Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

Задача 3
(116, в, рис. 136).
Доказательство.
1) Введем обозначения: а — сторона ос
нования призмы, Н — высота призмы. Так
как призма прямая, то четырехугольник
BB
1
E
1
E — прямоугольник;
2) основанием призмы является пра
вильный шестиугольник. Поэтому АЕ
=
2а
и 3S
BB E E
1 1
=
3
×
2а
×
Н
=
6аН;
3) выразим площадь боковой поверхно
сти призмы через а и Н: S
бок
=
6S
ABB A
1 1
=
6аН;
4) из п. 2 и 3 следует, что S
бок
=
3S
BB E E
1 1
.
§ 10. О ПОНЯТИИ «ПЛОЩАДЬ КРИВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ». ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
ЦИЛИНДРА — НОВОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
ПРОИЗВОДНОЙ
10.1. Что такое площадь кривой поверхности?
Идея одного из возможных определений площади кривой поверхности
подсказывается формулой объема цилиндра и призмы V
=
SH, которая
позволяет по известному объему и высоте найти площадь основания:
S
=
V
H
. На практике такой способ может оказаться удобнее других.
Если, например, требуется вычислить площадь дна кастрюли, то мож
но налить в кастрюлю 1 л воды и измерить толщину слоя воды. Пусть
она оказалась равной 0,5 см. Тогда площадь дна
S
=
V
H
=
1000
0 5
,
=
2000 (см
2
).
Этой идеей (примененной для плоской по
верхности) воспользуемся для определения пло
щади поверхности тел вращения.
Пусть имеется некоторая поверхность (рис.
137). Покроем эту поверхность с одной стороны
слоем толщиной h. Пусть
D
V(h) — объем такого
—
118
—
h
D
V
Рис. 137
А
B
С
D
E
F
А
B
C
D
E
F
1
1
1
1
1
1
Рис. 136
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

слоя. Площадью S кривой поверхности будем называть число, к кото
рому стремится отношение
D
V
h
при h
®
0. В общем, это определение
можно записатьтак: S
=
V
¢
(h). (Убедитесь, что это так.) Слой, о котором
говорится в определении, называется нормальным слоем поверхности.
Использование производных объемов тел для нахождения площа
дей их поверхностей — второе направление использования методов ма
тематического анализа в геометрии.
10.2. Площадь поверхности цилиндра
Теорема 17
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра рав
на произведению длины окружности основания на высоту:
S
=
2
p
RH.
Доказательство.
Пусть дан цилиндр с радиусом основания R
и высотой Н (рис. 138). Дадим радиусу R прира
щение
D
R, не изменяя высоты H. Нормальный
слой боковой поверхности данного цилиндра
можно рассматривать как тело, получаемое при
вращении прямоугольника АА
1
В
1
В вокруг оси
OO
1
. Объем цилиндра получает приращение
D
V,
равное объему нормального слоя. В данном слу
чае
D
V
h
=
D
D
V
R
. Найдем число, к которому стремятся
эти отношения при h и
D
R, стемящимся к нулю.
При
D
R
®
0 отношение
D
D
V
R
®
V
¢
(R). Значит,
S
=
V
¢
(R)
=
(
p
R
2
H)
¢=
2
p
RH.
Следствие.
Площадь полной поверхности цилиндра
S
=
2
p
RH
+
2
p
R
2
=
2
p
R(H
+
R).
10.3. Примеры решения задач
Задача 1
(120, а, рис. 139).
Замысел решения. Введем обозначение: AD
=
A
1
D
1
=
х. Дважды выра
зим диагональ BD
1
параллелепипеда: один раз при помощи угла
b
, дру
—
119
—
O R А В
D
R
H
А B
O
1
1
1
O
1
Рис. 138
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

гой раз — угла
a
. Приравняем эти выраже
ния. Из полученного уравнения найдем х.
Зная х, найдем 2R и Н, и, значит, S
бок. ц
=
=
2
p
RH. (Построение рисунка и его обосно
вание выполните самостоятельно.)
Решение.
1) Из прямоугольного
D
BAD по теореме
Пифагора DB
=
2R
=
a
x
2
2
+
;
2) из прямоугольного
D
D
1
BD
DB
D B
D B
a
x
1
1
2
2
=
Þ
=
+
cos
cos
b
b
;
3) из прямоугольного
D
D
1
BA
1
x
D B
D B
x
1
1
=
Þ
=
sin
sin
a
a
;
4) составляем и решаем уравнение:
a
x
2
2
+
cos
b
=
x
sin
a
Þ
х
2
=
a
2
2
2
2
sin
cos
sin
a
b
a
-
;
5) тогда 2R
=
a
a
2
2
2
2
2
+
-
sin
cos
sin
a
b
a
=
acos
cos
sin
b
b
a
2
2
-
;
6) из прямоугольного
D
D
1
BD
H
R
2
=
tg
b Þ
H
=
a
a
cos
cos
sin
sin
cos
sin
b b
b
a
b
b
a
tg
2
2
2
2
-
=
-
;
7) искомая площадь боковой поверхности цилиндра
S
бок. ц
=
2
p
RH
= p
b
b
a
b
b
a
×
-
×
-
=
a
a
cos
cos
sin
sin
cos
sin
2
2
2
2
=
-
p
b
b
a
a
2
2
2
2
2
sin
(cos
sin
)
.
Ответ:
S
бок. ц
=
p
b
b
a
a
2
2
2
2
2
sin
(cos
sin
)
-
.
Задача 2
(рис. 140). V — объем цилиндра,
a
— угол наклона диагона
ли осевого сечения к плоскости основания цилиндра. Найдите пло
щадь боковой поверхности цилиндра.
Замысел решения. Площадь боковой поверхности цилиндра нахо
дится по формуле S
бок. ц
=
2
p
RH, где R — радиус основания цилиндра,
—
120
—
α
β
O
А
B
С
D
А
B
C
D
O
1
1
1
1
1
Рис. 139
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Н — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти R и Н.
Выразим Н через R, составим уравнение с неизвестным R.
Решение.
1) Воспользуемся углом
a
— углом наклона
диагонали осевого сечения к плоскости основа
ния цилиндра:
H
R
H
R
2
2
=
Þ
=
tg
tg
a
a
;
2) тогда
V
=
S
осн
Н
=
p
R
2
H
=
p
R
2
×
2Rtg
a =
2
3
p
a
R tg ,
V
R
=
Þ
2
3
p
a
tg
R
V
=
2
3
p
a
tg
;
3) отсюда
H
R
V
V
=
=
×
=
2
2
2
2
2
3
2
3
tg
tg
a
p
a
a
a
p
tg
tg
;
4) искомая площадь боковой поверхности ци
линдра
S
RH
V
V
V
бок. ц
tg
=
=
×
=
2
2
2
2
2
4
4
3
2
3
2
2
3
p
p
p
a
a
p
p
a
p
tg
tg
.
Ответ:
S
V
бок. ц
=
4
4
2
2
3
p
a
p
tg
.
§ 11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
11.1. Теория
Теоремы 18
1. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произве
дения длины окружности его основания на образующую:
S
=
p
Rl.
2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна поло
вине произведения суммы длин окружностей его оснований на об
разующую:
S
=
C
C
l
1
2
2
+
.
—
121
—
α
R
H
Рис. 140
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Доказательства.
1. 1) Пусть конус образован вра
щением прямоугольного
D
ОАВ во
круг катета ОА (рис. 141). Рассмот
рим прямоугольник ABB
1
A
1
со сто
ронами AA
1
=
BB
1
=
h. При враще
нии этот прямоугольник покроет
поверхность конуса нормальным
слоем толщиной h. Площадь боко
вой поверхности конуса является
числом, к которому стремится от
ношение
D
V
h
при h
®
0;
2) обозначим ВС через
D
R. Тогда
из прямоугольного
D
ВВ
1
С получа
ем, что h
=
D
R sin
a
. Из прямоугольного
D
ОАВ имеем: H
=
R tg
a
. Тогда
D
V
h
=
D
D
V
R sin
a
;
3) учтем еще, что
а)V
R H
R
=
=
1
3
1
3
2
3
p
p
a
tg ;
б) V
¢
(R)
= p
R
2
tg
a
;
в)
R
cos
a
=
AB
=
l;
г) если
D
R
®
0, то h
®
0;
4) тогда площадь боковой поверхности конуса есть число S, к кото
рому стремится отношение
D
D
V
R sin
a
при
D
R
®
0. Так как
a
— константа,
то достаточно установить, к чему стемится отношение
D
D
V
R
при
D
R
®
0.
Но это отношение стремится к V
¢
(R).
Поэтому S
=
1
sin
a
V
¢
(R)
=
1
sin
a
p
R
2
tg
a = p
a
R
2
cos
= p
Rl.
2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса (рис. 142) най
дем как разность площадей боковых поверхностей двух полных кону
сов с высотами ОС и O
1
C. Пусть CA и СВ — образующие полных кону
сов, а BA
=
l — образующая усеченного конуса. Обозначим радиусы
нижнего и верхнего оснований соответственно через R и r. Тогда
S
=
p
R
×
AC –
p
r
×
BC
=
p
R(l
+
BC) –
p
r
×
BC
=
=
p
Rl
+
p
(R – r)BC.
—
122
—
α
α
D
R
В
С
А
А
B
O
H
h
D
V
h
= ...
V
...
V R
( )
...
=
=
S
...
=
1
1
¢
Рис. 141
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Так как
D
BAD
D
CBO
1
, то
R r
r
l
BC
- =
. Отсюда
R – r
=
lr
BC
. С учетом этого площадь боковой по
верхности усеченного конуса
S
=
p
Rl
+
p
lr
BC
BC
=
=
p
Rl
+
p
rl
=
p
(R
+
r)l
=
C
C
l
1
2
2
+
,
где С
1
и С
2
— длины окружностей оснований ко
нуса.
11.2. Примеры решения задач
Задача 1
(124, а, рис. 143).
Замысел решения. Боковая поверхность
конуса касается боковой грани правильной
пирамиды по апофеме РТ пирамиды. Осно
вание перпендикуляра, проведенного из точ
ки М к боковой грани, также лежит на этой
апофеме. Поэтому рассмотрим
D
РОТ. В э том
треугольнике сосредоточено больше всего
данных задачи.
Решение.
1) Начнем с рассмотрения
D
РМN. Этот
треугольник — прямоугольный, в нем катет
МN
=
m,
Ð
MPN
=
90
°
–
a
. Тогда
MN
PM
PM
MN
m
PO
m
=
°-
=
Þ
=
=
Þ
=
sin(
) cos
cos
cos
cos
90
2
a
a
a
a
a
;
2) из прямоугольного
D
РОТ
OT
PO
R
OT
PO
m
m
=
Þ =
=
=
=
ctg
ctg
ctg
a
a
a
a
a
2
2
cos
sin
;
3) из этого же треугольника находим образующую конуса:
OT
PT
l
PT
OT
m
m
=
Þ =
=
=
=
cos
cos
a
a
a
a
a
2
4
sin cos
sin 2
;
4) находим площадь боковой поверхности конуса:
S
бок. к
=
p
Rl
=
p ×
2
4
m
m
sin
a
a
sin 2
=
8
2
p
a
a
m
sin sin 2
;
—
123
—
O
O
r
R
В
А
D
l
С
1
Рис. 142
P
А
С
D
O
М
N
Т
α
m
B
Рис. 143
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

5) искомая площадь полной поверхности конуса
S
полн. к
=
+
=
4
8
2
2
2
p
a
p
a
a
m
m
sin
sin sin 2
…
=
8
2
2
2
2
p
a
a
a
m cos
sin
cos
.
Ответ:
S
полн. к
=
8
2
2
2
2
p
a
a
a
m cos
sin
cos
.
Задача 2
(124, д, рис. 144).
Решение.
1) Пусть
D
РАВ — осевое сечение кону
са. Центр О шара лежит на оси РО
1
конуса
(на высоте конуса или на ее продолже
нии), ОА
=
ОР
=
ОВ
=
R,
Ð
РАО
1
= a
. Ок
ружность, описанная около
D
РАВ, являет
ся большой окружностью шара. Поэтому
серединный перпендикуляр к стороне РА
D
РАВ проходит через центр шара — точ
ку О;
2) пусть М — середина стороны РА, то
гда МО
^
РА. Найдем вначале РМ (из прямоугольного
D
РМО), затем
РА:
PM
PO
PM
PO
PM
R
=
Þ
=
Þ
=
cos
a
a
a
cos
cos , РА
=
2РМ
=
2R cos
a
;
3) радиус АО
1
основания конуса нетрудно найти из прямоугольного
D
РАО
1
:
AO
AP
AO
R
R
1
1
=
Þ
=
×
=
sin
a
a
a
a
2 cos
sin
sin 2 ;
4) искомая площадь боковой поверхности конуса
S
бок. к
=
p
×
АО
1
×
РА
= p
a
×
Rsin 2
×
2R cos
a =
2
2
p
a
a
R sin2 cos .
Ответ:
S
бок. к
=
2
2
p
a
a
R sin2 cos .
Задача 3
(рис. 145). Дан усеченный конус, диагонали осевого сече
ния усеченного конуса перпендикулярны, l — образующая конуса,
a
— угол наклона образующей к плоскости основания. Найдите
площадь поверхности усеченного конуса.
Решение.
1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то
полусумма оснований равна ее высоте (такая ситуация встречалась
в планиметрии неоднократно). Находим сразу высоту и сумму радиу
—
124
—
B
α
O
А
O
М
P
R
R
1
Рис. 144
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

сов оснований конуса (полусумму основа
ний R
1
+
R
2
): Н
=
lsin
a
, R
1
+
R
2
=
lsin
a
;
2) отсюда
S
бок. ус. к
=
p
(R
1
+
R
2
)l
=
p
lsin
a ×
l
=
=
p
l
2
sin
a
;
3) осталось найти сумму площадей
двух оснований конуса. Для этого необхо
димо найти сумму квадратов радиусов ос
нований конуса:
S
осн
=
(
)
p
p
p
R
R
R
R
1
2
2
2
1
2
2
2
+
=
+
;
4) имеем:
R
R
l
R
R
l
R
R
l
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
+
=
-
=
ü
ý
þ
Þ
+
=
sin ,
cos
(
)
a
a
;
5) тогда S
осн
= p
(R
1
2
+
R
2
2
)
= p
l
2
2
;
6) искомая площадь поверхности усеченного конуса
S
полн. ус. к
=
S
бок. ус. к
+
S
осн
= p
l
2
sin
a + p
l
2
2
= p
a
l
2
1 2
2
(
sin )
+
.
Ответ:
S
полн. ус. к
=
p
a
l
2
1 2
2
(
sin )
+
.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: