Векторлық алгебра негізгі түсініктер

 

15 

                      

,

,

,

,

,

.

i

j

k

j k

i

k

i

j

j i

k

k

j

i

i

k

j

 

 

 

  

  

  

   (1.32в) 

 

Векторлық көбейтіндінің маңызды геометриялық қасиеті бар (9-

сурет). 

 

A B sin



   

 

 

 –  параллелограмм  ауданы.  Сонымен, 















C

  векторы 

параллелограмм  жазықтығына  перпендикуляр,  ал  абсолют 

шамасы осы параллелограмның ауданына тең болады екен.       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9-сурет 

 

 

                                  

 

16 















C

  векторлық    көбейтіндінің  басқа  анықтамасы. 

C



-векторының компоненттері:  

 

                 

,

,

,

x

y

z

z

y

y

x

z

z

x

z

x

y

y

x

C

A B

A B

C

A B

A B

C

A B

A B





 







    (1.33) 

         

және    

                            







k

j

i

B

A

B

A

C

j

k

k

j

i

,

,

,

әртүрлі.    (1.34) 

 

і,j,k – индекстерін циклді өзгерту қажет. 

Векторлық  көбейтіндіні  анықтауыш    ретінде  жазған 

ыңғайлы: 

 

                                           

z

y

x

z

y

x

k

j

i

C























.                        (1.35) 

 

(1.32)  және    (1.33)  көбейтінділердің  эквиваленттілігін 

көрсетейік.  Ол  үшін 

C

A







  және 

C

B







  көбейтінділерін 

қарастырайық.  

 

                        

(

)

(

)

(

)

(

)

0,

x

y

z

z

y

y

z

x

x

z

z

x

y

y

x

C

A A B

A A B

A B

A A B

A B

A A B

A B

  



















    (1.36) 

 

                                        

(

)

0

B C

B

A B

  





,                       (1.37) 

 

17 



, (1.36) және (1.37) теңдеулерінен  

C



 векторы 

A



 векторына 

да, 

B



  векторына  да  перпендикуляр. 

A



  және 

B



  векторлары 

тиісті жазықтыққа перпендикуляр. 

 

                              

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(

) (

)

(

)

,

A

A

A B

A

A B

A B cos

A B sin





 

 



 







          (1.38) 

 



,                                     

C

A B sin



  

.                               (1.39) 

 

(1.38)  теңдеуінде 









A

  көбейтіндісін  (1.33)  теңдеуі 

бойынша  компоненттерге  жіктедік,  содан  кейін  (1.22)  скаляр  

көбейтіндісін  пайдаландық.  (1.36),  (1.37)  және  (1.39)  

теңдеулерінен  (1.32)  және  (1.33)    анықтамалары  эквивалентті 

екендігі шығады. 

Енді   















C

  вектор  екенін  көрсетейік  (яғни, 

вектордың  түрлендіру  заңына  бағынатынын).  Бұрылған 

координаттар жүйесінде:    

 

                 

i

j

k

k

j

jl

l

km

m

kl

l

jm

m

l

m

l

m

C

A B

A B

a A

a B

a A

a B



 

 























   

   

                 

,

(

)

jl

km

kl

jm

l

m

l m

a a

a a

A B







,                              (1.40)   

  

мұндағы,  і,  j,  k  –  циклдік  ретте  алуға  тиіспіз.      m=

l

    болғанда 

(1.40) теңдеуі нөлге тең. 

і=3 болсын, онда j=1, k=2  (циклдік рет): 

 

 

18 

                  

11 22

21 12

33

13

21

13 11

32

12

23

22 13

31

,

,

.

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a













  (1.41)   

 

(1.41) теңдеуін (1.40) теңдеуіне қоялық:  

 

                      

3

33

1

2

32

3

1

31

2

3

33

2

1

32

1

3

31

3

2

31

1

32

2

33

3

3

.

n

n

n

C

a A B

a A B

a A B

a A B

a A B

a A B

a C

a C

a C

a C

 

























          (1.42)   

 

Осылай 

1

C



  және 

2

C



    үшін  табамыз.  Олар  (1.15)  шартын 

қанағаттандырады. Яғни, 

C



– векторлық шама болып табылады. 

 

1.5. 

Үш вектордың  аралас  және  

2-реттік векторлық көбейтінділері 

 

)

(

C

B

A











 

және 

)

(

C

B

A











-  мұндай  көбейтінділер 

комбинациясы  жиі  кездеседі.  Біріншісін  аралас  көбейтінді  деп 

атайды. 

C

B







 – көбейтіндісінен шығатын векторлар 

A



 векторына 

көбейтіледі,  демек  скаляр  шама  шығады. 

C

B

A











)

(

 

–  скаляр 

вектор,  ал  бұл  операция  белгісіз.  Сондықтан  оны  әзірге 

қарастырмаймыз. 

 

 

19 

               

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

x

y

z

z

y

y

z

x

x

z

z

x

y

y

x

x

z

y

y

z

y

x

z

z

x

z

y

x

x

y

A B C

A B C

B C

A B C

B C

A B C

B C

B A C

A C

B A C

A C

B A C

A C

B C

A

C A B

A C B

C B A

B A C

  





























          

       

 

(1.43) 

 

және т.с.с.   

                                              

C

B

A

C

B

A























.                   (1.44) 

 

 

                                        

z

y

x

z

y

x

z

y

x

C

C

C

B

B

B

A

A

A

C

B

A













 .              (1.45) 

 

 

(1.43)  теңдігі  жоғарғы  ретті  симметрия  (1.45)  тендігінен 

шығады. 

 

Үш  вектордың  аралас  көбейтіндісінің  геометриялық 

түсініктемесі  бар.  Ол:  егер, 

B

A





,

  және 

C



векторлары 

параллелепипедтің  "қабырғалары"  болса  (11-сурет),  онда 

)

(

C

B

A











 

-  көбейтіндісінің  шамасы  осы  параллелепипедтің 

көлеміне тең болады (әрине, аралас көбейтінді теріс санға да тең 

болуы мүмкін). 

 

 

20 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11-сурет 

 

 

 

)

(

C

B

A











- 

2 

рет 

векторлық 

көбейтіндіні 

қарастырайық. Бұл жолы жақшаны сақтау керек  

 

                

,

)

(

j

k

i

j

i

i

























   

)

0

)

((







k

i

i







.

            (1.48) 

 

Демек,  бұл  көбейтіндіден 

j



  вектор  шығады.  Оның  бағыты 

A



 

және 

)

(

C

B







  векторлары жататын  жазықтыққа  перпендикуляр. 

)

(

C

B

A











- 

векторлары 

В



және 

С



 

векторлары  тиісті 

жазықтыққа  жатады.  Себебі,  BC  жазықтығы 

)

(

C

B







векторына 

перпендикуляр. 

Сондықтан, 

)

(

C

B

A











 

векторының 

 

21 

компоненттері 

В



 

және 

С



 

векторларының 

сызықты 

комбинациясына байланысты: 

 

                               

)

(

)

(

)

(

B

A

C

C

A

B

C

B

A































.

           (1.49) 

 

Аралас  және  2-реттік  векторлық  көбейтінділер  арқылы 

одан көп векторлар көбейтінділерін қысқартуға болады. 

Мысалы:  Аралас  көбейтінді  кері  кристалл  торларын 

есептеуде  пайдаланады. 

b

a





,

және 

c



(міндетті  түрде  өзара 

перпендикуляр  емес)  –  кристалл  торларын  анықтайтын 

векторлар болсын. Онда кез келген 2 вектордың арақашықтығы  

 

c

n

b

n

a

n

r

c

b

a















 

 

теңдеуімен беріледі. Мұндағы, 

b

a

n

n ,

және 

c

n

- бүтін сандар. 

 

                    

;

c

b

a

c

b

a





















 

;

c

b

a

a

c

b























 

c

b

a

b

a

c























       (1.50) 

 

векторларын  жазуға  болады.  (1.50) 



a





  векторы  (

b

және 

c



) 

жазықтығына  перпендикуляр,  ал  абсолют  шамасы 

1



a

-  ге 

пропорционал. 

Шынында, 

1













c

c

b

b

a

a













  

0

























b

c

a

c

c

b

a

b

c

a

b

a

























.  Соңғы  теңдеулер  кері 

торларды  анықтайды.  Кері  тор  толқындардың  кристалдағы 

әртүрлі жазықтықтарда шашырауын есептеуге қажет. 

 

Векторлық талдау (векторларды дифференциалдау) 

 

1.6. Градиент 



 

 

 

22 

)

,

,

(

z

y

x



 

–  скаляр  функция  болсын,  яғни  функция  тек 

кеңістік 

нүктелерінің 

(x,y,z) 

мәніне 

тәуелді. 

Скаляр 

болғандықтан  кез  келген  координаттар  жүйесінде  белгілі  бір 

нүкте үшін нақты мәні өзгермеуі тиіс, яғни: 

 

                             

1

2

3

1

2

3

( ,

,

)

( ,

,

).

x x x

x x x





    

                (1.51) 

 

i

x



 бойынша дифференциалдайық: 

 

            

1

2

3

1

2

3

'

'

( ,

,

)

( ,

,

)

.

i

i

j

j

ij

ij

j

j

j

i

i

j

x x x

x x x

x

x

x

x

a

a

x

x

x

x









   

















































        (1.52) 

 

(1.52)  теңдеуін  салыстырсақ  (1.17)  векторды  түрлендіру 

заңымен,  онда 

j

x







  компоненттері  болатын  бір  вектор  аламыз. 

Бұл  векторды 



 

градиенті  деп  атайды.  Ыңғайлы  болу  үшін 

символдық түрде жазайық: 

 

                        

z

k

y

j

x

i





































                  (1.53)  

 

немесе 

         

                                         

.

i

j

k

x

y

z







 











                       (1.54) 

Мұндағы 





(набла)  –  векторлық  дифференциалдық 

оператор.  Бұл  оператордың  векторлық  қасиеттері  бар  және 

дербес дифференциалдау заңдарына бағынады. 

Мысалы:  

 

23 

                            

)

(

)

(

2

2

2

z

y

x

f

r

f







 

 

функциясының градиентін есептейік. 

 

                         

( )

,

f

f

f

f r

i

j

k

x

y

z





















   

 

                        

( )

( )

f r

f r

r

df

x

x

r

x

dr r



















 . 

 

Басқа компоненттері де осыған ұқсас табылады. Сонда,  

 

         

0

1

( )

(

)

df

r df

df

f r

ix

jy

kz

r

r dr

r dr

dr











 



, 

 

0

r

r

r



 

– радиус-вектор бағытымен бағыттас бірлік вектор. 







 

ұзындық өсімшесін есептеуге қолданылады: 

 

                                          

dz

k

dy

j

dx

i

r

d















                      (1.55) 

 

                          

(

)dr

dx

dy

dz

d

x

y

z

































  ,    (1.56) 

 

яғни 



- скаляр функциясының өзгерісі 

r

d



-дің өзгеруіне (орын 

ауыстыруына) сәйкес келеді. 

C

z

y

x



)

,

,

(



  бетінде  P  және  Q  нүктелерін  қарас-

тырайық.  Екі    нүкте  арақашықтығы      dr    болсын.    Онда  P 

нүктесінен Q нүктесіне көшкенде 

C

z

y

x



)

,

,

(



 

функциясының 

бетіндегі өзгерісі: 

 

                                               

0

)

(







r

d

d









                       (1.57) 

 

24 

 

нөлге тең. Осыдан 

(

)

dr







.    

r

d



-дің бағыты P нүктесінен Q 

нүктесіне  бағытталғандықтан, 

r

d



 

әрқашан  сол  бетте 

орналасады.  Демек 









   

сo n s t





бетіне  кез  келген  нүктеде 

перпендикуляр.               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12-сурет 

 

Енді   

r

d



 

1

c





 

 бетінен    

2

c





  бетіне    бағытталсын 

(12-сурет). Онда:            

 

                                    

2

1

(

)

.

d

c

c

c

dr







     

                 (1.58)  

Берілген 



d

үшін 

r

d



-дің  абсолют  шамасы  минималды,  егер 

r

d



 









  (cos



=1),  керісінше,  берілген 

r

d



  үшін 



  скаляр 

функциясының  өзгерісі  максималды.  Егер, 

r

d



 









  болса, 

 

25 

онда 







 

векторы 



  скаляр  функциясының  ең  жылдам  өзгеру 

бағытын көрсететін вектор. 

Скаляр  шаманың  градиенті  физикада  күш  өрісі  мен 

потенциалды  өріс  арасындағы  байланысты  табуда  үлкен  рөл 

атқарады: 

 

                                             Күш= - 





(потенциал).                 (1.59) 

 

Бұл гравитация және электр өрістері үшін орынды. 

 

 

 

 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: