Лекции и упражнения

11.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.131
Свойство 3. Область определения функций синус и косинус
D
(sin) =
=
D
(cos) =
R
,
область значений функций синус и косинус
E
(sin) =
E
(cos) =
= [
?
1; 1]
?
R
.
Доказательство. Согласно определениям 120 и 121,
D
(sin) =
D
(cos) =
=
R
, E
(sin)
?
[
?
1; 1]
, E
(cos)
?
[
?
1; 1]
.
Таким образом, достаточно до-
казать, что
[
?
1; 1]
?
E
(sin)
,
[
?
1; 1]
?
E
(cos)
.
Пусть
d
?
[
?
1; 1]
.
Тогда
точки
A
(
d,
?
1
?
d
2
)
и
B
(
?
1
?
d
2
, d
)
принадлежат единичной окружности
x
2
+
y
2
= 1
,
так как их координаты удовлетворяют уравнению этой окруж-
ности. Пусть
]
xOA
=
?,
]
xOB
=
?.
Тогда
cos
?
=
d,
sin
?
=
d.
Свойство
доказано.
Свойство 4. Тангенс и котангенс  нечјтные периодические функции
с главным периодом
T
=
?.
Область определения функции тангенс есть
множество
R
\ {
?
2
+
?n
:
n
?
Z
}
.
Область определения функции котангенс
есть множество
R
\ {
?n
:
n
?
Z
}
.
Область значений этих функций есть вся
числовая прямая.
Доказательство. Из свойств 5 и 6 для синуса и косинуса следует, что
тангенс и котангенс нечјтные
2
?
-периодические функции. В дальнейшем
мы покажем, что их главный период равен
?.
Так как для произвольного
d
?
0
точка
(1;
d
)
принадлежит прямой
y
= tg
?
для некоторого
?,
0
?
?
? <
?
2
,
а точка
(1;
?
d
)
принадлежит прямой
y
=
?
tg
?
= tg(
?
?
)
,
то
ввиду произвольности
d
имеем
E
(tg) =
R
.
Аналогично устанавливается, что
E
(ctg) =
R
.
Так как на промежутке
(
?
?
2
,
?
2
)
тангенс всюду определјн, а на
концах этого промежутка не определјн, то ввиду
?
-периодичности тангенса
заключаем, что
D
(tg) =
R
\ {
?
2
+
?n
:
n
?
Z
}
.
Аналогично устанавливается,
что
D
(ctg) =
R
\ {
?n
:
n
?
Z
}
.
11.2.2 Тригонометрические тождества
Теорема 45.
?
x, y
?
R
cos(
x
?
y
) = cos
x
cos
y
+ sin
x
sin
y.
Доказательство. 1)
x
=
?
+ 2
?n, y
=
?
+ 2
?k, ?, ?
?
[0
,
2
?
)
, n, k
?
?
Z
,
?
представления
x
и
y.
Далее,
?
7?
(
·
)
A
(
x
1
, y
1
)
, ?
7?
(
·
)
B
(
x
2
, y
2
)
на
тригонометрической окружности
x
2
+
y
2
= 1
в прямоугольной декартовой
системе координат на плоскости
Oxy
,
(
·
)
O
(0
,
0)
- начало координат,
x
1
=
= cos
x, y
1
= sin
x, x
2
= cos
y, y
2
= sin
y.
Ввиду чјтности и периодичности
косинуса имеем:
cos(
x
?
y
) = cos(
?
?
?
+ 2
?
(
n
?
k
)) = cos
|
?
?
?
|
= cos(2
?
?
? |
?
?
?
|
) = cos
?
, где
?
= min
{|
?
?
?
|
,
2
?
? |
?
?
?
|}
=
]
AOB
,
0
?
?
?
?
.
Надо доказать:
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= cos
?.
2) Пусть
(
·
)
C
(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
)
- середина отрезка
[
AB
]
,
быть может, в
случае
A
=
B,
вырожденного в точку. Имеем:
|
OC
|
2
= (
x
1
+
x
2
2
)
2
+ (
y
1
+
y
2
2
)
2
=
=
(
x
2
1
+
y
2
1
) + (
x
2
2
+
y
2
2
) + 2(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
4
=
1 + 1 + 2(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
4
.

132
ГЛАВА 11. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Следовательно,
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 2
|
OC
|
2
?
1
. Мы видим, что значение
x
1
x
2
+
y
1
y
2
зависит только от меры угла
]
AOB
и не зависит от взаимного расположе-
ния угла и системы координат, лишь бы вершина угла совпадала с началом
координат. Рассмотрим угол
]
A
1
OB
1
такой, что
]
A
1
OB
1
=
]
AOB,
=
?,
A
1
(cos
?,
sin
?
)
,
B
1
(1
,
0)
.
Тогда
x
1
x
2
+
y
1
y
2
= 1
·
cos
?
+ 0
·
sin
?
= cos
?
.
Теорема доказана.
Лемма 13. При любом
x
?
R
выполнены тождества:
sin(
?
2
?
x
) = cos
x,
cos(
?
2
?
x
) = sin
x.
Доказательство. По теореме 56 при всех
x
?
R
cos(
?
2
?
x
) = cos
x
cos
?
2
+ sin
x
sin
?
2
= cos
x
·
0 + sin
x
·
1 = sin
x.
Следовательно,
sin(
?
2
?
x
) = cos(
?
2
?
(
?
2
?
x
)) = cos
x.
Теорема 46.
?
x, y
?
R
справедливы следующие формулы:
Формулы суммы.
cos(
x
?
y
) = cos
x
cos
y
+ sin
x
sin
y,
cos(
x
+
y
) = cos
x
cos
y
?
sin
x
sin
y,
sin(
x
?
y
) = sin
x
cos
y
?
cos
x
sin
y,
sin(
x
+
y
) = sin
x
cos
y
+ cos
x
sin
y.
Формулы суммирования.
sin
x
+ sin
y
= 2 sin(
x
+
y
2
) cos(
x
?
y
2
)
,
sin
x
?
sin
y
= 2 sin(
x
?
y
2
) cos(
x
+
y
2
)
,
cos
x
+ cos
y
= 2 cos(
x
+
y
2
) cos(
x
?
y
2
)
,
cos
x
?
cos
y
=
?
2 sin(
x
?
y
2
) sin(
x
+
y
2
)
.
Формулы разложения.
sin
x
sin
y
=
1
2
(cos(
x
?
y
)
?
cos(
x
+
y
))
,
cos
x
cos
y
=
1
2
(cos(
x
?
y
) + cos(
x
+
y
))
,
sin
x
cos
y
=
1
2
(sin(
x
?
y
) + sin(
x
+
y
))
.

11.2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.133
Формулы двойного и тройного аргумента.
Основное тригонометрическое тождество.
cos 2
x
= 2cos
2
x
?
1 = 1
?
2sin
2
x
= cos
2
x
?
sin
2
x,
sin 2
x
= 2 sin
x
cos
x,
cos
2
x
+ sin
2
x
= 1
,
sin 3
x
= 3 sin
x
?
4sin
3
x,
cos 3
x
= 4cos
3
x
?
3cos
x.
Формулы приведения.
sin(
?
2
?
x
) = cos
x,
cos(
?
2
?
x
) = sin
x,
sin(
?
2
+
x
) = cos
x,
cos(
?
2
+
x
) =
?
sin
x,
sin(
?
?
x
) = sin
x,
cos(
?
?
x
) =
?
cos
x,
sin(
?
+
x
) =
?
sin
x,
cos(
?
+
x
) =
?
cos
x,
sin(
3
?
2
?
x
) =
?
cos
x,
cos(
3
?
2
?
x
) =
?
sin
x,
sin(
3
?
2
+
x
) =
?
cos
x,
cos(
3
?
2
+
x
) = sin
x,
sin(2
?
?
x
) =
?
sin
x,
cos(2
?
?
x
) = cos
x,
sin(2
?
+
x
) = sin
x,
cos(2
?
+
x
) = cos
x.
Справедливы также следующие тождества:
Формулы приведения.
tg(
?
2
?
x
) = ctg
x,
ctg(
?
2
?
x
) = tg
x,
tg(
?
2
+
x
) =
?
ctg
x,
ctg(
?
2
+
x
) =
?
tg
x,
tg(
?
?
x
) =
?
tg
x,
ctg(
?
?
x
) =
?
ctg
x,
tg(
?
+
x
) = tg
x,
ctg(
?
+
x
) = ctg
x,
tg(
3
?
2
?
x
) = ctg
x,
ctg(
3
?
2
?
x
) = tg
x,
tg(
3
?
2
+
x
) =
?
ctg
x,
ctg(
3
?
2
+
x
) =
?
tg
x,
tg(2
?
?
x
) =
?
tg
x,
ctg(2
?
?
x
) =
?
ctg
x,
tg(2
?
+
x
) = tg
x,
ctg(2
?
+
x
) = ctg
x.
Доказательство. По теореме 56,
?
x, y
?
R
cos(
x
+
y
) = cos(
x
?
(
?
y
)) =
= cos
x
cos(
?
y
) + sin
x
sin(
?
y
) = cos
x
cos
y
?
sin
x
sin
y
ввиду чјтности ко-
синуса и нечјтности синуса. По доказанному и по лемме 16 имеем
sin(
x
+
+
y
) = cos(
?
2
?
(
x
+
y
)) = cos((
?
2
?
x
)
?
y
) = cos(
?
2
?
x
) cos
y
+ sin(
?
2
?
?
x
) sin
y
= sin
x
cos
y
+ cos
x
sin
y.
Далее,
sin(
x
?
y
) = sin(
x
+ (
?
y
)) =
= sin
x
cos(
?
y
) + cos
x
sin(
?
y
) = sin(
x
?
y
) = sin
x
cos
y
?
cos
x
sin
y.
Формулы
суммы доказаны. По доказанному
cos(
x
?
y
) + cos(
x
+
y
) = 2 cos
x
cos
y,
sin(
x
?
y
) + sin(
x
+
y
) = 2 sin
x
cos
y,
cos(
x
?
y
)
?
cos(
x
+
y
) = 2 sin
x
sin
y,
что
доказывает формулы разложения. Если в формулах разложения произве-
сти замену
?
=
x
?
y, ?
=
x
+
y,
то получатся формулы суммирования.
Согласно формуле косинуса разности
1 = cos 0 = cos(
x
?
x
) = cos
2
x
+
+ sin
2
x,
cos 2
x
= cos(
x
+
x
) = cos
2
x
?
sin
2
x
= 2 cos
2
x
?
1 = 1
?
2 sin
2
x.
По
формуле синуса суммы
sin 2
x
= sin(
x
+
x
) = 2 sin
x
cos
x,
sin 3
x
= sin(2
x
+
x
) =
= sin 2
x
cos
x
+ cos 2
x
sin
x
= 2 sin
x
cos
2
x
+ sin
x
?
2 sin
3
x
= 3 sin
x
?
4 sin
3
x.
Аналогично при помощи формулы косинуса суммы доказывается формула
косинуса тройного угла.
Формулы приведения для синуса и косинуса доказываются единообразно
при помощи формул суммы, подобно тому как это было проделано для
формулы
cos(
?
2
?
x
) = sin
x
в лемме 16.

134

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: