 = 
CE · CF
 = 12
 · 
6 = 72 (см
2
). 
Жауабы:
 72 см
2
.
2. Параллелограмның ауданы.
Параллелограмның  кез  келген  қабыр ғасын  оның 
табаны
  деп  алуға 
болады,  осы  қабырғадан  қарама-қарсы  қабырғасына  дейiнгi  қашықтық 
оның 
биiктiгi
  болады.  Биiктiк  қабырғаға  немесе  қабырғаның  жалғасына 
түсуi мүмкiн. 3-суреттегi 
ВР
 және 
СF – АВСD
 параллелограмның биiктiгi 
болып табылады. 
Параллелограмның  ауданы  оның  қабырғасын  осы  қабырғаға 
түсiрiлген биiктiкке көбейткенге тең болады:  
S 
=
 
a 
·
 h
a
.
Дәлелдеу
.  
АВСD 
параллелограмды қарас-
ты райық.  Бұл  параллело грамның  табаны  ре-
тiнде 
AD
 = 
a
 қабырғасын аламыз, ал биiктiгi 
h
-қа  тең  болсын.   
S
 = 
a 
·
 h
н
  екендiгiн  дәлелдеу 
талап етiледi  (3-сурет).
Табаны параллелограмның 
ВС
 табанынан, ал 
биiктiгi 
h
-тан тұратын 
РВСF
 тiк төртбұрышын 
салайық. 
АВР
 және 
DСF
 үшбұрыштары өзара 
тең (гипотенузасы мен сүйiр бұрышына орай: 
АВ = DС
 – гипотенуза,  
∠
1= 
∠
2 – сыбайлас бұрыштар). 
АВСD
 параллелограмы 
РВСD
 трапе циясымен 
АВР
 үшбұрышынан, ал 
РВСF
 тiк төртбұрышы сол 
РВСD
  трапециясымен 
АВР
-ға  тең
 DСF
  үшбұрышынан  құралған.  Демек,  
АВСD
 параллелограмы мен  
РВСF 
тiк төртбұрышы тең құрылғандар (яғни 
теңаудандылар) болып табылады. Бұдан 
АВСD
 параллелограмының ауданы 
РВСF 
тiк төртбұрышының ауданына,  яғни  
h
а
-қа теңдiгi келiп шығады.
A
E
C
B
O
F
2
A
P
F
C
h
a
3
B
D
h
a
1
2
http:eduportal.uz

107
Осылайша табаны 
а
 және оған түсiрiлген биiктiгi 
h
 болып саналатын 
параллелограмның 
S
  ауданы төмендегi формула бойынша есептеледi:
S
 = 
a 
·
 h
н
.
Осыны дәлелдеу талап етiлген болатын.
Салдар.
 
 Егер екi параллелограмның табандары ортақ,  ал биiктiктерi тең 
болса,  онда олар өзара тең болып табылады.
Берілгені: ABCD
, 
AEFD
 және 
APQD
 параллелограмдары ортақ  
AD
 = 
a
 
табанға ие және олардың биіктіктері тең (
h
н
) (4-сурет).
Дәлелдеу керек: ABCD
, 
AEFD
, 
APQD
 параллелограмдары тең құрылған .
Дәлелдеу.  Мысалы,  ABCD 
және 
AEFD
  параллелограмдарының  тең 
құрылғанын  дәлелдейміз. 
BAE
  және 
CDF
  бұрыштары  өзара  тең  (үш бұ-
рыштар теңдігінің бірінші белгісіне орай), өйткені 
BA
 =
CD
, 
AE
 =
 DF
 және 
∠
BAE 
=
 ∠
CDF
  (сәйкес  қабырғалары  параллель  бұрыштар  болғаны  үшін).
 
Демек,
  ABCD 
параллелограмы 
AECD
  трапеция  мен 
BAE
  үшбұрышынан, 
ал 
AEFD
  параллелограмы 
AECD
  трапециясы  мен 
BAE
  үшбұрышқа  тең 
болған 
CDF
 үшбұрышынан құрылған. Демек, 
ABCD
 және 
AEFD
 паралле-
лограмдары тең құрылған. 
Осылайша қалған параллелограмдардың да тең құрылғаны дәлелденеді.
3-есеп. 
Параллелограмның қабырғалары 25 см және 20 см, бірінші қа-
бырғасына жүргізілген биіктік 8 см. Сол параллелограмның екінші қабыр-
ғасына жүргізілген биіктікті тап.
Берілген: ABCD
 параллелограмында:  
AD
 = 
a
 = 25  см, 
 DC
 = 
b
 = 20  см, 
 h
н
 = 8 см (5-сурет). 
Табу  керек:
 
h
б
.
 
Шешуі.
 1) 
S
 = 
ah
н
 = 25
 
·
 
8 = 200 (см
2
). 
2) 
S
 = 
bh
б
, яғни 200 = 20
 
·
 h
б
. Бұдан 
h
б
 = 200
 
:
 
20 = 10 (см). 
Жауабы
:
 10 см.
2-салдар.   
Параллелограмның  ауданы  оның  екі  қабырғасы  мен  олар 
арасындағы бұрыштың синусы көбейтіндісіне тең. Осыны дәлелдеңдер
Шешуі.
 
ABCD
  параллелограмында 
AD
 = 
a
, 
AB
 = 
b
  және 
∠
BAD 
= α  бол-
сын.  Ондай  жағдайда  параллелограмның  ауданы 
S 
=
 
ab 
sin
α  формуласы 
бойынша есептеледі. Осыны дәлелдейміз.
 
ABCD
  параллелограмының 
BP
  биіктігін  жүргіземіз  және  оны 
BP
 = 
h
н
 = 
h 
деп белгілейміз (6-сурет). Ондай жағдайда 
h 
биіктік тік бұрышты 
ABP
  үшбұрышы  α  сүйір  бұрышының  қарсысында  жатқан  катет  болады. 
h
-ты 
b
 қабырға мен  α  бұрыш синусының көбейтіндісімен өрнектейміз: 
h 
= 
b 
sinα. 
B
E
C
P F
Q
A
D
a
h
a
4
A
P
D
B
C
h
a
h
b
F
5
http:eduportal.uz

108
?
Параллелограмның    ауданын  есептеу 
S
 = 
ah
  формуласына 
һ
-тың  осы 
өрнегін қойып, мына формуланы шығарамыз: 
S
 = 
ab 
sinα.
4-есеп. 
Берiлгенi:
 
ABCD
  –  параллелограмм, 
AD
 = 20  см, 
BD
 = 16  см, 
∠
BDA 
= 30°.
Табу  керек: 
S
ABCD
.
Шешуі.
 
1-әдіс
. 1) Берiлген параллелограмның 
ВР
 биiктiгiн жүргiземiз 
және 
ВDР
 үшбұрышын қарастырамыз (7-сурет). Ол тiк бұрышты, өйт кенi 
ВР 
⊥
 
АD
.  Ендi 
ВР
  биiктiгiн  табамыз.  30°-тық  бұрыштың  қарсысындағы 
катет гипотенузаның жартысына тең болады.  
Сондықтан 
ВР
 = 0,5
ВD
 = 0,5 ·16 = 8 (см).
2) Сонымен,  
АВСD
 параллелограмының ау да ны 
S
 = 
AD 
·
 BP
 = 20
 
·
 
8 = 160  (см
2
)-қа тең болады.
2-әдіс.
  Тікбұрышты 
BDP
  үшбұрышынан 
BP
-ны 
BD
  қабырға  (гипо-
тенуза) және 
∠
BDP 
= 30° бұрыштың синусымен өрнектейміз және парал-
лелограмның ауданы формуласына қойып, іздестіріліп жатқан ауданды та-
бамыз: 
S
 = 
AD 
·
 BP
 = 
AD · BD · 
sin
∠
BDP
 = 20
 · 
16
 · 
sin30° = 20
 · 
16
 · 
0,5 = 160  (см
2
).
Жауабы:
  
 
S
 = 160 см
2
.
 1. 
1) Тік төртбұрыштың ауданы неге тең?
 
2) Параллелограмның табаны мен биіктігі дегенде нені түсінесіңдер?
 
3)  Параллелограмның  ауданы  оның  екі  сыбайлас  қабырғасы  мен 
олардың арасындағы бұрыш бойынша қалай табылады?
 2. 
Тік төртбұрыштың екі қабырғасы: 1) 30 см және 2,9 см; 2) 34 дм және 
0,6  дм; 3) 2,5 дм және 12 см. Осы тік төртбұрыштың периметрі мен ау-
данын табыңдар.
 3. 
Тік төртбұрыштың бір қабырғасы 15 дм, ал екінші қабырғасы одан 5 
есе артық. Осы тік төртбұрыштың периметрі мен ауданын табыңдар.
A
P
D
B
C
30 
°

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: