И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

3)
4sin 20°-sin 50°-sin 70° 
4sin 20°-sin 50°-cos 20’ 
2 sin 40*-sin 50*
= 1.
sin 80°
_ 2sin40° -cos40° _ sin 80° 
sin 80° 
sin 80°
9. 
Задание: Упростите:
^
sin(60° +a?)
4sta( 15' +f ) si" ( 75'- f ) .
l-4sin2ar-cos2ar
6)
cos ar-sin a
а  
аЛ|2аг
e)|
*)
l + ctg2a -ctga
tga + ctga 
Решение:
a)
sin(60° +ar)
sin 80°
sin 80°
d)~
e)
sin22at-4sin2ar
sin22ar + 4sin2ar-4’ 
tgia
tgAa - tg2a
ж ) (sinar)-1 + (tga)*';
з) 1 
Г
— Г
l^ sin ',|2a + —
sin(60° +ar)
4sin( 15° + f ) sin( 75’ - f ) 4sin(l5” + ^]sin^90°-^15° + | j j
sin(60° + ar)
sin
(*
( « " I ) )
2 - 2sin|
H I
cos^I5° + ^ j| 
2sm|
2sin| 30° + |jcos^30° + у
2sin^30"+^j
= 
cos
^30°+
y
^
l-4sin2ar cos2ar 
l-sin22ar cos22ar 
o )
----- ------ — ---- = ------ r ----= -----г— = 
cos2ar;
cos ar-sin ar
cos2ar 
cos 2a
4l 
a 
ar> 2ar 
e)\ctg --tg-]jg —  =
1 
a
- r * i
*7
* r §
2 a 
m 01
I -tg j
2tg-
= 
2:
tg
, - V f
272

I
ctg2a - \
2 
+ clg2 a - \
1 +--------ctga 
_____
I + 
ctg2a ■
 ctga 
2ctga
2 
l + ctg2a
ctga
tga+ctga 
_ L _ + Ctga 
l + ctg! a
2 
l + ctg2a
ctga 
ctga
ctga
2
v sin22a-4sin2a
4sin2a-cos2a-4sin2a
<*)-
sin2 2a  + 4sin2 a -4 4sin2 a ■
cos2 a + 4sin2 a - 4sin2 a - 4cos2 a
4sin2a(cos2a - l) 
l-cos2a
, sin2 a
= --- i 
--- — = /^-cr-— — = tg~a— | —tg a;
4cos a(sin or — 1) 
l-sin a  
cos a
tg2a 
_ 
tg2a 
tg2a(\-tg22a) 
\-tg22a
tg4a-tg2a 
2tg2a 
^ 
tg2a(2-\ + tg22a) 
l + tg22a
\-tg22a
sin2 2a
I-
cos2 2a _ cos2 2a-sin2 2a _
, sin 2a 
cos' 2a+sin 2a
1+— |--
cos 2a
=cos4a;
ч» I 
S I . 
1 
l 
1 
cosa 
1 + cosa
ж ) (sina) + (tga) = —— +-- |
1
------ =
sina tga 
sina sina 
sina
, a
,
. e
a
1 + 2cos-- 1 
2 cos — 
cos—
9 
2 
2 
®
I -------1-- = ------- 1— = ----1 ctg—;
_ . a
a
- . a
a
. a  
° 2
2sin—• cos— 
2sm — -cos— 
sm —
2 
2 
2 
2 
2
3)i ------- Я
! , = i ------- L -----=1------L —
= i j — И
l-sin-'f2a + — )
Г--- ------ r
1---- - 
1 +
. 
(3 n
sin — + 2a
I 2 
J
-cos 2a
cos 2a
_ l _
1 
_ ^ 
cos 2a 
cos 2a+ \- cos 2a 
1 
1
1 + cos 2a 
cos2a + l 
cos 2a +1 
cos 2a +1 
2cos2a 
cos 2a
Применение тригонометрических формул половинного аргумента 
Формулами половинного аргумента называются формулы, выражающие
значения тригонометрических функций аргумента — через значения триго-
2
неметрических функций аргумента сг.
273

6 )sin4a-cos4а, если tg— = 0,5:
2
e) sinar и cosar, если tg— = -2,4 и 90* < — < 135'.
2
2
Решение:
a) tg2a = 4;
sin4a + cos4a-c(g2a = 2,* f
___ * 8 д2а + 1 - « ’ 2» _
l + (l + /g22a)-/g2a
>g2a
6) tg— = 0,5;
sin4a - cos4a = (sin2a + cos2a)(sin2a-cos2a ) = -(cos2a - sin 2a ) = -cos2a =
= -(2cos‘ a - l) = l-2cos2a = 1-2
! i - i -
25 1 25 '
. 
aa  
l- t g -
1 + tg2
= 
1 - 2
\2
1--
___4
i +l
= 1-
e) tg— = -2,4 и 90' < — < 135°;
2 
2 
a
-2-2,4 -4,8 
480
sin a =-----— = ----- = ---- =----
1 + / 
2
a  
1 + 5,76 
6,76 
676
2
120
169’
180' < a < 270'
= —>/l-sin2a = - Jl -f -
120
169
169 -120
169-
49-289
169
7-17
169
12. Задание: Упростите:
119
169
a)
4tga(\-tg2a ) 
(1 +tg2a )2 ’
Решение:
6)
tg \ —+ a 1-1
1 + tg | - + a
a)
4/ga(l - /g2a ) _ 2 • 2tga 1 - tg2a  
1 + tg2a  1 + tg2a
(l + /g*a) 
я
0 + e 2 a £ - V 2 a _
\ + tg 2a
= 2 sin 2a ■
cos 2a = sin 4a;
6 )
tg‘\ - + a  |-1
71
276
1 +tg j —+ a
\-tg-\— + a
= -cos( — + 2a | = sin 2a;
1+tg | —+a

v (l + tg2a)2-2tg22a 
. 
1 + 2tg2a + tg 'la - 2tgl 2a 
2tg2a
e)~-- 1— —— ----- sin 4a -1 =--------- =—-----§------- ~ —
\ + tg'2a 
l + tg 2a  
1 +tg 2a
sin2 2 a
i + 2tg2a-tg22a-2tg2a-\-tg22a -2tg22a ~ cos22a __
l+ tg22a 
l + tg22a 
, sin2 2a
л 
6 
1 + — ^—
cos' 2a
-2sin22a
cos'2a+sin 2a
- = -2 sin' 2a.
Применение формул преобразования 
суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
Часто необходимо сумму тригонометрических функций представить в 
виде произведения. Такое преобразование бывает полезно при решении три­
гонометрических уравнений, для того чтобы преобразовать в произведение 
левую часть уравнения, у которого правая часть равна нулю. После этого 
решение тригонометрического уравнения обычно сводится к решению про­
стейших тригонометрических уравнений.
Следующие формулы позволяют выполнить такие преобразования:
. . 1 
„ . 
а±
В 
а+
В
sin a ± sin р = 2sin---—cos---—;
2 
2
. 
а + ft 
а - Р
cosa + cos Р  = 2 cos---—cos---- :
2 
2
.
. . 
а + 
Р . а - р
cosa -cos В = -2sin---—sin---—:
2 
2
tga± tgP = Si— a - ^
ia ,P Ф ^+ лк, к e z \  
cosa-cos/> 
V 
2 
)
_ 
sin(/?±a) / 
_
ctga ± ctgP =----- -— (a ,p Флп, n e Z )
sina-sin/7
13. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведения:
v ЛГ . . 
cos(a + 32') + cos(a - 28')
а) V3 ± tga; 
д )------ —— --------- ;
sin(88 - a )
б)l+ sin a + cosa; 
. 
e)tg9°-tgey+ tgZY -tglT-, 
e)3-4sin2( | - a j;
г) sin2| — + 2p j - sin2j — - 2/Л; 
ж ) sin 47' + sin 6Г - sin 11” - sin 25';
. 2cos40* -cos20"
3 )
------ -— ------- .
sin 20
277

sinl
3
Решение:
а) 
л/З ± tga = tg^-± tga Щ
sinl— ±a\ 
2sin \^r±a
3 
n 
~ 
cosa
cos— cosa
3
6) 
1 
+
sin 
or 
-tvcosa 
= 
( I +
cos 
or)
+
sin 
a
= 2 cos2 
— + 2 sin— cos — =
2
2
2
= 2cosy^cos^- + sin^-J = 2cosyl sin^90° -y^+ sin^
= 2 cos ~ 2 sin 45° • cosf 45° - 
= 2-J2 cos— cos^45° —
в) tg9° -tg63° + /g81° -tg2T.
Рекомендаиия: Выделите в рассматриваемом выражении те значения три­
гонометрических функций, у которых аргументы в сумме или разности дают
угол, кратный —, затем сгруппируйте их соответствующим образом и упростите. 
2
(fg9° + tgi Г ) - (/g63° + tg27°) = — |§р | В В
cos9 -cossl
sin 90° 
1 
1 
1
cos 63° • cos 27° 
cos 9° • cos(90° — 9°) cos(90° - 27°) • cos 27° 
cos 9° • sin 9°
1 
2 
2 
sin 54° - sin 18° _ 
sin 18° • cos 36°
sin 27° • cos27° 
sin 18° sin54° 
sin 18°-sin54° 
sin 18° -sin(90° -36°)
. cos36°
= 4-----= 4;
cos36°
=— (cos(ar + 4/3)- cos (a -4/?)) = - —-(-2)sin a • sin 4p - sin a • sin 4 p\
ar+32° +ar-28° 
a
+32°- a  + 28° 
2 cos------------ cos-
„ cos(ar + 32°) + cos(ar - 28°) 
2
 
2
sin(88° - a ) 
sin(88° - a )
_ 2cos(ar + 2°) • cos 30° _ л/з cos(cr + 2°) _ ^  
sin(90° - (a + 2“)) 
cos(cir + 2°)

.ж?) sin 47° +sin61°-sin 11° -sin 25° = (sin 47° + sin 61°)-(sin 1 Г + sin 25°) =
= 2 sin 54° cos 7° - 2 sin 18° cos 7° = 2 cos 7°(sin 54° - sin 18”) =
sin 36° 
2 sin 36° cos 36° 
= 4cos7 sinl8 -cos36 =2cos7------ cos36 =cos7 •-
cos 18° 
cos(90° —72°)
sin 72' 
•„
= cos 7 ----- - cos / ;
sin 72°
2cos 40’ — cos 20" 
cos 40° + (cos 40° — cos 20°) _ cos(90° — 50°) — 2sin 10° • sin 30"
sin 20’ 
sin 20° 
tin 20°
_ sin50’ -sinlO’ _ 2sin 20° cos30° _ ^  
sin 20° 
sin 20°
14. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведения:
a ) 
cos 2а - cos За - cos 4а 
+ 
cos 5а; 
sina 
+ 
3sin 2а 
+ 
sin За
в)
б) sin 4а  - sin 5а  - sin 6а + sin 7а; 
cosa + 3 cos 2а + cos З а '
Решение:
a) 
cos 2а - cos За - cos 4а + cos 5а = (cos 2 а+cos 5а) - (cos За + cos 4а) =
7а 
За л 
7а 
а  _ 
7ог (
За 
а
- 2 cos-- cos--- 2 cos--- cos— = 2 cos— cos--- cos—
2 2
2 2
2 V 2 
2
_ 
7a f  „ . 
. оЛ 
. . a . 
7a
= 2 cos— -2 sin a sin — I = —4 sin — sina cos— ;
2
6) sin 4a - sin 5a - sin 6a + sin 7a = (sin 4a + sin 7a)- (sin 5a + sin 6a) =
„ . 11a 
3a „ . I la 
a _ . l l a f
3a 
a^
= 2sin--- cos--- 2sin----cos — = 2sin--- cos--- cos— =
2 
2 
2 2
2 v 
2 
2
)
_ . l l a f _ . 
. 
. a . 
. 11a 
= 2sin-- - 2sina • sin— = -4sin — sina - sin-- :
2 I 
2
)
2 
2
sina + 3sin2a + sin3a 
(sin a + sin 3a) + 3 sin 2a 
2sin2a-cosa + 3sin2a
e)---------------- =------------------------------------ =
cosa + 3cos2a + cos3a (cosa + cos3a)+ 3cos 2a 2cos 2a cosa+ 3cos 2a
sin 2a(2cosa + 3)
-------------- = 
tgla.
cos2a(2cosa+ 3)
Применение формул преобразования 
произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Часто оказываются полезными формулы преобразования произведения 
тригонометрических функций в сумму (разность). Обычно они используются 
при упрощении тригонометрических выражений, при нахождении производ­
ных и интегралов от функций, содержащих тригонометрические выражения, 
а также при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
279

cosa •
cos /? = — (cos(a -/?) + cos(a + p)\ 
sin a • cos/? = -(sin(a - P ) + sin(a + P)\ 
sina ■
sin /? = — (cos(a - /?) - cos(a + /?))
IS. Задание: Вычислите:
. . a . 3a 
3
a)16sin—-sin— , если cosa = —; 
2 
2 
4
( n 
\i . 1
( n 
)
H
•sm|
H
e) sin 20' • sin 40" ■
sin 80°;
г )------ 2sin70‘;
2 sin 10°
iv 
2 я  
4 n 
6л
d) cos — + cos-- v cos— ;
7 
7 
7
e) sin 4° • sin 86° - cos 2° • sin 6° +—sin 4°.
2
Решение:
^ 
3
а) cos a = —:
4
16sin^--sin^y = 16 ^| cos| 
| — cos| ^ + 
| | = 8(cosa-cos2a) =
= 8(cosa-2cos2a + l) = 8| — -2- — + 11 = 8 - — = 5;
И
16 
J
8
б) sin2 a + sin^ ~ +a  j • s*n| y ~ a j = s'n2 or + 
cos2a - cos 
l-cos2a cos 2a i f  1^ 1 1 
3
f 
( a
3a"\ 
( a
З а '])
• cos —
-соя —+ —
I
12
2 ,1 
\2
2 I
2 
2 
2^ 2 j 2 4 4
e) sin 20° • sin 40° • sin 80°.
В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму произведение 
трех и более тригонометрических функций, формулы применяют повторно.
sin 20° • sin 40° • sin 80° = (sin 20° • sin 80°)- sin 40° =
= - (cos 
60°
-cos 
100°)-
sin 
40° 
= - s in
40°
- - c o s
100° 
sin
40° 
= - s in
40°
- 
2 
4 
2 
4
280

- ^ • ^-(sin(-60°)+sin 140°)= —sin 40°+— -—sin 40° = — ;
2 2 
4 
8 
4 
8
2 sin 10° 
2sinl0° 
2sinl0°
_i-I+2cos80° _2sinl0° _
2 sin 10* 
2sinl0‘
- . 
л
ч. 
2я
4л 
6л (
2л 
4л 
6яЛ 
-
ш 7 
д)cos ——+COS ——+COSтт~* I COS--+COS—-4-cos-— 1---- --
я 
2я
. я 
4л 
_ . я 
6я
2 sin — cos— +2 sin—-cos— + 2sin —-cos--
_f ^ 7 v 
7 
1
1
 
7 
7
2sin —
7
. Зя . я . 5л . Зя 
5л 
я
SU1— -sin—+sm——sm — + sin;r-sin— -sin— 
.
7 
7 
7 
7___________ 7 
7 
1
. 
л
*
. л- 
2* 
1
2sin— 
2sin —
7 
7
Рекомендаиия. Суммы cosx + cos2x+.„ + cosnx и sin x+sin 2x4-...+sin их
преобразуют умножением и делением на 2sin ^ с последующим применени­
ем к слагаемым формул преобразования произведения тригонометрических 
функций в сумму или разность.
е)sin4° - sin86*—cos2' - sin6° +— sin4* = ^(cos82* - cos90’)-
- —(sin 4° + sin8*) + —sin4* = —sin 8* - — sin4* - — sin8* + — sin4* =0.
2 
2
2
2
2
2
Вычисление значений тригонометрических функций 
от 
аркфункций
При вычислении значений тригонометрических функций от аркфункций
необходимо знать, что:
я
^ я 
я 
я
-- < arcsinx < —, -- < arctgx < —;
2 
2 
2 
2
0 £ arccosx й я, 
0 < 
arcclgx 
< я\ 
sin(arcsinх) = х, иcos(arccosx) = х, если |х|£1; 
tg(arctgx) ж х, 
и 
ctg(arcctgx) * х, 
если 
х е Л.
281

arcsin(-jc) = - arcsin 
jc
; 
arctg(-x) = -arctg(x);
arccos(-jc) = л — arccosjc; 
arcctg(-x) = л - arcctgx.
В тех случаях, когда аргумент выражен через обратные тригонометричес­
кие функции, надо преобразовать данное выражение таким образом, чтобы 
можно было воспользоваться определением обратных тригонометрических 
функций.
16. Задание: Вычислите:
a) arcsin] sin 
] - arctgj tg — I - arccosl cos
V 
7
6)tgI arcsinl
y ] +
a rcct^ ct
^ - у j j;
t o
)
. 
f 
J 2 ) Зл
e)cos arctgi —
---
X
 
l 
з) 
2
e)s\n(arctg(-3));
d)sinf2arcsin^-1; 
Решение:
е)tgi^arcctg3\
, 
. 3 
.1 2
ж ) arcsin— + arcsin— ;
5 
13
з) arctg2 + curctg3.
= arcsin ^ sin ^ -y 11-
. f . 2л ) 
J
л 
= arcsinl sin — I - arctg\ - tg— |—arcco:
• 
(
• 
5* ) 
J
6яЛ 
/
8лЛ 
J (
Зя-^Л 
a) arcsinl si n — I - arctgI t g - l-  arccosl cos — I+arcctg\ c/gl — — 11 =
л
+ y j j +
area
g^- c/gyj = 
s^-cosyj+arcc/g^-c/g y j =
= у - 
arct^tg у
J j 
- 
^л 
- arccos^ cos y j j + 
л 
- arcct^ctg y j =
2 л л 
л 
3 л 
л
= — +-- л + — + л --- = —;
7 
7 
7 
7 
7
6)tg
1 
| л 
arcsinl — + — 
4 Д 2
Обозначим arcsi:
*{4)тЛ*
тогда sin a = — и a  e IV четверти.

в ( а +| ] - Щ
I f e И
И
 И 11
Обозначим a r c t J - = a , тогда tga = —^ и a  e IV четверти.
2 
1 
1+ctg a =
в
) cos^arc/g^- y j- ^ -
sin" a
1 + * = 
1
4 
sin2 
a '
■
2
4 
s i n a = — ;
13
2л/13 
sin a = —
13
cos^a/r/gj-
1 ] "
у
j = cos[ « -
Y
) = co{ y ” a ) = ~sin a = -| -
г) sin(arc/g(-3)).
Обозначим arctg(-3) = a , тогда tga = -Зи — , 1
1 
2 
1
1 + tg a  = — — ; 
1+9 = — — ; 
cos a = — ; 
cos a
cos a
Ю
, 
1
з-Ло
sin(arc/g(-3)) = sina = tga ■
cos a = -3 • -j== = — — ;
d)sin^2arcsin^j.
Обозначим arcsin— = a , тогда sina = — и a e I четверти. 
_____
7 
7
V 
49 
7 ’ 
lin^arcsin^-j = sin 2a = 2sin
_ I 4л/з 
8-Л
a • cosa = 2------- ——;
7 
7 
49
e )td ^ a rc c tg A
Обозначим arcctgi = a , тогда ctga = 3 и a e I четверти.

sin2 or
1
+ 
9
=
sin2 or
• 
2
1
« 
strict = — ; 
sina = -7=, 
10 
V IO
cosa = >/l -sin2 a = ./1---- -==■;
io 
Vio
tg —arcctg3
I a  
sina 
Jjo
= Jg— ------- - v 
=
. 3
. 1 2
ж ) arcsin— + arcsin— ;
2
1
+ cosa 
л/10+З
V io
= VTo — 3;
Обозначим:
. 3 
arcsin — = a; 
5
sina =
a e I четверти;
13
• 
12
л 
arcsin— = p; 
13
• /? 
12 
sin p = — ;
13
P e I четверти;
cos/7 = ^/l-sin2/? = J l - —— = — ■
y 
V 
169 
13
Л--- r" i —
, 
9 
4
cosa = л/1-sin a = J 1--- = —.
V 
25 
5
0
2
0
< a + p < я-, т.е. a + /? лежит в области значений арккосинуса.
. 3
.1 2
_ 
arcsin - + arcsin — = а + В;
5 
13
/ 
, ЯЧ 
/7 
• 
• /7 
4 5 
3 12 
16 
cos(a + В ) = cosa • cos В  - sina • sin р = --------- =--- .
5 13 
5 13 
65
Тоща a + р  = arccos
16
65
Замечание: Распространенная ошибка при решении таких задач состоит в 
том, что не учитывается величина аргумента а+ р. Рассуждают так: по фор­
муле синуса суммы чисел можно записать:
/л 
а 
. й 
3 5 
4 12 
63
sinia + В )-  sina-cosр + cosa-smp ------ н----= — ,
5 13 
5 13 
65
а затем делается ошибочный вывод о том, что a + Р  = arcsinf — |, хотя число
\ 6 5 j
284

а+ не лежит в области значений арксинуса, так как а + Р > —.
з) arctgl 
+ 
arctgl.
Обозначим:
arctgl = a ; 
arctgl = Д
rga = 2; 
tgP 
= 3;
а е I четверти; 
Р  е I четверти;
ctga = 
ctgP =
я
я-
— < аг < —;
4 
2
п 
„ я
— < Р < — ;
4 
2
— <а + Р < 7г, т.е. аг+ Р  лежит в области значений арккотангенса.
2
arctgl + arctgl = а + Р ;
ctg a+ctgP 
JL + 
i
6 6
7С
Тогда а + Р = arcctg(-\) =
1 3
Зя- 
4 '
28S

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: