Лекции и упражнения

Глава 12
Пределы функции.
12.1
Определение предела. Эквивалентность
определений по Гейне и по Коши.
Определение 104. Пусть функция
f
(
x
)
определена в некоторой окрест-
ности точки
x
0
и для любой последовательности
x
n
?
?
U
?
(
x
0
)
, такой, что
lim
n
??
x
n
=
x
0
существует предел
lim
n
??
f
(
x
n
) =
A
. Тогда говорят, что функция
f
имеет в точке
x
0
предел, равный
A
( или что функция
f
(
x
)
стремится
к
A
при
x
стремящемся к
x
0
) и обозначают это так:
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
A
или
f
(
x
)
?
A
при
x
?
x
0
.
В книгах по математическому анализу (например, в школьном учебнике)
часто дается другое определение предела:
Определение 105. Пусть функция
f
(
x
)
определена в некоторой окрест-
ности точки
x
0
и для любого
? >
0
существует
?
=
?
(
?
)
>
0
, такое, что
f
(
?
U
?
(
x
0
))
?
U
?
(
A
)
(т.е. для любого
x
?
?
U
?
(
x
0
)
выполнено неравенство
|
f
(
x
)
?
A
|
< ?
). Тогда говорят, что функция
f
имеет в точке
x
0
предел,
равный
A
( или что функция
f
(
x
)
стремится к
A
при
x
стремящемся к
x
0
) и обозначают это так:
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
A
.
Определение 104 называют определением предела по Гейне, определе-
ние 105  определением предела по Коши. Докажем равносильность этих
определений:
Доказательство.
Пусть предел
(Гейне)
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
A
в смысле определения 104 (по Гейне). Дока-
жем, что такое же равенство верно в смысле определения 105 (по Коши).
Будем доказывать методом от противного. Предположим, что существу-
ет
?
0
>
0
такое, что для всех
? >
0
выполнено
f
(
?
U
?
(
x
0
))
6?
U
?
(
A
)
. Возьмем
?
m
=
1
m
и выберем
x
n
?
?
U
?
m
(
x
0
)
так, что
f
(
x
n
)
/
?
U
?
(
A
)
. Тогда при всех
m
135

136
ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ.
окрестность
?
U
1
/m
(
x
0
)
является ловушкой
x
n
, следовательно,
lim
n
??
x
n
=
x
0
.
Рассмотрим окрестность
U
?
(
A
)
, очевидно, она не является ловушкой
f
(
x
n
)
(ни один член последовательности
f
(
x
n
)
не попадает в нее), следователь-
но
(Гейне)
lim
x
?
x
0
f
(
x
n
)
6
=
A
(по Гейне)  получено противоречие, что и доказывает
требуемое утверждение.
Докажем в другую сторону. Пусть
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
A
в смысле опреде-
ления 105 (поКоши). Выберем произвольную последовательность
x
n
та-
кую, что
lim
n
??
x
n
=
x
0
и
?
n
?
N
(
x
n
6
=
x
0
)
. Для любого
? >
0
существует
?
=
?
(
?
)
>
0
. По определению предела
?
U
?
(
x
0
)
будет ловушкой
x
n
, следо-
вательно
f
(
?
U
?
(
x
0
))
?
U
?
(
A
)
 ловушка
{
f
(
x
n
)
}
?
n
=1
. Значит,
lim
n
??
f
(
x
n
) =
A
(по Гейне).
12.2
Пределы на бесконечности и односторон-
ние пределы.
Определение 106. Будем говорить, что предел последовательности равен
плюс бесконечности и обозначать
lim
n
??
a
n
= +
?
, если для любого
c
?
R
множество
(
c,
+
?
)
является ее ловушкой. Аналогично, будем говорить,
что предел последовательности равен минус бесконечности и обозначать
lim
n
??
a
n
=
??
если для любого
c
?
R
множество
(
??
, c
)
является ее
ловушкой; будем говорить, что предел последовательности равен беско-
нечности и обозначать
lim
n
??
a
n
=
?
, если для любого
c
?
R
множество
(
??
,
?
c
)
?
(
c,
+
?
)
является ее ловушкой.
Определение 107. Будем говорить, что предел последовательности равен
a
+ 0
и обозначать
lim
n
??
a
n
=
a
+ 0
, если для любого
? >
0
множество
[
a, a
+
?
)
является ее ловушкой. Аналогично, будем говорить, что предел
последовательности равен
a
?
0
и обозначать
lim
n
??
a
n
=
a
?
0
если для любого
? >
0
множество
(
a
?
?, a
]
является ее ловушкой.
Замечание. Важно понимать, что ни бесконечность (
±?
), ни
a
±
0
не
являются действительными числами, следовательно, с ними нельзя про-
изводить арифметические операции. Это просто общепринятое формальное
обозначение, которое используется для сокращения записи.
Определение 108. Будем обозначать
€
R
=
R
? {
a
±
0
|
a
?
R
} ? {?
,
±?}
расширенное множество действительных чисел. Расширим определение пре-
дела по-Гейне. Числа вида
{
a
±
0
|
a
?
R
}?{?
,
±?}
будем называть псевдо-
числами. Пусть
a, A
?
€
R
. Будем обозначать
lim
x
?
a
f
(
x
) =
A
, если для любой
последовательности
lim
n
??
x
n
=
a
, где
x
n
6
=
a
при всех
n
?
N
, выполнено
lim
n
??
f
(
x
n
) =
A
.

12.3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
137
Замечание. Аналогично можно расширить определение предела поКоши,
если определить
?
окрестности для псевдочисел следующим образом:
•
U
?
(
?
) =
?
U
?
(
?
) = (
??
,
1
?
)
?
(
1
?
,
+
?
)
;
•
U
?
(+
?
) =
?
U
?
(+
?
) = (
1
?
,
+
?
)
;
•
U
?
(
??
) =
?
U
?
(
??
) = (
??
,
1
?
)
;
•
U
?
(
a
+ 0) = [
a, a
+
?
)
,
?
U
?
(
a
+ 0) = (
a, a
+
?
)
;
•
U
?
(
a
?
0) = (
a
?
?, a
]
,
?
U
?
(
a
?
0) = (
a
?
?, a
)
;
12.3 Арифметические свойства пределов
Утверждение 35. Пусть
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
F
и
lim
x
?
x
0
g
(
x
) =
G
, тогда
lim
x
?
x
0
(
f
(
x
) +
g
(
x
) =
F
+
G.
Утверждение 36. Пусть
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
F
тогда
lim
x
?
x
0
c
·
f
(
x
) =
c
·
F.
Утверждение 37. Пусть
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
F
и
lim
x
?
x
0
g
(
x
) =
G
, тогда
lim
x
?
x
0
(
f
(
x
)
·
g
(
x
) =
F
·
G.
Утверждение 38. Пусть
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
F
и
lim
x
?
x
0
g
(
x
) =
G
6
= 0
, тогда
lim
x
?
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
F
G
.
Все эти свойства вытекают из соответствующих свойств пределов после-
довательности. Надо только сделать замечание в последнем свойстве, что
если
lim
x
?
x
0
g
(
x
) =
G
6
= 0
, то взяв
?
=
|
G
|
/
2
, и соответствующее
? >
0
, полу-
чим
0
/
?
f
(
U
?
(
x
0
))
, или, другими словами, в некоторой окрестности точки
x
0
функция
f
(
x
)
не обращается в ноль.
Утверждение 39 (Предельный переход в неравенствах для функций).
Пусть существует предел
lim
x
?
x
0
f
(
x
) =
A
, причем функция
f
(
x
)
такова,
что
f
(
x
)
?
C
для всех
x
?
?
U
?
(
x
0
)
. Тогда
A
?
C
.
Доказательство.
Вытекает из теоремы о предельном переходе для последовательностей.

138

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: