? Сұрақтар, есептер және тапсырмалар

135
Теорема.
 
57. ШЕҢБЕРГЕ ІШТЕЙ СЫЗЫЛҒАН БҰРЫШ
O
A
n
C
B
B
A
B
B
  1
  2
C
D
D
O
O
O
A
C
A
C
a
ә
б
1
2
Анықтама.
 
Төбесi шеңберде жататын, ал қабырғалары осы шең­
бердi қиып өтетiн бұрыш 
шеңберге
 
iштей сызылған бұрыш
 делiнедi.
1- суретте 
ABC
 бұрыш шеңберге iштей сы зылған, 
AnC
 доға осы 
бұрыштың iшiнде орна ласқан. Бұндай жағдайда iштей сызылған 
ABC
 
бұрыш 
AnC
 доғаға тiрелген деп те айтылады.
Шеңберге iштей сызылған бұрыш өзi тiрелген до ғаның жарымымен 
өлшенедi:
∠
ABC =
2
1
∪
AC.
Дәлелдеу.
 
∠
ABC
 – ортасы 
O
 шеңбердiң 
AC
 доғаға тiрелген iштей сызыл-
ған бұрышы болсын (2- сурет). Шеңбер ортасының осы iштей сызылған 
бұрышқа қарағанда орналасуының үш жағдайын қарастырайық. 
1­жағдай. Шеңбер ортасы iштей сызылған бұрыштың қабыр ға лары­
ның бiреуiнде,
 
мысалы, ВС қабырғасында жатады
 (2-
a
 сурет). 
OA
 ра-
диусын жүргiземiз және 
AOC
 ортасы бұрышты қарастырамыз. Ол – 
BOA
 
үш бұ рыштың сыртқы бұрышы. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиетi 
бо йынша: 
∠
AOC
 = 
∠
OBA
 + 
∠
OAB.
 Бiрақ 
∠
OBA 
= 
∠
OAB
, себебi 
AOB
 үш-
бұрыш тең бүйiрлi (
OA
 = 
OB
 = 
R
). Ал 
OBA 
 және  
OAB 
бұрыштар – тең бүйiр лi 
үшбұрыштың табанындағы бұрыштар. Демек, 
∠
AOC 
= 2
∠
ABC
 (1). Орталық 
бұрыштың шамасы осы бұрышқа сәйкес доғаның градустық өлшемiне тең 
болатынын бiлесiң (56-тақырып). Бұл жағдайда 
AC
 доға жарым шеңберден 
кiшi, сондықтан орталық бұрыштың қасиетi бойынша: 
∠
AOC
 = 
∪
AC
 (2).
(1) және (2) теңдiктерден:  2
∠
ABC
 = 
∪
AC
, яғни 
∠
ABC
 = 
∪
AC
. 
Теорема 1-жағдай үшiн дәлелдендi.
2­жағдай.
 
Шеңбердiң ортасы O iштей сызылған бұрыштың қабыр ға­
ларының арасында жатады
. 
BO
 сәуленi жүргiземiз, ол 
AC
 доғаны бiр  
D
 
http:eduportal.uz

136
нүктеде қиып өтедi (2-
б
  сурет). 
D
 нүкте 
AC
 доғаны екi 
∪
AD
 және 
∪
DC
 
доғаларға бөледi. Демек, дәлелденуi бойынша (1- жағдай):  
∠ 
ABD
   = 
∪
AD
 және 
∠
DBC
 = 
∪
DC
. Бұл теңдiктердi мүшелеп қоссақ:
∠
= ∠
+ ∠
= ∪
+ ∪
=
∪
+ ∪
= ∪
1
1
1
1
2
2
2
2
(
)
.
ABC
ABD
DBC
AD
DC
AD
DC
AC
 
3-жағдай. 
Шеңбердiң ортасы O iштей сызылған бұрыштың сыртында 
жатады
. Бұл жағдайдың дәлелiн 2
­д
 суреттi пайдаланып, өзiң дәлелде.
1-салдар.
 
Бiр доғаға тiрелген барлық iштей сызылған бұрыштар өзара 
тең 
(3-
a
  сурет):
∠
B
   = 
∠
B
1
 = 
∠
B
2 
 =  ...   =  
∪
AC
.
2 -cалдар.
 
Диаметрге (жарым шеңберге) тiрелген барлық iштей сызылған 
бұрыштар тiк бұрыш болады 
(3-б сурет):
∠
B
 = 
∠
B
1
 = 
∠
B
2
 = ... = 90°.
Есеп.
 Шеңбердiң радиусына тең хорда жүргiзiлген. Бұл хорда:  1)  шеңбер 
ортасынан;  2)  берiлген хорда төбелерiнiң бiрiнен қарағанда кез келген 
нүктеден қандай бұрыш астында көрiнедi?
Шешуi. 
АВ — О 
орталы шеңбердiң радиусына тең хорда болсын делiк 
(4-сурет). Ондай жағдайда 
АОВ
 үшбұрышы — тең бүйiрлi, демек, орталық 
бұрыш  (шеңбер  ортасынан 
АВ
  хордасы  көрiнетiн  бұрыш)  60
°
-қа  тең. 
А
 
және 
В
  нүктелерiнiң  бiрiмен  салыстырғанда  кез  келген 
С
  нүктесiнен 
iштей сызылған 
АСВ 
бұрышы (
С
 нүктесiнен 
АВ 
хордасы көрiнетiн бұрыш)  
орталық бұрыштың жартысына, яғни 30
°
-қа тең болады.  
Жауабы:__∠__ACB__=__...°.'>Жауабы:__1)_60°;_2)_30°.__1.'>Жауабы:
 1) 60°; 2) 30°.
 1.
  1) Қандай бұрыш шеңберге iштей сызылған бұрыш делiнедi?
 
2) Iштей сызылған бұрыш қалай өлшенедi?
 
3) Жарым шеңберге тiрелген iштей сызылған бұрыш неге тең?
?
 
B
B
1
B
2
O
O
B
B
1
B
2
A
C
C
A
a
B
O
C
A
3
4
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
ә
http:eduportal.uz

137
 2.
 
(Ауызша).
  Іштей  сызылған  бұрыш  25º-қа  тең.  Осы  ішкі  бұрышқа 
түйісетін доғаның шамасын табыңдар.
 3.  AB
  және 
BC
 — ортасы 
O
  нүктеде  болатын  шеңбердiң  хордалары, 
∠
ABC
 = 30°. Егер шеңбердiң радиусы 10 см-ге тең болса,, 
AC
 хорданың 
ұзындығын тап.
 4. 
1) 5- суретте 
O
 нүкте — шеңбердiң ортасы, 
∠
AOB
 = 88°. 
∠
ACB
-ны тап.
 
Шешуi.
 
AOB
 бұрыш берiлген шеңбердiң ... бұрышы болады және ...° 
қа  тең.  Демек, 
∪
ADB
 = ...°. 
ACB
  бұрыш  ...  сызылған  бұрыш  болады 
және ... доғаға тiреледi, сондықтан 
∠
ACB
 = 
∪
... = ..
°
 
  
Жауабы:
 
∠
ACB
 = 
...°.
  
2) 
6- суретте 
∪
CAB 
= 130°
. 
∠
CAB
-ны тап.
 
Шешуi.  CAB
  бұрыш  шеңберге 
iштей
  сызылған  бұрыш  болады  және 
∪
CDB 
доғаға  тiрелген. 
∪
CDB  
= 360°
 – 
∪
CAB 
= 360°
 – 130
°
 
 
= 
= 
230
°
 
∠
CAB 
= 
. 
 
Жауабы:
 
∠
CAB
 = 115
°.
 
3) 
7- суретте 
∠
APE
 = 46°,  
∠
BCE
 = 34°. 
∠
AEP
-нi тап.
 
Шешуi.
 
PAB
  және 
BCP
  iштей  сызылған  бұрыштар,  бiреуi 
BP
  ...,  демек, 
∠
PAB
 = 
∠
...
 = ... . 
AEP
 үшбұрыштан ие болатынымыз:
 
∠
AEP
 = 180° – (
∠
...
 + 
∠
...
) = 180° – (... + ...) = ... . 
 
Жауабы:
 
∠
AEP
 =
= ... .
 5. 
Шеңберде жататын 
А, В, С 
нүктелері  бұл шеңберді үш доғаға бөледі. 
Бұл  доғалардың  градустық,  яғни  бұрыштық  өлшемдерінің  қатынасы 
 
3 : 5 : 7 қатынасындай. 
АВС
 үшбұрышының бұрыштарын табыңдар.
 6. 
Хорда  шеңбердi  екi  доғаға  бөледi.  Егер  бұл  бұрыш  шамаларының 
қатынасы:  1)  5 : 4;  2)  7 : 3  қатынасындай  болса,  хорда  шеңбер 
нүктесiнен қандай бұрышпен көрiнедi?
 7. 
Шеңбердiң 
AB
 диаметрi және 
AC
 хордасы жүргiзiлген. Егер 
AC
 және 
CB
  доғаларының  градустық  өлшемi  7 : 2  қатынасында  болса, 
BAC
 
бұрышты тап.
 8.  AB
  және 
AC
  —  шеңбердiң  хордалары, 
∠
BAC
 = 70°, 
∪
AB
 = 120°. 
AC
 
доғаның градустық өлшемiн тап.
C
O
A
B
88°
A
C
B
O
D
D
P
A
B
C
E
46°
34°
5
6
7
http:eduportal.uz

138
1-теорема.
 
1. Жанама мен хордадан жасалған бұрыш.
Жанама  мен  хордадан  жасалған  бұрыш  өзi  қамтитын  доғаның 
жары мымен өлшенедi.
Дәлелдеу.
 
AB
 жанама және 
BC
 хорда бол сын. 
1
2
ABC
BmC
∠
= ∪
болатынын 
дәлел деймiз  (1- сурет).  Ол  үшiн 
C
  нүктеден 
CD
 || 
AB
-ны  жүргiзсек, 
∠
ABC
 = 
∠
BCD
, себебi олар – iшкi айқыш бұрыштар. 
Бiрақ 
1
2
C
BnD
∠ = ∪
 және 
CD
 || 
AB
 болғандықтан, 
∪
BnD
 = 
∪
BmC 
және 
1
1
2
2
B
C
BnD
BmC
∠ = ∠ = ∪
= ∪
.
 
Теорема дәлелдендi.
1-есеп.
  АВ 
хорда  56º-тық  доғаны  керіп  тұрады.  Осы  хорданың  төбе-
лерінен  шеңберге  жүргізілген  жанамалар  мен  хордадан  пайда  болған 
бұрыштарды табыңдар.
Берілгені: 
(
O,
 
R
), 
AB
  –  хорда, 
∠
AOB
 = 56° – 
AB
  хорданы    керіп  тұрған 
орталық бұрыш 
AC 
⊥
 
OA
, 
BC 
⊥
 
OB
 (2-сурет).
Табу керек:  
 
∠
CAB
, 
∠
CAB
, 
∠
BAD
, 
∠
ABE
.
Шешуі.
  Жанама  мен  хорда  арасындағы  доға   
∪
AB
 = 56°  (1-жағдай) 
немесе 
∪
AnB
 = 360° – 56° = 304° (2-жағдай) болады.
Сонымен,  1-жағдайда 
1
1
2
2
56
28
CAD
AB
∠
= ∪
= ⋅
=
°
,  ал  2-жағдайда  
∠
BAD
1
1
2
2
304
152
AnB
= ∪
= ⋅
=
°
-қа ие боламыз.
Бізге белгілі болғанындай, шеңбер сыртындағы бір нүктеден шеңберге 
жүргізілген  жанамалардың  жанасу  нүктелеріне  дейінгі  қиюшылары  тең 
болады. Сондықтан да  ΔАСВ – тең бүйірлі.
Демек, 
∠
CAB
 = 
∠
CBA
 = 28° және 
∠
BAD
 = 
∠
ABE
 = 152°.
Жауабы:
 
 
∠
CAB
 = 
∠
CBA
 = 28°,   
∠
BAD
 = 
∠
ABE
 = 152°.
A
B
m
n
O
C
D
1
D
O
A
C
B
E
3
)
A
O
B
5
6°
C
n
R
D
E
R

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: