Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 12. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ. Замечание. Если допустить многозначные отображения, то можно постро- ить обратные функции, напиример, следующим образом: Asin ( x ) = ( { ( ? 1) n · arcsin x + ?n } n ? Z , x ? [ ? 1 , 1] не определена, x 6? [ ? 1 , 1] . Это отображение ставит каждому x ? [ ? 1; 1] бесконечное множество чисел (а не одно число). Упражнения Упражнение 234. Сформулировать определения следующих пределов по- Гейне и по-Коши и доказать их эквивалентность: a) lim x ? a +0 f ( x ) = ? ; b) lim x ? + ? f ( x ) = A ? 0 ; Упражнение 235. Доказать, что следующее определение непрерывности эквивалентно исходному: функция f : M ? R непрерывна в точке a , если для всякой последовательности { x n } ? n =1 точек M , сходящейся к a , последо- вательность { f ( x n ) } ? n =1 сходится к f ( a ) . Упражнение 236. Функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Докажите, что f ( x ) ограничена снизу. Упражнение 237. Докажите теорему о промежуточном значении (след- ствие 15). Упражнение 238. Доказать что f ( x ) = cos x непрерывна на всей числовой оси. Упражнение 239. Доказать, что функция Римана R ( x ) непрерывна в ир- рациональных и разрывна в рациональных точках. Упражнение 240. Привести пример функции f ( x ) , разрывной во всех точках числовой прямой, такой, что | f ( x ) | ? C ( R ) . Упражнение 241. а) Привести пример функции, разрывной во всех точ- ках числовой прямой кроме одной, т.е. непрерывной только в одной точке; b) привести пример функции, непрерывной ровно в двух точках; c)* ровно в n точках, n ? N . Упражнение 242. Пусть f ( x ) некоторый многочлен, про который из- вестно, что уравнение f ( x ) = x не имеет корней. Докажите, что тогда и уравнение f ( f ( x )) = x не имеет корней. Упражнение 243. Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Дока- жите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A по- полам. 12.6. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. 147 Упражнение 244. Пусть f ? C ([0 , 1]) такая, что f (0) = f (1) = 0 . Дока- жите, что на отрезке [0; 1] найдутся 2 точки на расстоянии 1 10 , в которых функция f ( x ) принимает равные значения. Упражнение 245. О функции f ( x ) , заданной на всей вещественной пря- мой, известно, что при любом a > 1 функция f ( x ) + f ( ax ) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f ( x ) также непрерывна на всей прямой. Упражнение 246. Известно, что D f = R , и для любого x ? R выполнено равенство: f ( x + 1) · f ( x ) + f ( x + 1) + 1 = 0 . Докажите, что f / ? C ( R ) . Упражнение 247. Доказать теорему о сущестовании обратной функции a) для непрерывной монотонно убывающей на отрезке функции. b) для функции, непрерывной и монотонно убывающей на [0 , + ? ) , такой, что lim x ? +0 f ( x ) = = A , lim x ? + ? f ( x ) = B . Упражнение 248. a) В каких точках непрерывна функция Дирихле, рав- ная 1 в иррациональных точках и 0 в рациональных? b) Тот же вопрос для функции Римана, которая равна 0 в иррациональных точках и равна 1 /q в рациональной точке p/q (если дробь p/q несократима). Упражнение 249. Привести пример функции, определјнной на всей пря- мой и a) разрывной в целых точках и непрерывной в остальных; b) непре- рывной в целых точках и разрывной в остальных. Упражнение 250. Доказать, что для любого счјтного множества дей- ствительных чисел можно построить возрастающую функцию, разрывную во всех точках этого множества и непрерывную во всех остальных. Упражнение 251. Может ли определјнная на всех прямой возрастающая функция быть разрывной во всех точках? Упражнение 252. Может ли функция быть непрерывной во всех рацио- нальных точках и разрывной во всех иррациональных? Упражнение 253. Две функции f и g определены на множестве M и непрерывны в точке a ? M . Доказать, что их сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля в точке a ) также непрерывны в этой точке. Упражнение 254. Функция f определена на множестве X ? R , принима- ет значения в множестве Y ? R и непрерывна в точке a ? X . Функция g определена на множестве Y и непрерывна в точке b = f ( a ) . Доказать, что композиция g ? f , то есть функция x 7? g ? f ( x ) = g ( f ( x )) , непрерывна в точке a . Упражнение 255. Функция f определена и непрерывна на отрезке. Дока- зать, что f ограничена на этом отрезке. Почему аналогичное рассуждение нельзя провести для интервала? |