Лекции и упражнения

10.2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
119
Теорема 40. Пусть
F
:
A
?
B
биекция,
D
F
=
A
. Тогда существует
обратная
F
?
1
:
B
?
A
, которая тоже является биекцией.
Доказательство.
Рассмотрим произвольное
y
?
?
B
. Поскольку
F
 сюръекция, то существу-
ет
x
?
A
, такое, что
F
(
x
) =
y
?
. Таких
x
?
A
не может быть два, т.к.
F
инъекция. Тогда отображение
F
?
1
, которое ставит в соответствие каждому
y
?
такое
x
?
будет обратным к
F
.
Докажем, что
F
?
1
 биекция. Пусть
x
0
?
A
, тогда рассмотрим
y
0
=
=
F
(
x
0
)
, очевидно, что
F
?
1
(
y
0
) =
x
0
, следовательно,
F
?
1
 cюръекция. С
другой стороны, если
F
?
1
(
y
1
) =
F
?
1
(
y
2
) =
x
?
, то
y
1
=
F
(
x
?
)
и
y
2
=
f
(
x
?
)
,
следовательно,
F
?
1
 инъекция.
Замечание. Если
G
 обратная функция для
F,
то
F
 обратная для
G.
Пример 31. Функция
F
:
{
1
,
2
,
3
,
4
} ? {
1
,
2
,
3
,
4
}
заданная как
F
(1) = 4
,
F
(2) = 2
,
F
(3) = 1
,
F
(4) = 3
является биекцией. Обратная к ней
F
?
1
:
:
{
1
,
2
,
3
,
4
} ? {
1
,
2
,
3
,
4
}
определена как
F
?
1
(1) = 3
,
F
?
1
(2) = 2
,
F
?
1
(3) = 4
и
F
?
1
(4) = 1
.
Пример 32. Функция
F
:
R
?
R
,
F
(
x
) = 2
x
+ 1
является биекцией.
Обратная функция
F
?
1
(
y
) =
y
?
1
2
.
Пример 33. Функция
F
:
R
?
R
,
F
(
x
) =
x
2
не является биекцией. Дей-
ствительно,
F
(
x
) =
F
(
?
x
)
, следовательно
F
 не инъекция. Кроме того,
E
F
= [0; +
?
)
6
=
R
, следовательно
F
не является сюръекцией.
Пример 34. Функция
F
: [0; +
?
)
?
[0; +
?
)
,
F
(
x
) =
x
2
является биекци-
ей. Обратная функция
F
?
1
(
y
) =
?
y
.
Определение 94. Пусть даны функции
f
:
X
??
Y
и
g
:
Y
??
Z
.
Композицией функций
f
и
g
(обозначается
g
?
f
) называется функция
h
=
g
?
f
:
X
?
Z
, определенная на множестве
D
h
=
{
x
?
D
f
|
f
(
x
)
?
D
g
}
следующим образом:
h
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
.
10.2 Числовые функции
Определение 95. Числовой функцией называют функции
f
(
x
)
, об-
ласть определения и область значений которой являются подмножествами
числовой прямой, т.е.
D
f
, E
f
?
R
. Другими словами, область отправления
и прибытия числовой функции есть
R
.
Замечание. Большая часть этого курса посвящена числовым функциям.
Поэтому в дальнейшем под словом функция будем (если специально не
оговорено) понимать числовая функция.
Определение 96. Числовая функция называется четной, если для всех
x
?
D
f
выполнено
(
?
x
)
?
D
f
и
f
(
?
x
) =
f
(
x
)
. Числовая функция назы-
вается нечетной, если для всех
x
?
D
f
выполнено
(
?
x
)
?
D
f
и
f
(
?
x
) =
=
?
f
(
x
)
. Функции, которые не являются ни четными ни нечетными назы-
вают ѕфункции общего видаї.

120
ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
a
y
=
f
(
x
+
a
)
y
=
f
(
x
)
x
y
Пример 35. Функция
f
(
x
) =
x
2
?
4
x
4
+
|
x
|
 четная,
g
(
x
) =
x
3
?
3
x
|
x
|
нечетная, а
x
2
+
x
+ 1
 общего вида.
Определение 97. Функция
f
(
x
)
называется периодической если суще-
ствует
T >
0
, такое, что:
1)
?
x
?
D
f
(
x
±
T
?
D
f
)
;
2)
?
x
?
D
f
(
f
(
x
+
T
) =
f
(
x
))
.
Число
T
называют периодом функции
f
(
x
)
. Если
T
min
 период и для лю-
бого периода
T
выполнено
T
min
?
T
, то
T
min
называют наименьшим (или
главным) периодом
f
(
x
)
.
Пример 36.
sin
x
,
cos
x
имеют наимешьний период, равный
2
?
, а
tg
x
,
ctg
x
?
. Функция
{
x
}
(дробная часть) имеет период, равный 1.
10.3 График функции. Преобразования графи-
ков.
Определение 98. Графиком функции
y
=
f
(
x
)
называется множество
точек координатной плоскости
?
f
=
{
(
x, y
=
f
(
x
))
|
x
?
D
f
}
.
Пусть задана некоторая
y
=
f
(
x
)
.
1. График функции
y
=
f
(
x
+
a
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сдвигом
на
a
влево (вправо, если
a <
0
)  см. рис. 1.
2. График функции
y
=
f
(
x
)+
a
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сдвигом
на
a
вверх (вниз, если
a <
0
)  см. рис. 2.
3. График функции
y
=
?
f
(
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Ox
.
4. График функции
y
=
f
(
?
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Oy
.

10.3. ГРАФИК ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.
121
a
y
=
f
(
x
) +
a
y
=
f
(
x
)
x
y
y
=
a
·
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
x
y
5. График функции
y
=
a
·
f
(
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
растя-
жением в
a
раз по направлению оси
Oy
(сжатием, если
a <
1
)  см.
рис. 5.
6. График функции
y
=
f
(
a
·
x
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
сжа-
тием в
a
раз по направлению оси
Ox
(растяжением, если
a <
1
)  см.
рис. 6.
7. График функции
y
=
|
f
(
x
)
|
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Ox
той части графика, которая расположена
ниже этой оси  см. рис. 7.
8. График функции
y
=
f
(
|
x
|
)
получается из графика
y
=
f
(
x
)
отраже-
нием относительно оси
Oy
той части графика, которая расположена
правее этой оси, причем ту часть, что расположена левее оси следует
отбросить  см. рис. 8.

122

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: