Қатарының жинақты болу-болмауын

63
11-мысал
.
(
)
n
п
1
1 ,
0
α
α
∞
=
≥
∑
қатарының жинақты болу-болмауын 
зерттеңіз. 
Шешімі:
( )
f x
x
1
α
=
, 
x
1
≥
, 
( )
(
)
В
B
B
B
B
dx
f x dx
x
B
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
lim
lim
lim
α
α
α
α
α
α
∞
−
−
→∞
→∞
→∞
=
=
=
− =
−
−
−
∫
∫
егер α – 1 > 0, демек α > 1 болғанда қатар жинақталады (1-мысал). 
§6. Ауыспалы таңбалы қатарлар
Кез келген көрші мүшелерінің таңбалары қарама-қарсы болып 
келетін қатарды 
ауыспалы таңбалы қатар
дейміз. Мұндай 
қатарды əдетте мүшелерінің таңбасын көрсетіп 
( )
( )
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
1
1
1
2
3
1
...
1
...
1
∞
+
+
=
− + − + −
+ =
−
∑
(3.17)
түрінде жазады. Ауыспалы таңбалы қатардың жинақтылығын 
төмендегі сөйлем тағайындайды. 
Лейбниц теоремасы.
Егер ауыспалы таңбалы (3.17) қа-
тары мүшелерінің абсолют шамалары монотонды кемімелі 
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
....
...
−
≥
≥
≥
≥
≥
тізбегін құрып, 
n
n
a
0
lim
→∞
=
болса, онда 
мұндай қатар жинақты болады. 
Дəлелдеме
.
Ауыспалы таңбалы қатардың ішінара 
n
S
2
қо-
сындысын 
(
) (
)
(
)
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
2 1
2
1
2
3
4
2 1
2
...
...
−
−
= − + +
−
=
−
+
−
+ +
−
түрінде жазуымызға болады. 
Əрбір жақша оң болғандықтан, 
n
−
нің өсуінде 
n
S
2
−
нің де 
өсетінін байқаймыз. Енді 
n
S
2
−
ді басқаша 
(
) (
)
(
)
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
3
4
5
2 2
2 1
2
...
−
−
= −
−
−
−
− −
−
−
түрінде кескіндейтін болсақ, 
n
S
2
қосындысы жоғарыдан 
a
1
0
≥
санымен шектелетінін көреміз. Сондықтан 
n
→ ∞
болғанда, 
n
S
2
−
нің шегі бар екені жəне ол 
S
−
ке тең болатыны шығады: 

64
n
n
S
S
2
lim
→∞
=
(3.18)
Əрі қарай 
n
n
n
S
S
a
2
2 1
2
+
=
−
болуынан 
n
n
n
S
S
a
2 1
2
2
+
=
+
. Сонда 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
S
a
S
2 1
2
2
2
2
lim
lim(
) lim
lim
+
→∞
→∞
→∞
→∞
=
+
=
+
=
(3.19)
Олай болса (3.18) жəне (3.19)-дан 
n
n
n
n
S
S
S
2
2 1
lim
lim
+
→∞
→∞
=
=
. Демек 
қатарымыз жинақталған болады. 
§7. Абсолютті жəне шартты жинақталу
Қатарлар жинақталуының жеткілікті шарты (Даламбер бел-
гісі) мүшелері оң қатарларға қатысты тұжырымдалған. Мү-
шелері теріс қатарлар үшін де мұндай қасиет сақталады. Енді 
мүшелерінің бір бөлігі оң, бір бөлігі теріс немесе нөлге тең 
қатарларды қарастырамыз. Мұндай қатарлар 
айнымалы таңбалы 
қатарлар
деп аталады. 
Теорема 3.9
.
Айнымалы таңбалы. 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
=
+ + + + =
∑
(3.20)
қатары үшін оның модульдерінен жасалған 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
| | | | ... | | ...
| |
∞
=
+
+ +
+ =
∑
(3.21)
қатары жинақталған болса, онда берілген қатардың өзі де 
жинақталған болады.
Дəлелдеме
. Қосалқы 
(
) (
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
2
2
1
...
...
∞
=
+
+
+
+ +
+
+ =
+
∑
(3.22)
қатарын қарастырайық. 
(
)
n
n
n
a
a
a
n
0
2
1, 2,....
≤
+
≤
=
(3.23)
жəне (3.21) қатарының жинақты болуынан, қатарларды салыс-

65
тыру белгісі негізінде (3.22) қатары да жинақты болып шығады. 
Алайда (3.20) қатары жинақталатын қатарлардың түріндегі
(
)
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
1
∞
∞
∞
=
=
=
=
+
−
∑
∑
∑
айырымын кескіндейді, олай болса өзі де жинақталған болады. 
Теорема дəлелденді.
Ескерту
. Кері пікір дұрыс емес. Атап айтқанда, егер берілген 
қатар жинақталған болса, онда оның мүшелерінің модульдерінен 
жасалған қатар жинақты болуға міндетті емес. Сонымен, 
жинақталатын қатарлардың барлығын екі топқа бөлуге болады.
Бірінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға олардың 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болатындай қатарларды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар 
абсолютты 
жинақталатын қатарлар
деп аталады.
Екінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға, олардың мо-
дуль дерінен жасалған қатар жинақты болмайтындай қатар лар ды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар 
шартты 
жинақталатын қатарлар
деп аталады.
3.4
-
анықтама
. Берілген қатармен бірге оның мүшелерінің 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болса, берілген қатар 
аб-
солютты жинақталған қатар
 
деп аталады. 
Берілген қатар жинақты болып, ал оның мүшелерінің мо-
дульдерінен жасалған қатар жинақты болмаса, берілген қа тарды 
шартты жинақталатын қатар
 
дейді. Мəселен, жинақ талатын
1 1 1 1
1
1
....
2 4 8 16 32
− + − +
−
+
қатары абсолютты жинақталатын қатар болып табылады, өйткені 
оның модульдерінен жасалған 
1 1 1 1
1
1
....
2 4 8 16 32
+ + + +
+
+
түріндегі қатар да жинақты болып келеді. (Осы қатарлардың екеуі 
де, еселігі 
1
2
−
жəне 
1
2
-ге тең геометриялық прогрессиялар).
5–454

66
Ал, керісінше
1 1 1 1 1
1
.....
2 3 4 5 6
− + − + − +
қатары Лейбниц теоремасының шартына сəйкес, жинақталған 
болуына қарамастан абсолютты жинақталмайды, өйткені оның 
мүшелерінің модульдерінен жасалған 
1 1 1 1 1
1
...
2 3 4 5 6
+ + + + + +
(3.24)
қатары жинақталмайды (гармоникалық қатар). Расында осы 
қатардың 
n
a
n
1
=
жалпы мүшесі 
n
→ ∞
-да нөлге ұмтылғанымен, 
қатардың өзі жинақталмайтынын көрсетейік. Ол үшін алғашқы 
m
2
мүшелерінің 
т
S
2
ішінара қосындысын алып, оның мүшелерін 
төмендегідей етіп топтастырайық:
т
S
2
2
2
2
1
1 1
1 1 1 1
1
2
3 4
5 6 7 8
= + +
+
+
+ + +
+
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
3
2
1 1
1
1
1
1
1
1
9 10 11 12 13 14 15 16
+
+
+
+
+
+
+
+
⎛
⎞ +…+
⎜
⎟
⎝
⎠
+…+
m
m
m
m
1
1
1
2
1
1
1
...
2
1 2
2
2
−
−
−
+
+ +
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
.
Төменгі теңсіздіктер орынды:
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1
,
,
3 4 4 4 4 2 5 6 7 8 8 8 8 8 8 2
+ > + = =
+ + + > + + + = =
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
,
9 10 11 12
16 16 16 16 16 16 16 16 16 2
+
+
+
+ +
>
+
+
+
+
+
+
+
=

67
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
...
...
.
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
+ +
>
+
+ +
=
=
+
+
Сонымен, əр жақшада тұрған мүшелер қосындысы
1
2
ден 
артық. Алғашқы екі мүшені есептемегенде, жақшалардың жалпы 
саны 
m
1
−
-ге тең болғандықтан, онда 
т
S
m
2
2
1
.
> +
 
Егер 
т
S
2
қосындысында 
m
n
2
=
-ге тең мүшелер саны шек-
сіз ұлғайса, онда 
m
көрсеткіші де шексіз өседі. Сондықтан
т
S
2
→ ∞
, демек гармоникалық қатар болып табылатын (3.24) 
қатары жинақталмайды. 
§8. Қатардың абсолютті жинақталуының белгісі
Қандай да бір
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
...
∞
=
+ + + + + =
∑
(3.25)
қатары үшін 
l
a
a
n
n
n
=
+
∞
→
1
lim
шарты орындалып, 
1) 
l
1
<
болса, онда берілген (3.25) қатары абсолютті жи нақ-
талады.
2) 
l
1
>
болса, онда (3.25) қатары жинақталмайды. 
Расында, жазылған шартымыз 
n
a
a
a
1
2
...
...
+
+ +
+
(3.26)
қатарына қолданылған Даламбер белгісінің дəл өзі. Бұдан 
егер 
l
1
<
болса, онда (3.25) жəне (3.26) қатарларының екеуі де 
жинақталатыны, демек (3.25) қатары абсолютті жинақталатыны 
туындайды. Егер де 
l
1
>
болса, онда Даламбер белгісіне жасалған 
ескерту бойынша 
n
→ ∞
-да 
n
a
нөлге ұмтылмайды. Бұл жағдайда 
(3.25) жəне (3.26) қатарларының екеуі де жинақталмайды.