Лекции и упражнения

12.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.
139
12.4 Непрерывные функции. Основные свой-
ства.
Непрерывной называется функция, график которой
можно нарисовать одним движением руки
Приписывается И. Ньютону
Определение 110. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной в точке
x
0
?
?
D
f
если ее предел
lim
x
?
x
0
f
(
x
)
существует и равен
f
(
x
0
)
.
Определение 111. Функция, не являющаяся непрерывной в некоторой
точке называется разрывной в этой точке. Если при этом существуют
пределы
lim
x
?
a
+0
f
(
x
)
и
lim
x
?
a
+0
f
(
x
)
, то говорят, что
f
(
x
)
имеет разрыв I рода
в точке
a
, иначе  разрыв II рода.
Пример 37. Функция
f
(
x
) =
x
2
непрерывна во всех точках
x
?
R
. Это
следует из того, что предел произведения равен произведению пределов.
Пример 38. Функция
sign
x
=
?
?
?
?
?
1
,
x >
0;
0
,
x
= 0;
?
1
,
x <
0
является разрывной в точке
x
= 0
(разрыв I рода) и непрерывной в остальных точках.
Пример 39. Функция
f
(
x
) =
(
sin
1
x
,
x
6
= 0;
0
,
x
= 0;
является разрывной в точке
x
= 0
(разрыв II рода) и непрерывной в остальных точках.
Определение 112. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной слева в точ-
ке
x
0
?
D
f
если ее предел
lim
x
?
x
0
?
0
f
(
x
)
существует и равен
f
(
x
0
)
. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной справа в точке
x
0
?
D
f
если ее предел
lim
x
?
x
0
+0
f
(
x
)
существует и равен
f
(
x
0
)
.
Определение 113. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной на откры-
том множестве
M
, если она непрерывна во всех его точках. Множество
функций, непрерывных на множестве
M
обозначают
C
(
M
)
.
Определение 114. Функция
f
(
x
)
называется непрерывной на отрезке
[
a, b
]
, если она непрерывна точках интервала
(
a, b
)
,
непрерывна справа в
точке
a
и непрерывна слева в точке
b
. Множество функций, непрерывных
на отрезке
[
a, b
]
обозначают
C
([
a, b
])
.
Замечание. Свойство непрерывности имеет вполне понятный графический
смысл  график непрерывной функции есть непрерывная линия, т.е. его
можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Большинство (но не
все!) функций, с которыми мы будем иметь дело  непрерывные.

140
ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ.
Теорема 47. Пусть функции
f
,
g
непрерывны на множестве
M
, тогда:
1. Их сумма и разность
f
(
x
) +
g
(
x
)
,
f
(
x
)
?
g
(
x
)
тоже непрерывны на
множестве
M
2. Их произведение
f
(
x
)
g
(
x
)
непрерывно на множестве
M
3. Если
g
(
x
)
6
= 0
при всех
x
?
M
, то
f
g
? C
(
M
)
.
Доказательство.
Следует из соответствующих арифметических свойств пределов.
Следствие 14. Многочлен
P
n
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
?
1
x
n
?
1
+
. . .
+
a
1
x
+
a
0
является
непрерывной на
R
функцией.
Теорема 48 (Непрерывность сложной функции). Если
f
? C
(
M
)
и
g
?
? C
(
M
1
)
, где
M
1
=
f
(
M
)
 образ множества
M
, то
g
?
f
(
x
) =
g
(
f
(
x
))
?
? C
(
M
)
.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную
x
n
?
D
g
?
f
так, что
lim
n
??
x
n
=
x
0
?
M
. Из непре-
рывности
f
(
x
)
следует, что
lim
n
??
y
n
= lim
n
??
f
(
x
n
) =
y
0
=
f
(
x
0
)
. А из непре-
рывности
g
(
x
)
вытекает
lim
n
??
g
(
y
n
) =
g
(
y
0
) =
z
0
.
Лемма 14. Пусть
f
? C
(
{
x
0
}
)
, тогда найдутся
M
и
? >
0
, такие что
|
f
(
x
)
|
6
M
при всех
x
?
U
?
(
x
0
)
. Другими словами, функция, непрерывная
в точке
x
0
, ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство.
Возьмем
?
= 1
, тогда существует
? >
0
, такое, что
f
(
?
U
?
(
x
0
))
?
U
1
(
f
(
x
0
))
.
Выбрав
M
=
|
f
(
x
0
)
|
+ 1
получим
?
x
?
U
?
(
x
0
)(
|
f
(
x
)
|
6
M
)
.
Теорема 49. [Об ограниченности функции, непрерывной на отрезке] Пусть
f
? C
([
a, b
])
. Тогда существует
M
и
m
, такие, что для любого
x
?
[
a, b
]
выполнены неравенства
m
6
f
(
x
)
6
M
. Другими словами, функция, непре-
рывная на отрезке является ограниченной на этом отрезке.
Доказательство.
Докажем ограниченность сверху методом от противного. (ограниченность
снизу доказывается аналогично). Предположим обратное, т.е. то, что для
любого
M
найдется
x
?
[
a, b
]
такое, что
f
(
x
)
> M
. Выберем
x
n
, так, что
?
m
?
N
(
f
(
x
m
)
> m
)
. По теореме БольцаноВейерштрасса (23) существует
сходящаяся подпоследовательность
{
x
m
n
}
?
n
=1
. Обозначим
lim
n
??
x
m
n
=
x
0
.
По лемме 14 найдутся
M
и
? >
0
, такие что
?
x
?
U
?
(
x
0
)(
|
f
(
x
)
| ?
M
)
, но
U
?
(
x
0
)
 ловушка последовательности
{
x
m
n
}
?
n
=1
, а значит найдется
x
m
n
?
?
U
?
(
x
0
)
, такое, что
f
(
x
m
n
)
> M
. Противоречие.

12.4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.
141
Теорема 50 (Об экстремальных значениях непрерывной функции). Пусть
f
? C
([
a, b
])
. Тогда существует
x
max
?
[
a, b
]
и
x
min
?
[
a, b
]
, такие, что
для любого
x
?
[
a, b
]
выполнены неравенства
f
(
x
min
)
6
f
(
x
)
6
f
(
x
max
)
.
Другими словами, функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем
своего максимума (минимума).
Доказательство.
Из ограниченности
f
на отрезке
[
a, b
]
,
очевидно, вытекает ограниченность
множества
f
([
a, b
])
. Следовательно, существует
M
= sup
f
([
a, b
])
. Выберем
последовательность
x
n
?
[
a, b
]
так, чтобы
f
(
x
n
)
?
U
1
/n
(
M
)
. Такие
x
n
суще-
ствуют, поскольку
f
([
a, b
])
?
U
1
/n
(
M
)
6
=
?
по определению точной верхней
грани. Несложно заметить, что
lim
n
??
f
(
x
n
) =
M
. Все члены последователь-
ности
x
n
?
[
a, b
]
, следовательно, по теореме БольцаноВейерштрасса из
x
n
можно выделить сходящуюся подпоследовательность,
lim
k
??
x
n
k
=
x
0
. Рас-
смотрим
f
(
x
0
) = lim
k
??
f
(
x
n
k
) = lim
n
??
f
(
x
n
) =
M
.
Теорема 51 (БольцаноКоши). Пусть
f
(
x
)
? C
([
a, b
])
, причем
f
(
a
)
<
0
и
f
(
b
)
>
0
. Тогда существует
x
?
[
a, b
]
(возможно, не единственное), такое,
что
f
(
x
) = 0
.
Доказательство.
Построим стягивающуюся систему отрезков
{
[
a
n
, b
n
]
}
?
n
=1
следующим обра-
зом:
•
Выбираем на первом шаге
a
1
=
a
и
b
1
=
b
.
•
На
n
м шаге рассмотрим
c
n
=
a
n
+
b
n
2
. Есть три варианта. а)Если
f
(
c
n
) = 0
то теорема доказана. б) Если
f
(
c
n
)
>
0
, то выберем
a
n
+1
=
=
a
n
,
b
n
+1
=
c
n
; в) Если
f
(
c
n
)
<
0
, то
a
n
+1
=
c
n
,
b
n
+1
=
b
n
. Таким
образом, на каждом шаге
f
(
a
n
)
<
0
и
f
(
b
n
)
>
0
.
Очевидно, построенная таким образом система отрезков является вложен-
ной и стягивающейся.
Пусть
x
0
=
T
n
[
a
n
, b
n
]
, докажем, что
f
(
x
0
) = 0
. Предположим, что
f
(
x
0
) =
=
d >
0
. Функция
f
непрерывна, следовательно
f
(
x
0
) = lim
x
?
x
0
f
(
x
)
>
0
.
Очевидно,
lim
n
??
a
n
=
x
0
, следовательно
lim
n
??
f
(
a
n
) = lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
d >
0
,
что противоречит теореме 19 (о предельном переходе в неравенствах) так,
как
?
n
?
N
(
f
(
a
n
)
<
0)
. Аналогично доказывается, что невозможен случай
f
(
x
0
)
<
0
. Следовательно,
f
(
x
0
) = 0
.
Следствие 15 (Теорема о промежуточном значении.). Пусть
f
(
x
)
непре-
рывна на
[
a, b
]
и
f
(
a
)
< f
(
b
)
. Тогда для любого
C
?
[
f
(
a
);
f
(
b
)]
найдется
?
?
[
a, b
]
(возможно, не единственное), такое, что
f
(
?
) =
C
.

142

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: