И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова

2. 
Задание
: Имеется 0,5 
т
целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколь­
ко килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25%
целлюлозы?
Решение
: Пусть следует выпарить 
х кг
воды.
За чистое вещество примем целлюлозу.
Доля воды в целлюлозной массе 0,85, а значит, доля целлюлозы:
1 -0 ,8 5 = 0,15.
Состояние
Количество
Общее
Массовая
смеси
чистого вещества
количество
концентрация
(тА = М С А)
смеси 
(М)
Ш
1
0 ,1 5 -5 0 0
500
0,15
Выпаривание
0 ,1 5 -5 0 0
5 0 0 - х
0,25
Составим и решим уравнение:
0,15• 500 = ( 5 0 0 - х ) - 0,25;
5 0 0 - х = 3 0 0 ;
х
= 200. 
Ответ:
200 
кг.
3. 
Задание:
Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 
кг.
После того, как 
из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества 
осталось столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси? 
Решение:
Пусть первого вещ ества в смеси было 
х (кг),
тогда второго 1 8
-х(кг).
Остаток первого вещества в смеси 60% , остаток второго - 75% .
т А = М С А
М
1 вещество
0,6х
X
0,6
2 вещество
0,75(18 - х )
- равны
1 8 - х
0,75
Составим и решим уравнение:
0,6х = 0,75(18 - х ) ;
0 ,8 х = 1 8 - х ;
х = 10. 
Ответ:
10 кг, 8 
кг.
4. 
Задание:
В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 гсоли, то 
в растворе будет содержаться 70% соли. Найдите массу соли в первоначаль­
ном растворе.
Решение:
Пусть масса раствора х (г).
376

Состояние смеси
тА = М С А
М
с .
1
0 ,4 х
X
0,4
2
120
120
1
1 + 2
0,4дг+120
х + 1 2 0
0,7
Составим и решим уравнение:
0,4.x + 120 = (jc+ 120)-0,7;
0,3*= 36; 
х = 120.
Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе:
120-0,4 = 48 (г).
Ответ:
48 
г.
5. 
Задание:
Кусок сплава меди и цинка массой в 36 
кг 
содержит 
45%
меди. 
Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав 
содержал 60% меди?
Решение:
Пусть требуется добавить х (кг)
 
меди.
Состояние
смеси
Количество 
чистого вещества 
(тА
 = 
М- СА)
Общее 
количество 
смеси (М)
Массовая
концентрация
(СА)
1
16,2
3 6
0,45
2
X
X
1
1 + 2
16,2 + х
3 6
+ х
0 ,6
Составим и решим уравнение:
16,2 + х = (3 6 + 
х)
• 0,6;
0,4х= 5,4;
х = 13,5. 
"
Ответ:
13,5 кг.
6. 
Задание:
Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3 ,
а другая - в отношении 3 :7 . По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, что­
бы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 :5 ?
Решение:
Пусть из одной бочки взяли 
х
ведер, тогда из другой ( 1 2 - х ) ведер.
Отношение спирта к воде в первой бочке 2 : 3 , значит в бочке 40% спирта; 
отношение спирта к воде во второй бочке 3 :7 , значит в бочке 30% спирта.
Отношение спирта к воде в смеси 3 : 5, найдем процентное содержание 
спирта:
Здг+5х= 
100
(% );
8
х =
100
;
377

х -
12,5.
Т.е. в смеси 37,5 % спирта.
Состояние смеси
тА
= 
М■ СА
М
с *
1 бочка
0,4х
X
0,4
2 бочка
0,3(1
2-х )
12— 
х
03
Смесь
4,5
12
0,375
Согласно первому столбцу таблицы, составим уравнение:
0,4* + 0,3(12 
—jc ) =
4,5;
0,1 *= 0 ,9 ;
х=9. 
Ответ:
9 ведер, 3 ведра.
7 .
Задание:
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 
40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 
т
стали 
с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть взяли дг 
(т)
стали первого сорта, тогда стали второго сорта 140 -
х(т).
Состояние
смеси
Количество 
чистого вещества 
(тА = М С А)
Общее 
количество 
смеси (Л/)
Массовая
концентрация
(СА)
1
сорт
0 ,05*
X
0,05
2 сорт
0 ,4 (1 4 0
-х )
и
0
1
X
0,4
1
сорт + 2 сорт
0,05*+ 0,4(14 0 - х )
140
0,3
Составим уравнение:
0,05.x + 0,4( 140—
jc
)= 140-0,3;
0 , 3 5 jc =
14;
*•=40. 
Ответ:
40 
т,
100/и.
8. 
Задание:
Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом 
растворе содержится 12 
г
соли, во втором 15 
г
соли. Если оба раствора сме­
шать, то концентрация полученной смеси составит?
Решение:
Состояние
смеси
Количество 
чистого вещества
(тл)
Общее
количество
смеси (Л/)
Массовая
концентрация
тА
1 раствор
12
80
0,15
2 раствор
15
120
0,125
Смешали
27
200
X
378

9. 
Задание:
Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 
г
больше, 
чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по 
1
массе 
равное ~ массы чистого серебра, первоначально содержащегося в спла­
ве, 
то получится новый сплав, содержащий 83,5 % серебра. Какова масса спла­
ва 
и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра? 
Решение:
Пусть сплав содержит 
х г
серебра, тогда меди в нем (дс - 1845)
г.
Масса сплава (2т - 1845) г.
Рл
= 
СА
100% = 13,5%.
Ответ:
13,5%.
т А
М
с *
Серебро
Медь
Добавили
Смешали
X
( х -
1845) 
1
- х
3
4
—X
3
j - 2 х - 1845 
1
- X
3
- X
-
1845 
3
1
1
1
0,835
Составим и решим уравнение:
у х = f j x - 1845j - 0,835;
4
jc
 = (7
jc
 - 5 5 3 5 ) - 0,835; 
~
369x = 167-5535;
41x = 167-615; 
x = 167-15; 
x
*
2505.
Серебра в сплаве - 2505 
г.
Меди в сплаве - 660 
г.
Масса сплава - 3165 
г.
Первоначальное процентное содержание серебра:
379

• 
100% = — • 100% = — 100% » 0,791 • 100% = 79,1% 
3165 
633 
211
Ответ:
3165 
г,
« 79,1 % .
I
10. 
Задание:
40 
кг
раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором t 
сосуде чистой соли оказалось на 2 
кг
больше, чем в первом сосуде. Если во| 
второй сосуд добавить 1 
кг
соли, то количество соли в нем будет в 2 раза] 
больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в пер- 
вам сосуде.
Решение:
Пусть в 1 сосуде 
jc 
(кг) соли, тогда во втором 
х + 2 (кг).
По условию: 
(х + 2)+ 1 =2х;
х=3.
Пусть масса раствора в 1 сосуде 
у (кг).
Состояние
смеси
Количество 
чистого вещества
(тл )
Общее
количество
смеси 
(М)
Массовая
концентрация
(СА= ^ )
М
3
1
3
У
У
5
2
5
1
о
ГГ
4 0
- у
Учитывая, что концентрация соли в сосудах одинаковая, составим уравнение:
3 
5 
У
4 0
- у
7
= 15.
Ответ:
15 
кг.
§4. ЗАДАЧИ НА ЗАВИСИМОСТЬ 
МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Задачи, в которых используется формула числа
1. 
Задание:
Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то полу­
чится в частном 4 и в остатке 3. Если же число разделить на произведение его 
цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите это число.
Решение:
а,Ь
е {0,1,2...9}.
380

ab
 
= Юо + b
 
- искомое двузначное число.
По условию:
J l 0 a
+ 
6 
= 4 ( a +
6) 
+
3, 
\2а- b =
1, 
jb = 2 a - l,
} l 0 a + 6
= 
3ab +
5; 
[IOa + 6 
=
3a6 + 5; |2a2 - 5 a + 2 
= 
0; 
a \
= 2 ;
1
a2 = — не удовлетворяет условию задачи.
Если a = 2 ,
6
= 3 .
Ответ.
23.
2. 
Задание
: Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру 
поместить вначале, то полученное трехзначное число будет на единицу боль­
ше утроенного первоначального числа. Найдите это число.
Решение:
а,Ь
е {0,1,2...9}.
аЬЪ
= 100a + 1
ОЬ
+ 3 - искомое число.
ЪаЬ
= 300 + 10а + 
Ь
- полученное число.
По условию:
300 + 10а + 
Ь
- 3 ( 1 00а +106 + 3) = 1;
290а + 296 = 290;
10
а
+ 6
= 
10
.
Т.к. а и 
Ь -
цифры, то а = 1 ,6 = 0.
Ответ'.
 
103.
Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым числам 
(или дано их отношение)
3. 
Задание'.
При делении числа 190 на части обратно пропорционально
1
числам 3, — и 5 получаются числа?
Решение:
Пусть 
х -
коэффициент пропорциональности.
По условию:
- х + 2х + - х =
190; 
— = 190; 
х = 75.
3 
5 
15
Ответ:
 
25; 150; 15.
381

9
рое относится к третьему как 0,5: — , а сумма первого и третьего на 70 боль­
ше второго числа.
Решение:
Пусть 
х, у
и 
z
— искомые числа.
По условию:
4. 
Задание:
Найдите три числа, если первое составляет 80% второго, вто-
X
- =
0
,
8
, 
У
* _ 4
У ~
5 ’
У
9 
{ - = 0 , 5 : — , 
z 
20
^ 1 0
z ~
9 ’
-
x + z = у +
70;
* +
z
=
у
+ 7 0 ;
_4у
5 ’
z =
^
10
*
70;
10
х
= 80, 
>> =
1 0 0
, 
z
= 90.
Отлет.
80,100,90.
5. 
Задание:
Склад отпустил 40% имевшийся 
в 
запасе муки хлебозаводу, 
а остальную муку распределил между тремя магазинами в соотношении 
0,3 :2,5 :0,8. Сколько муки было на складе в запасе, если известно, что первый 
магазин получил на 40 
т
меньше, чем третий.
Решение:
х -
количество муки в запасе. 
х -
0,4* = 0,6* - количество оставшейся муки.
0,3
у;
2,5
у;
0
,
8
у - получили магазины.
По условию:
f 0,8jy - 0,3 
у =
40, 
Г 
0,5у
= 40, 
1> = 80,
(оДу + 
2,5 у
+ 0,8_у = 0,6*; 
[3,6j> = 0,6*; 
{ * = 480.
Ответ:
480 
т.
Задачи, где неизвестные являются членами пропорции
6
. 
Задание:
За 2,5 
кг
баранины заплатили 475 тенге, тогда по той же цене 
на 665 тенге баранины можно купить?
Решение:
Количество и стоимость товара находятся в прямой пропорциональной 
зависимости:
2,5 
кг 
—
475 тенге 
,, 
? 
— 
665 тенге
382

2.5 | 475 
x 
665 ’
я 2^665 Я
 
? =
0твет 2,5 кг.
475 
95 
19
7. 
Задание:
Пешеход прошел путь за 2,5 часа, двигаясь со скоростью 3,6 
км/ч.
Сколько времени потратит пешеход, чтобы пройти этот же путь со скоростью 
4,5 км/ч?
Решение:
Время и скорость - обратно пропорциональные величины.
2.5 часа 
— 3,6 
км/ч 
‘
‘
,, 
9 
— 4,5 
км/ч
2 £ _
4 ^
х
3,6 ’
х -
^ _
2j5j_4 
_ q 
5 .4
_
2
Ответ: 2 
часа.
4,5 
5
8. 
Задание:
Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член
2 
3
составляет —, а второй — первого члена. Найдите четвертый член пропорции. 
Решение:
3 
2
х, —х, - X -
первые три члена пропорции.
3 
2
По условию: 
х + — х + —х
= 58:
4 
3
29*
— = 58;
12
х
= 24.
2 4 ,1 8 ,1 6 -член ы пропорции.
2 4
16 
1 8 1 6
18 2
Л
— -= — ; 
а =
-------- = ------- = 12. 
Ответ:
 
12.
18 
а
24 
3
9. 
Задание:
Найдите четыре числа, образующих пропорцию если извест­
но, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а 
сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
Решение:
a, b ,c ,d
- члены пропорции.
По условию:
383

a + d = 14, 
b + c = \\,
' a 2 +b2 + c2 + d 2
= 221, 
ad
 
= 
be.
Возведя левые и правые части первых двух уравнений в квадрат и сложив 
полученные результаты, находим: 
f a 2 + 2 a d
+ 
d 2
 
= 196,
[Ь2 +2Ь с + с г = \21,
а 2
+ 
Ъ2
+ с 2 + 
d 2 + 2(ad + be) =
317; 
ad+ bc =
48; 
ad= bc =
24;
J ar +
d
= 1 4 ,
ja(2; 12), (12; 2);
J7> + 
c 
= l l ,
(6c = 24; 
(3; 8), (8; 3). 
Ответ:
2 ,3 ,8 ,1 2 .
10
.Задание:
После выпуска из школы ученики обменялись фотография­
ми. Сколько было учеников, если они обменялись 870 карточками?
Решение:
Пусть выпускников было 
х, х >
0, тогда каждый отдал (х — 1) фотографию. 
Составим уравнение:
х(х
“ О = 870; 
_ 29 -
не 
уд. услов.
х2 - х
- 870 = 0; 
1,2 - 30. 
Ответ:
3 0 учеников.
11. 
Задание:
На устройство канализации на протяжении 160 
м
употребили 
150 керамических труб длиной 800 и 1200 
мм.
Определите количество труб 
каждого размера.
Решение:
1) Пусть труб, размером 800 
мм,
было 
х,
тогда других - ( 1 5 0 - х ) .
2) По условию:
0,8 х + 1,2(15 0 - х ) = 160;
1 8 0 -0 ,4 х = 160;
0,4х= 20;
х = 50 
Ответ:
50 труб, 100 труб.
12. 
Задание:
В книге на одной из страниц строки содержат одинаковое 
число букв. Если увеличить на 2 число строк на странице и число букв в каж­
дой строке, то число букв на странице увеличится на 150. Если же убавить
384

число 
букв в строке на 3, а число строк на 
странице 
на 5, то число всех букв на 
странице 
уменьшится на 280. Найдите число строк на странице и число букв в 
строке.
Пусть на странице книги 
дг строку букв в строке 
(х,у>
0), тогда на странице 
ху
букв.
По условию:
I;
[ х + у
= 
1Ъ
 
|-3,
{ - З х - 5 у = -2 9 5 ;
(Зх 
+
3^ = 219,
{ - З х - 5 у
=
-2 9 5 ;
- 2 у = - 7 6 ;
1х = 35,
{.у = 38. 
Ответ:
35 строк, 38 букв.
13. 
Задание
: Найдите три числа, из которых второе больше первого на­
столько, насколько третье больше второго, если известно, что произведение 
двух меньших чисел равно 85, а произведение двух больших равно 115. 
Решение".
1) Пусть искомые числах,.у, 
r,z> y> x >
0
.
2) По условию:
Ответ:
8,5; 10; 11,5.
14. 
Задание
: Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на 1. Если к
1
если от числителя и знаменателя первоначальной дроби отнять по 3, то значе-
Решение
У ~ х — z — у,
ху
= 85, 
yz = \\5;
числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше - ;
ние дроби будет равно — . Найдите эту дробь. 
Решение:
Пусть числитель дроби - х , знаменатель 
-у.
По условию:
385

у =
х - 1 ,
х - 3
1
у - 3
12
х2- 12х+ 32 = 0; 
х, = 8, х2 = 4;
у
= х 2 - 1,
7
= 12х — 33;
>>
1
= 63,72= 15- 
Дополнительн
удовлетворяет данному неравенству. Поэтому искомая дробь -
х + 2 
1 _
Дополнительно известно, ч т о -------> —. Очевидно, что решение (8; 63) не
У+2
4 
4
15
4
Ответ
: — .
15

жүктеу/скачать 10,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: