И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

Т .к .2 > !,т о х 2 <1; 
(х-1 Х *+ 1)< 0 .
х
Ответ: х е (—1; 1).
12. Задание: Решите неравенство З2*-1 + З2*-2 - 32х~4 < 3 1 5 . 
Решение:
32' " 4(33+ 3 2 -1 )< 3 1 5 ;
З2* '4 *35 £ 3 1 5 ;
З2*-4 < 9.
Т.к. 3>1, то 2х - 4 й 2; 
х £ 3 .
Ответ: х е ( - оо;3].
13. Задание: Решите неравенство 2Х+2 - 2Х+3 — 2,+4 > 5х+1 — 5*+2. 
Решение:
14. Задание: Решите неравенство 3* + 2,_| -
2*+2 
-
З*-1 
+ 
2*“3 
> 
0. 
Решение:
Т.к. 0 < —<1,тох>0.
5
Ответ: х е 
(0; оо).
3' + Щ  - 2Х+2 - У х + 2х' 3 > 0;
Зт - 3xi > 2Х+2 - 2х-1 - 2,_3;
3 
8
197

27
i i ' i i L .
г  
2 I
« Я  
\ 2) 
16
H
i
Т.к. — > 1,тодс5:4.
2
Ответ: х е [4;оо).
Метод введения новой переменной
Многие показательные неравенства сводятся к обычным алгебраическим 
с помощью введения новой переменной.
Неравенства вида f ( a * ) v  0 при помощи замены переменной t = с? сво­
дятся к решению системы неравенств
/> О,
а затем к решению соответ-
1/(0 v О,
ствующих простейших показательных неравенств.
15. Задание: Решите неравенство 0,04 ' - 26 • 0,2* + 25 < 0 • 
Решение:
0,04* - 26 • 0,2х + 25 < 0;
0,22
х
- 26 • 0,2х + 25 < 0.
Обозначив t = 0,2х, получим
1 £ / £ 25;
1 £ 0,2х < 25;
t > 0,
t > 0,
/2 - 26/ + 25 < 0; l( f - 2 5 X / - l) < 0 ;
- 1 < 1 -1 £ -
Т.к. 0 < - < 1 ,то - 2 < х < 0 .
5 
’
О твет:
 хе [— 2; 0J.
198

16. Задание: Решите неравенство 1~* -  3 • 71+х > 4. 
Решение:
7 "' - 3 • 7,+х > 4;
— - 3 - 7 - 7 ' > 4.
V
Введем переменную t = I х и получим:
/>0,
|l — 2 If2 — 4/
I 
t
> 0:
/> 0,
1 г21'> 4;
О < / < —; 
7
г
Л
7
О твет: х е (-оо; -1 ).
17. Задание: Решите неравенство 
Решение:
2я
+ 8
------- > 2 .
2 *-1
Обозначим t= 2 * ,t> 0 . 
t + 8
----- >/;
/ - 1
/ 2
—
2
/ —
8
К > 0 ,
21Г2 + 4/ -1
<0;
/ > 0,
21 
t +
н
<0:
2х +1 
2х -
> 2х.
/ - 1  
(/-4Х/-*-2) 
/-1
1 < f < 4;
1 < 2х < 4;
0 < х < 2.
<0;
<0;
199

18. Задание: Решите неравенство
Решение:
1
4 2 + 5
+ 
1
1
-
2 
+1 
4 2 + 5
Преобразуем неравенство к виду
ную / = 2х, t>  0.
1 
1
1
1
2 х +5 
2 • 2х +1
и введем перемен-
/ + 5 
2/ + 1 
/ - 4
* 0 ;
у < гт 7 7 7 /. '/ /
 
г
+ " N .
0
2
4
if  + 5)(2/ +1)
0 < / < 4;
2х < 4 .
Т.к. 2> 1,то х< 2.
О твет: х е ( - оо; 2].
Рассмотрим решение однородных показательных неравенств следую­
щего вида А ■ а1х + В -a* -bx + С -b2x v  0 . Разделим обе части неравен­
ства, например, на Ъ2х > 0 . Получим равносильное неравенство
= у  > 0 , перейдем к неравенству
второй степени Ay + By + С v 0.
19. Задание: Решите неравенство 3 • 16х + 2 • 8 I х - 5 ■ 36х > 0 . 
Решение:
3 1 6 х + 2 - 8 Г - 5 - 3 6 х > 0 ;
3 • 4 2х + 2 • 92х - 5 • 9х • 4х > 0 
|-е-92х> 0 ; 
ч 2*
( - )
2х
+ В
г
>
+ С v 0 . Обозначив
f - T
U J
/
3 - '? .
+ 2 - 5 - 1 - 1 > 0 .
Введем переменную t =
200

\t> о,
[З/2 - 5/ + 2 > 0;
Г/ > о,
К
0 < / < —, t>  1; 
3
1 ) ° < Ы < т ;
- 1 < i -
н
- 1 > -
1
Т.к. 0 < — < 1, то 2х > 1, х> — . 
Т.к. О < — < 1,тох<0.
3 
2 
9
Решением данного неравенства является объединение промежутков. 
Ответ: х е
20. Задание: Решите неравенство 5 • 4* + 2 • 25* < 7-10*.
Решение:
5-4* + 2-25* < 7 10*;
5-12х + 2-52
х
 - 1 -2х-5х < 0 |+52* > 0 ;
5 - f - l + 2 - 7 - Г —1 < 0.
Замена: 1 — 1 = /, t > 0. 
5t2 - I t + 2 <  0;
- s - s i.
Т.к. 0 < —
5
< 1,то0<д:< 1. 
О твет: x e [ 0 ;l].
201

При решении показательных неравенств, содержащих произведение или 
частное различных функций, можно применять метод интервалов.
■' 
0,2х -0 ,0 0 8
21. Задание: Решите неравенство -га---------------< 0.
х -1 0 х + 25
Решение:
0,2х -0 ,0 0 8
Л 
< 0;
Метод интервалов
х~ — 1 Оде ч- 25 
0,2х - 0,23
. 
< 0 .
( х - 5 ) 2
Найдем нули и точки разрыва функции:
0,2х - 0,23 = 0; 
( х - 5 ) 2 = 0 ;
х, = 3 ; 
х2 = 5.
Подстановкой какого-либо 
произвольного значения из данных
интервалов, устанавливаем знаки 
•-----
функции на интервалах: 
3
О твет: х е [3; 5) U (5; оо).
4х + 2 х - 4
22. Задание: Решите неравенство --------- j— < 2 .
Решение:
4х + 2х - 4 
„
^ 2;
х — 1
4х + 2х - 4 - 2х + 2 
х —1
4х - 2
< 0 .
х — 1
Найдем нули и точки разрыва функции:
4х - 2 = 0; 
х -1 = 0;
22х = 2 ; 
х2 = 1. 
+
1 
---------- •
1
О тв е т: х €
2
202

Решение:
е3ж~' - 1
л
----------- > 0 . 
х
 + 8
Найдем нули и точки разрыва функции: 
в3' -1 —1 = 0; 
х + 8 = 0;
Зх — 1 = 0; 
х2 = -8 .
+
---------- о--------------
23. Задание: Решите неравенство --------- > 0 .
х + 8
О твет: х е (-оо; - 8) U
1
3
Метод разложения на множители
При решении некоторых показательных неравенств используется преоб­
разование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки и примене­
нии метода группировки.
24. Задание: Решите неравенство х 2 • 5* — 52+х < 0 .
Решение:
х2 5х- 5 2+х^0; 
х2-5х - 5 2 -5х <, 0; 
5х(х2 - 25) 
<,
 0.
Т.к. 5* > 0 при любом х, то данное неравенство равносильно следующе­
му неравенству:
* ~ 2 5 - 0’’ 
----------- - ^ 7 7 7 7 7 7 7 ^
(х -5 Х * + 5 )£ 0 . 
v
* 
^  
О твет: х е [ - 5; 5J.
25.
 Задание: Решите неравенство 
х2 
• 
2х 
+ 4 > 
х2 
+ 
2х*2.
Решение:
х2 • 2х + 
4 
^ х2 + 2Х+2; 
х2 • 2х + 
4 
- х2 - 2х • 22 ^ 0.
Сгруппируем слагаемые: 
(х2 
■ 
2х 
-
х2) 
+ (4 
- 2х 
• 4) > 
0;
203

(2х - IX * 2 - 4) > 0.
Полученное неравенство решим методом интервалов.
Найдем нули каждой функции:
2х - 1 = 0 ; 
х 2 - 4 = 0; 
хх = 0; 
х2 
j
= ±2.
Определим знаки функции на промежутках:
+ 
+
----------> ■
•--------------- » ........ 
►
-2 
0
2 
х
О твет: х е [ - 2; 0]U [2; оо).
26. Задание: Решите неравенство 52х+| + 6х+| > 30 + 5х • 30х .
Решение:
52х+|
+ 6х+1 > 30 + 5х • 30х;
52х • 5 + 6х • 6 - 30 - 52х • 6х > 0;
(52х • 5 - 30) + (6х ■ 6 - 52х • 6х) > 0;
5(52х- 6 ) + 6х( 6 - 5 2х) > 0 ;
(52
х
- 6)(5 - 6х) > 0;
(52
х
- 6)(6Х - 5) < 0.
Найдем нули функции:
5* - 6
 = *
6
я- 5 = 0;
2х = log5 6; 
вх =5-
x = -lo g 56. 
х = log6 5.
Сравним log, -ч/б и log6 5 , используя метод “разделения”:
Попытаемся подобрать такое рациональное число, которое разделило бы 
данные числа, т.е. было больше одного из них, но меньше другого.
Оба логарифма больше 0, но меньше 1. Попробуем сравнить их с
х 2(2х - 1 ) + 4 ( 1 - 2 х) £ 0 ;
-U 
| ы

Iog65 ?
log5V6 ?
log65 ? log664; 
з
5 ? 6 4;
54 > 6 3.
Значит, log6 5 > —.
log5V6 ? logs 54;
з
л/6 ? 5 4;
3 6 < 5 .
Значит, log5 
л/6
Таким образом log5 л/б < log6 5.
Решим неравенство методом интервалов: 
+
-о------------------ с
log65
О твет: х е |
— log5 6; log6 5 |.
Решение систем неравенств
27. Задание: Решите систему неравенств
Решение:
Vх
 *
з
- • -
>
>*2 - 6
х
-3,5
27
64
8л/2.
8 
>
27 
64 ’
2 r - o x - i , 3
< 8 л / 2 _
jr - 6 jr - 3 f5
Преобразуем левую часть первого неравенства системы:
2х 2~3' _ 2"2'
jx
3”*
Получаем:
2 * * —бдг—3,5 ^ п3.5
4,
< 2л,а;
дс < 3,
х —6 х - 7 < 0; 
I (х - 7)(
jc
+1) < 0.
дс < 3,
205

Ответ: хе  (— 1; 3).
28. Задание: Решите систему неравенств
Решение:
■Jx + 5 > -6,
^ х + 5 > 6’ [х + 5 £ 0 , Гх £ -5 ,
1
2Х < - ;
8
2х 
<
2
~3; 
Ответ: х е [-5 ;-3 ).
jc
< —3.
V 5 x-1 £ 2 ,
2*-' - Ъ 2 " г > -23.
29. Задание: Решите систему неравенств 
Решение: 
fV 5 x -l £ 2 ,
[2х" 1 - 3-2*+2 > -23.
Решаем второе неравенство системы:
2х-1 - 3 -2 Х+2 > -2 3 ;
2Х_1(1 -3 -2 3) > -23;
2 '- '. (-23) > -2 3 ;
2*"1 <1;
/ л —1 < 0.
Таким образом, получаем равносильную систему неравенств:
5 х -1 £ 0 , 
5 х -1 £ 4 , 
х -1 <0;
Ж
5
х£1,
х< 1 .
Ответ: х е
[й-

§4. ТО Ж Д Е С ТВ Е Н Н Ы Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 
Л О ГАРИ Ф М И ЧЕС КИ Х ВЫ РА Ж ЕНИ Й
Вычисления на применение 
основного логарифмического тождества
Вычисления на применение 
определения логарифма
1
. а) 
10 
8 ; 
ч 
yiog7 
2+2
 log7 з.
/ I \ 2+21og, 6
6)1 
! ; 
д) 4 9 |”' ’ 2^ 1°е*’ " ;
B ) 2 6*l°i ' 3 + 103le!; 
e) 5 l°t s 4 *Itot’ \
2 .a )8 1 k* ,s + 2 7 l°f,M + 3 ,h t' 7;
б ) 7 2 . f 4 9 ^ ’ " ° ' ’ ‘ + 5 - ^ 4); 
v 
у
в) (0 ,02 5)lg2 • (0 ,0 4 )lg2;
r ) V 3 6 logtS + 1 0 Wg2 + 6 * 3 |08,Э6.
З а) log , 49; 
б) logM 3
л/2;
В)|08^ . ^ 4 3 ’
Г),0Ч
V s
}
д)
 log 12816;
е) log s
------
2
Вычисления на применение 
формулы логарифма степени
Вычисления на применение формул логариф­
мов произведения, частного и степени
4. а) 3 log2 (log4 16) + log0 5 2;
б) logg log4log,16;
в) log j log4log381; 
r)lo g 4 log14196+ logs л/5;
д) log51
 + log7 V49;
е) log 
2
log j 
y f f l .
5. a) log2 (0,4) + log2 л/2 + log
2
10;
б)log6 3 0 - ± lo g l150;
в) log, (5 + 
2л/б) 
+ log, (5 - 2л/б);
г
 
2
г) log5 1 7 5 - log j 7 - log3 8+31og3 |J;
ч 31og3 2 - lo g j 24 
1 + log з 9 
e) Ig tg V  
+ lg (g 2‘ + ... + lgfg89\
207

6. а) Вычислите 9х, при х = log, 9 + ^5 log, | ; 
6) Вычислите 3х, при
х — logj 4 — lg 20 - lg5.
7. log4- —- 2 log4(4x4) \x--2.
4
Вычисления на применение
формулы 
log b = --------
log „а
Вычисления на применение 
формулы 
перехода к другому основанию
1 
1 
8. а) 2 5 108,4 5 + 4 9 ‘°8*7;
1 
4
б) 81108,3 + 2 7 log,36+ 3 ‘og79; 
lo g 2 24 
log 2 192 
l°g % 2 
lo g ,2 2 ’ 
r) lo g 3 1 0 -lg 2 7 ;
Д) log ii (l° g
2
3 • log 3 2^
4
—
( Н и
e )2 5 loe2? + 9 - 4 108,2 — 
7
log4»9
9. a) log3 2 • log4 3 • log, 4 • log6 5;
б) log, 5 • log5 10 • log,0 16;
в) log j 4 - log6 5 • log7 6 • log, 7.
10. a) (log, 4 + 91og4 3 + 6) *
* (log, 4 - 3 logjpg 4) log4 3 - log, 4;
1 - log/ 3 
, 
8
б) 
2 +log2 ;
(logj 3 + log, 2 + l)log2 —
в) log,218 • log24 54 + 5(log,218 - log24 54).
Вычисления одних логарифмов через другие
11 .Дано:log303 = a, log305 = Ь. Найдите Iog308.
12. Дано: lg l 96 = a, lg56 = Ь . Найдите lg 0,175.
13. Дано: log9g 56 — а . Найдите log714.
14. Дано: logI4 7 = a, log,4 5 —Ъ . Найдите log3S 28.
15. Дано: log,2 27 = а . Найдите log616.
208

При изучении свойств логарифмов следует обратить особое внимание т  
то, что все свойства логарифмов следуют из соответствующих свойств степе­
ней, и поэтому для хорошего знания логарифмов надо уметь свободно обра­
щаться со степенями. Такая тесная связь логарифмов и степеней существует 
потому, что само определение логарифма дается через понятие степени
Определение. Логарифмом числа b (Ь>0) по основанию а (где а ' 0. а * I ) 
называется показатель степени х, в которую надо возвести основание а, чтобы 
получить число Ь, то есть из се ~ b следует 
т
= log i( Ь и наоборот.
Математической записью определения логарифма является так называе­
мое основное логарифмическое тождество:
а'08»
ь — b (а >
 0, 
а *
 1, 
b >
 0).
Напомним, что всякое положительное число при любом (положительном 
и отличном от единицы) основании имеет логарифм, а отрицательные числа и 
нуль логарифмов не имеют.
Приведем основные свойства логарифмов
I. log. 1*0.
Ш Ш Щ вЩ
3. loge(Z> • с) = logJ/>j + log„|c|, (be > 0) - логарифм произведения.
4. log. — = log jftl - lo g jc l (be > 0 ) - логарифм частного.
С '
5. tege62# = 2p\oga\b\, (b *  0, p e Z ) - логарифм степени.
6. tege„ b = y-log|a|
b, (b > 0, p *  0, p e Z , a *  0, |a| *  I).
7. 
t e g ,
b = — ■
— , (e-> 0,c Ф 1 ) -переход от одного основания логарифма
tog^or
к другому
В частности, log. b -  — -— .
log» в
8. с = log. ас — запись числа через логарифм.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как основные свойства лога­
рифмов применяются для упрощения выражений, вычисления одних лога­
рифмов через другие.
Внимательно разберите с карандашом и бумагой приведенные примеры; 
важно понять, где используются перечисленные выше формулы (мы специ- 
ально проводим преобразования подробно, но почти без пояснений).
Тождественные преобразования логарифмических выражении
209

Вычисления на применение основного логарифмического тождества
1. Задание: Вычислите:
а)103" 2'85; 
в )2 6+,О8г3 + 1031в3;
v 2 + 2 lo g | 6
х § 
*°87
2 - - l° g „ 6 4
д )4 9
2 
;
Решение:
r \ y l° g
7
2+2
log
7
3 .
е)5
logyj 4+2 log, 3
a)103-2lg5 =103 10'21g5 =103 -10lg5'J =103 -5‘2 
= 40;
25
/ ! \ 
2
+
21
og 
16
6)
5
2
log, 
6
-
5
= - - 3 6 = 4;
B )
2
6+iog23 +
1 0
3ig3 
= 2 6
.
2
'o s23 +
1 0
ig3
3
=
2 6
. 
з з
3
 =219;
p\ y lo g
7
2+2log7 3 _ у log, 
2
+log
7
Э
1
_ у log
7
18 _ | g .
д)49
lo g ,2— lo g .,64 
. 
| 
— log.,.64 
, , 
,
, — log , 2
6
2
649 
= 4 9 loe?2.49 2 w 
= (7 2) 87 *(7 2) 2 
=
_ у
2
log, 
2
у
2
2
^
2 1087
2
_ y log
72
J 
y lo g ^ " * _
2 2
. 2 ~3 _ ^ 
1
__ 
1
.
8 2
’
e )
5
k » „ « k » , 3 =
5
2to g ,4 
5
I « , 3 '
= 4 2
. 3 2
= 1 6 . 9
=
1 4 4
2. Задание: Вычислите:
a) 8 l ,og35 + 2 7 108936 + 34,og97; 
в) (0,025)lg2 • (0,04)lg2; 
^108,9-108,6 
5 -,08Л 
4
 
\ 
г) 
л/361086 5 + 1 0 1+lg2 + 6 - 3 log936 .
6 )7 2
49
2
Решение:
a) 81108,5 + 2 7 l08’ 36 + 34log’ 7 = 341°e»s + з 31ое^62 + 34|08?j7 _
= 3
|08’54
 +3
log’63
+ 3 log,7J = 5
4
+ 6
3
+ 7
2
 =625 + 216 + 49 = 890;
6 )7 2
49|iog79-iog76 + 5 _log7;4
_ ? 2 . 
3 - l° g 76 
^ - 2 l o g , 4 \ _
210

= 72(7I " ^ 5 - - ) = 7 2 ( l + i ) = 72.A = 22,5;
в ) (0,025)182 -(0,04),g2 = (0,025 • 0,04)lg2 = (0,00l),g2 =(10"3) ,g2 =
= 10ler' *1 ;
8
r)V 3 6 te8‘5 + 1 0 ,+,B2 + 6 -3 log’36 =д/б2,08‘5 +10 10*82 + 6 -3 ,ов,г fiJ 
= л/52 + 1 0 -2 + 6 -6 =л/8Т = 9.
Вычисления на применение определения логарифма 
3. 
Задание:
Вычислите:
a)log_^49; 
B)log0{J) ^ = = ;
д)1о8 ш 16;
6)1ое“ ^ ; 
идШЙ" 
е °8! Vole
Г) log
Решение:
а) Пусть log , 49 = 
х.
77
По определению логарифма [ — ) = 49, 
1 2 — I 1,
= 2, 
х =
- 4 ;
W7) 
2
t 
1
1
1 
6)log MV 2 = x ,
64* = 25, 
26х = V , 
6х = ~,
х = — ;
^
3 
18
В)|08ад'^ 4 3 =Д:’ 
( ^ Ш
'
*=п '
5 I
. .
Я Ш
И
_
24 
-
2
?
_
J
1
fl)log12816 = x, 
128'=16, 
21ж = 24, 
* = - ;
( 1 ) =Щ!б’ Й М т ) ’’ (!) 
i l f ' х=
м 
| г
о

Вычисления на применение формулы логарифма степени
4. Задание: Вычислите:
а) 3 log2(log416) + log0 5 2; 
г) log4 log14196 + log5 >/5;
б) log8 log4log216; 
д) logs j j = +  ,0g7 ^49;
в) log5 log4log3 81; 
e) 
log2 log2 * $ 2 .
Решение:
а)31og2(log416) + log05 2 = 3 log2(log4 42)+log, 2 =
2
= 3 log, 2 + log,., 2 = 3 -1 = 2;
б) log8 log4 log216 = log8 log4 log, 2* = log, log4 4 = log81 = 0;
в) logs I°g4 logj 81 = logj 1о&» log? 34 = logj ,0g
4
4 = loB s 1 =
r) log4 log)4196 + logj V5 = log4 logt4142 + logs S2 = log4 2 + ~  log, 5 =
о 
1 
1» 
^ 1
1 1 ,
= log . 2 + — = -^log, 2 + — = —+ — = 1;
2'
2
2
62
2
2
2
д) logj j j = + log? V49 = logj S3 + log7 V  = | logs 5 + у log7 7 =
_ 5 2 _ 7 
“
3
3 ~ 
3
’
е) log2 log, yfi/2 = log, log, 28 = log2 ^ = log, 2 '3 = -3 .
8
Вычисления на применение формул логарифмов произведения, 
частного и степени
5. Задание: Вычислите:
а)log2(0,4)+log2 л/2 + log210; 
r)lo g s 175-logs 7-^ lo g 3 8 + 3 log3
б)log6 30 . Ilo g 6150; 
д ) 3 1 о ^ -1 о | 1 2 4 ;
/ 
2 
1+log3 9
в) log1 
(5 
+ 2л/б) + logi (5 - 2>/б); 
e) 
\gtgV +lgtg2‘ + ...+ lg fg89\
2
 
" - 1 ‘ ■
 
2
V
i I 
fN

( , г * \
а) log2(0,4) + log, л/2 + log210 = log, (0,4 - л/2 -10) = log2 4>/2 = log2 22 =
5 i 
о 5 
= —Iog,2 = —;
2 
2
б) log, 3 0 -ilo g „ l5 0 = log, 30- log, V l50 = log, - - = = = log, J L = lo g .-^ = 
=M og,6^=I;
в) log, (5 + 2л/б) + log, (5 - 2л/б) = log, ((5 + 2 л/б)(5 - 2л/б))= log, 1 — 0;
2
2 
2
.
г) log5175 - log5 7 - ^log3 8 + 3 log31 j = log5 ^
- log3
= log; 25 - log3 27 = log5 52 - log3 33 = 2 - 3 = -1 ;
, 
8^
31og3 2 - logj 24 
log3 23 - log3 24 _ ° ёз 
24
_ log3 3"1 _ 1.
1 
+ log3 9 
log3 3 + log3 9 
log3 27 
log3 З
3
3 ’ 
e)lg/gl° + Igfg2* + ... + lg<&89° = \g(tg\‘ tg2° tg3‘ ...-tg S T tg№ tg№) = 
= lg((gl* tg T tgy ...-ctgy c tg T -ctgY) = lg(fg45”) = Ig l = 0.
6. Задание:
а) Вычислите значение 9х, при х = log3 9 +1,5 log3 - ;
б) Вычислите значение 3х, при х = log 2 4 - lg 20 - lg 5 .
Решение:
а) х = logj 9 +1,5 logj i = log
3
 (9 • 3“1,5) = log
3
 30S = 0,5; 
9* = 9
0,5
 = 3; 
б
) x = log, 4 — lg 20 — lg 5 = log
2
 2
2
 - lg(20 • 5) = 2 - 2 = 0; 
3" =3° =1.
x2
7. Задание: Упростите выражение log4------21og4(4* ) и вычислите его
4
значение при х = -2 .
Решение:
Решение:
5
213

*°g
4
— 2 log4(4x4) = log4 
x 2
- log4 4 - 2 log4 4 - 21og4 
x*
=
4
= 
2 log4|jc| 
-
1 - 2 
- 8 
log4|jc| 
= -3 -
6 log4|x|;
при 
x
= -2
log4S —21og4(4x4) = —
3 —
6log4|—
2| = -3-61og2; 2
= - 3 - 6 —= -6.
2
Ответ:
-6.
Вычисления на применение формулы 
lo g > = — —
log4a
8. 
Задание:
Вычислите: 
i $j 
i
a )2 5 ,og4S + 4 9 log»7; 
r )lo g 3 10 1g27;
44 
1 
4
ф в !1" ’3 + 2 7 tog*36 + 3 ^ ’ ’ ; 
д)log, (log, 3-logj 2> .
lo g , 2
log^M to g ^ . 
е)25^
+9.
log%2 
logI2 2
Решение:
1 
,!
а) 251086 5 + 49,og*7 = 2 5 ,og56 + 49,og7® = 5 2l0B56 + 72,°в78. =
= 5i°g561 + 7 iog7el = 6 2 +g2 = 3 6 + 6 4 = 100;
_LL " ' 
' 
4
б ) 8 1 1 0 8 ,3 + 2 7 i ° g » 3 6
_ g j h > g , 5 + 2 7 to8 9 36 + 3 4 «og»7 _
_
341og35 +33log}161+34Iog}17 = 3logj5* +33-2-ilog,6 
,
= 54 + 6 3 + 7 2 -890;
log2 24 log2 l ^ . J
1 
lft„ 
1
<7 iog4
в )——-------- ^ ---- — log. 
24
---- :----- log, 
192-
log% 2 
log,2 2 
62 
log* 2 
62 
log,, 2
= log2 24-log2 96 -lo g 2 192-log2 12- = log2(12-2)-log2 9 6 -
-lo g 2(96-2) log2 12 = (1 + log2 12) log2 96-(1 + log2 96)log2 12
214

= log2 96 + log2 121og, 9 6 -lo g 2 12-lo g, 12-log, 96 = log2 9 6 - 
96
-lo g , 12 = log2 — = log, 8 = log2 23 = 3;
r ) l o g , 1 0 i g 27 = 7i - l g 2 7 = ^
lg з 
lg3
= 3;
д) log, (log2 3 ■ log3 2) = log
l°g 2 3
4 V '
= log, 1 = 0;
4
6 ) 2 5 ^ 5 + 9 -
< i— — ^ 
4
los<2
log 2 3,
_'j\ogm9 _ 2 5 |obs2 +
9
.
^4
.
4
"'og
2
з 
у |o
872
32
_
i i
. 
2 log, 3 
1
= 5 g5 
+ 36-2 81 
- 7 2 
= 4 + 3 6 - - - 3 = 5.
9
Вычисления на применение формулы перехода к другому основанию 
При решении любых задач, содержащих логарифмы по различным осно­
ваниям, следует запомнить одну рекомендацию, почти не имеющую исклю­
чений: необходимо перейти во всех логарифмах к одному основанию.
9. Задание: Вычислите:
а) logj 2 • log4 3 • logj 4 • log6 5;
б) log2 5 log5 10 log,о 16;
в) logj 4 • log6 5 • log7 6 • log, 7.
Решение:
а) log3 2 • log4 3 • logj 4 • log6 5.
Выполняем переход к логарифмам по основанию 3:
log, 2 ■ 
Jfe 
■ 
■
• 
Ш
 
= 
■ 1 
log. 2; 
log3 4 log3 5 log, 6 
logj 6 
б) log,5 1ogs 10 1og,016.
Выполняем переход к логарифмам по основанию 2:
_ log,10 log,16 
. 
l og25 —*
= log216 = log22 = 4 ; 
log2 5 log210 
в) logj 4 • log6 5 • log7 6 • log, 7.
Выполняем переход к логарифмам по основанию S:
logj 4
logs5 logs6 logj 7 
logj 4 _
log, 6 log, 7 logj 8 
logj 8
= log, 4 = log,, 2 = - lo g 2 2 =
21S

Во многих задачах необходимо использовать формулу перехода к одному 
основанию логарифма и затем вводить новые переменные (одну или несколько). 
Иллюстрацией сказанного является следующее задание.
10.Задание: Вычислите значение выражения: 
a)(log3 4 + 91og4 3 + 6)(log3 4 -3 1 o g 108 4)lo g 4 3 -lo g 3 4;
6)
l- lo g 3
(log
2
3 + log3 2 + 1) log.
2 + ' ° g= i :
в)log
, 2
18-log
24
54 + 5(log121 8 -log
24
54).
Решение:
а) Все логарифмические выражения приведем к основанию 3, после чего 
сделаем замену t
 
= 
log3 4 .
(log- 4+9 log4 3 + 6)(log- 4 - 3 logl0g 4) log4 3 - log- 4 =
log. 4+-
log- 4
-+6
log-4 -3
Jog3_4_>| _ l_
log-108 
J 
log3 4
- log3 4 =
log3108 = log- (4 • 27) = 
log- 4 + log- 33 = Iog3 4+3
= U + - + 6 / -
3/ M
/2 + 6f + 9 t 2 
1
/ + 3 ) I
— / =3-
(< + 3)-
1 - log, 3 
8
6) -------------- a---------2 
g4 =
(log2 3 + log3 2 + 1) log2 —
3
- / =
/+3 t 
/+3 
log23 = /,
logj 
2
= - ,
t
—/ = / + 3 — / ==3;
I - / 3
/ + - + 1 1(1-0
+ 3 - / =
l - r
log, - = log2 2 - logj 3 = 1 -/ , 
g
log2 - = log2 8 - log2 3 = 3 - /. 
■ + 3 — / — t + 3 —t  = 3;
в) log^ 18 • log24 54 + 5(Iogl218 - log24 54) = —— - •log2 54 + 5
log,12 log2 24
^log218 
log254> 
log212 
log224^
log218 = log, (9 • 2) = 21og2 3 + 1, 
log212 = log2 (3 • 4) = log2 3 + 2, 
I
° g 2
24 = log2 (3 • 8) = log2 3 + 3, 
log2 54 = log2 (27 • 2) = 3 log2 3 + 1, 
log2 3 = t.
2/ + 1 3/+1 
/ + 2 / + 3
+ 
5
2/ + 1 
3/ +1
t  
+ 2 
/ + 3
216

6/2 + 5/ + l )5
l - / 2 
_ Г + 5 / + 6 
(/ + 2)(/ + 3)
(/ + 2)(/ + 3) 
(t + 2)(t + 3) 
(/ + 2)(/ + 3) 
( t 1 2)(t + 3)
Вычисления одних логарифмов через другие
11. Задание: Дано: log30 3 = a, log30 5 = 6. Найдите log30 8.
Решение:
30
log3„ 8 = 3 log30 2 = 3 log30 — £ 3(log3„ 301 log3(, 15) = 3(1 - log3l)(3 • 5)) =
= 3(1 - log*, 3 - Iog,„ 5) = 3(1 - a - b).
О твет: 3( 1 - a - b).
В рассмотренном задании все просто, потому что, во-первых, основания 
всех логарифмов одинаковы и, во-вторых, можно выразить число 2 через чис­
ла, логарифмы которых заданы, то есть через числа 30,3 и 5. Очевидно, это не 
всегда легко сделать.
12. Задание: Дано: lg 196 = a, lg 56 = b. Найдите lg 0,175.
Решение:
Таким образом, задача свелась к нахождению lg 7 и lg 2.
Условия задачи можно записать в виде двух равенств: 
fig 196 = a, flg(4-49) = a, Jlg 4 + lg49 = flr, |21g2 + 21g7 = а,
[Ig56 = 6; 
[lg(8-7) = 6; 
[lg8 + lg7 = Z>; 
|31g2 + lg7 = 6 |
(-2); 
J21g2 + 21g7 = a,
[-6 1 g 2 -2 1 g 7 = -2 6;
- 2 b+a 
2 b - a
- 4
3a-2b
lg2 = 
lg 7 =
ц
i п н «
З а - 2ft 
2b - a
S a - 6 b - 4
Sa-6b-A
lg 0,175 = ------------ 2 -------------1 ------------------1 
О твет: --------------
4 
4 
4 
4
13. Задание: Дано: log^ 56 = а. Найдите log7 14.
Решение:
log 
7
14 = log, (7 • 2) = 1 + log, 2.
Задача свелась к нахождению log7 2.
Перейдем к логарифмам с основанием 7.
log.. 56 = 1о8т56 = log
7
8 + log77 = 31og72 + l 
98 
log7 98 
log7 49 + Iog7 2 
2 + log7 2 ’
217

3 log? 
2
 + 
1
 
л.
2 + log7 2 “ ’
31og7 2 + 1 = 2a + a log, 2; 
1 - 2a = (a - 3) log7 2;
1 - 2 a
l°g7 2 =
a - 3
1 - 2a 
a - 3 +1 - 2a 
- a - 2
a +2
Значит, log, 14 = 1 +
cr-3 
a - 3 
a - 3 
3 - a
&
a+2 
Ответ: —a r.
3 ~a
14. Задание: Дано: logj4 7 = a, log14 5 = 6. Найдите log35 28. 
Решение:
l 
14
log 
:11
 
log,. 28 
lo
»..(2
l4) 
log
,4
 2 + 1 / 
14
7 
log
,4
 35 
log, ,(
5
-7) 
logM5+log,47 
0+6 
_ 1 - log,4 7 +1 _ 2 - a 
a + b 
a + b
О твет: —— -. 
a+6
15 .Задание: Дано: log12 2 7 = а. Найдите logg 16.
Решение:
log, .6 = 4>og, 2 = 4
^
 = " a s g  = 
l08” 6 
log,, у
1 l°g ,i2
Остается вычислить log12 2. По условию задачи:
log
|2
 27 = 3 log,, 3 = 3log,, j
 = 3(1 - log,, 4) = 3 (1 -2 log,2 2).
Отсюда 3 - 6 log,22 = a;
3 - a = 61og,2 2;
i 
о 3~a 
l°g,22 = —
.
Значит, log616 = — ^ — = ^ 3_ — = ^ —— . 
О твет:
I 3 - д 
6 - 3 + a
3 + a
6
218
4 (3 -a) 
3+a *

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: