Векторлық алгебра негізгі түсініктер

 

76 

 



  Жиналған  аралас  2

ші

  рангылы  тензорлар  инвариантты,  яғни 

скаляр. (1.3) теңдігі скаляр көбейтіндісі және (1.7) теңдігі вектор  

дивергенциясымен  сәйкес  келеді.  Жинау  амалы  тензор  рангын 

екіге төмендетеді. 

Векторлардың    (яғни  1

ші

  рангты  тензордың)  ковариант 

және 

контравариант 

компоненттерінің 

көбейтіндісін 

қарастырамыз.  Яғни, 

j

i

в

a

  мүшесін  аламыз.  (3.13)  теңдеуіне 

байланысты,  көбейтінді  2

ші

  рангылы  тензор  болатынын 

көрсетейік: 

                   

'

'

.

j

j

j

l

l

k

k

i

k

k

i

l

i

l

x

x

x

x

a b

a

b

a b

x

x

x

x































         (3.26) 

 

Жинау амалын қолданайық:  

 

             

'

'

.

i

i

l

l

k

l

k

k

k

i

k

k

l

k

k

i

l

l

x

x

x

a b

a b

a b

a b

a b

x

x

x









 

















  (3.27) 

 

Бұл  амалды  тікелей  көбейту  деп  атайды.  Егер    екі 

вектордың  тікелей көбейтіндісін  қарастырсақ, онда   2

ші

 рангты 

тензор  аламыз.  Міне,  сондықтан   









  шамасын  векторлық 

талдауда қарастырмадық. 

Екі  тензордың  көбейтіндісі  де  тензор,  рангысы  екі 

тензордың рангтарының көбейтіндісіне тең, яғни 

 

                                            

i

kl

ikl

j

j

C

  

 ,                       (3.28) 

 

мұндағы 



ikl

j

C

4

ші

 рангты тензор. 

Біз  ковариантты  және  контравариантты  түрлендірулердің 

айырмашылығын көрсеттік. Себебі, евклидтік емес кеңістіктерде 

олардың  айырмашылығы  үлкен  (Жалпы  салыстырмалы 

теориясында  үлкен  рөл  атқарады).    Бұдан  былай    ковариантты 

және контравариантты тензорлардың айырмашылығы болмайды, 

 

77 

сондықтан  төменгі    индекстер  жүйесін  қабылдаймыз.  Қосынды 

және  жинау амалын пайдаланамыз. 

 

Қосу  ережесі.  Теңдіктің  бір  жағында  бірдей  екі  индекс 

кездессе, онда осы индекстер бойынша қосынды бар. 

 

Жинау.  Екі  әр  түрлі  индекстерді  бір-біріне  теңестіріп,  

содан соң қосу ережесін пайдаланамыз. 

 

 

3.3.    Тәуелсіздік ережесі 

 

Егер 

i

A

  және 

j

B

–  векторлар  болса,  онда 

j

i





-2

ші

 

рангты тензор болады. Енді кері тәуелділіктерді қарастырайық. 

 

                                           

i

i

K A

B



,                             (3.29а) 

 

                                          

ij

j

i

K A

B



,                            (3.29б) 

 

                                         

ij

jk

ik

K A

B



,                          (3.29в) 

 

                                         

ijkl

ij

kl

K

A

B



,                          (3.29г) 

 

                                         

ij

k

ijk

K A

B



.                           (3.29д) 

Мұндағы    А  және  В  –  белгілі    тензорлар  болсын,  рангты  

индекстер  санына  тең.  А  -  кез  келген.  Барлық  жағдайда  К  – 

белгісіз  шама.  Осы  шаманың  түрленуін  зерттейік.  Тәуелсіздік 

ережесі бойынша: егер  қарастырып отырған теңдік  кез келген 

бұрылған  декарт  координаттар  жүйесінде  орын  алатын  болса, 

онда  К  –  көрсетілген  рангты  тензор.  Мысал  ретінде  (3.29  б) 

теңдеуін  қарастырайық.  В-ның  векторлық  түрлендіру  қасиетін 

ескеріп, бұрылмаған координаттар жүйесінде   жазайық: 

 

 

78 

                                        

ij

j

i

ik

k

K A

B

a B

 







.                   (3.30) 

 

(3.29  д)  теңдеуі  кез  келген  айналатын  декарттық 

координаталар жүйесінде орындалады, 

 

                                        

(

)

ik

k

ik

kl

l

a B

a

K A



.                   (3.31) 

 

Соңғы  теңдеудегі   





-ны  айналатын  координаталар 

жүйесінде  қайта  жазайық  (бірақ  енді  кері  түрлендірудегі 

бағыттауыш  косинустар 

jl

a

  индекстеріне    мұқият  болу  керек), 

яғни 

                          





















j

j

j

jl

j

j

l

l

A

a

x

x

, 

                           

ij

j

ik

kl

jl

j

a

a

 



   



,                            (3.32) 

 

           





0

ij

ik

jl

kl

j

a a







 

  

.                     (3.33) 

 

Соңғы өрнек кез келген  і үшін  және кез келген айналатын 

жүйеде орындалады. 

о



 – кез келген болғандықтан,  сондықтан  

                                        

ij

ik

jl

kl

a a



 



                          (3.34) 

– екінші рангты тензорлардың анықтамасымен сәйкес. 

(3.29) 

теңдеулерінің 

басқалары 

осыған 

ұқсас. 

Қорытындылай  келе  тәуелсіздік  ережесін  дұрыс    пайдалану 

керектігін    ескертеміз.  Егер  В=0  болса,  онда  бұл  ереже 

орындалмайды. 

Бұл 

жағдайда 

түрлендіру 

қасиеттері 

анықталмаған. 

 

3.4.  Псевдотензорлар 

Осыған  дейін координаталар жүйесінің  айналуын қарастырдық. 

Енді 

инверсия 

амалын 

қарастырамыз. 

Түрлендіру 

коэффициенттері берілсін  

,

ij

ij

a







 онда 

 

79 

                                                 

i

i

x

x



 

.                          (3.35) 

 

Яғни,  оң  координаталар  жүйесін  сол  координаталар 

жүйесіне ауыстырады. 

Радиус-вектор     



 



.

,

,

,

,

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

r



















  Жаңа    

векторлардың   компоненттері   жаңа    осьтерге қарағанда теріс 

болады.    Яғни,  векторлардың  кеңістіктегі  бағыты  өзгермейді 

(24-сурет).   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                

 

 

 

24-сурет 

 

 

Мұндай  векторларды  полярлы  векторлар  деп  атайды.  Ал 

екі  полярлы  векторлардың  векторлық  көбейтіндісінен  пайда 

болған вектор мүлде  басқаша  болады.  

,















C

 мұндағы  





 

және 





-  полярлы  векторлар.  Онда  С  вектордың  компоненттері 

(1.33) бойынша:  

 

                                         С

1

=А

2

В

3

-А

3

В

2

.                          (3.36) 

 

 

80 

C



  инверсия  кезінде  полярлы  вектор  сияқты  өзгермейді.  

Мұндай векторларды псевдовекторлар  немесе аксиалвекторлар 

деп атайды (25-сурет).   

Мысалы:  бұрыштық  жылдамдық     















r

,  қозғалыс 

моменті   

L

r

 

. 

Айналу  моменті 

,

f

r

L









  магнит  өрісі   





  үшін 























t

,  [айналысқа  қатысы  бар  үрдістерді  сипаттайды]. 

С



 векторының бағыты оң координаталар  жүйесінде оң бұранда 

ережесімен, ал теріс КЖ сол бұранда  ережесімен анықталады. 

 

Жалпы  псевдовекторлар  және  псевдотензорлар  мына 

формулалармен түрленеді: 

 

                  

'

,

,

i

ij

j

ij

ik

jl

kl

C

a a C

a a a

 

 



           (3.37) 

 

 

 

25-сурет 

 

 

81 

mn

a

a



  коэффициенттерінен  құрылған  анықтауыш,  яғни  

инверция кезінде  

                                  

1 0

0

0

1 0

1

0

0

1

a







 



                     (3.38) 

 

тек х осі бойынша инверция кезінде де  

 

                                  

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

a





 

.                  (3.39) 

 

Кез  келген  таза  айналу  үшін 

1





a

    (3.37)  теңдеуімен 

сәйкес    түрлендірілетін    шамалар  тензорлық    тығыздықтар  деп 

аталады. 

C

S

















  -  аралас  көбейтінді  скаляр  шама  (айналу 

кезінде)  деп  қабылдадық.  Бірақ  инверсия  кезінде  (3.35)  S-

псевдоскаляр 

болып 

шығады. 

Аралас 

көбейтіндінін 

геометриялық  түсініктемесі  –  параллелепед  көлемін  береді. 

Ұзындығын,  енін  және  биіктігін  теріс  сандарға  өзгертсе,    онда 

бұл шамалардың көбейтіндісі теріс шама болады. (электр заряды 

да псевдоскаляр). 

Леви-Чивита үш өлшемді  

ijk



 символын анықтайық: 

 

                                 

123

231

312

132

213

321

1,

1,































  

                  (3.40) 

 

                                            қалған    

0.

ijk





 

 

82 

Үшінші 

рангты 



ijk



псевдотензоры 

белгілі 

бір 

координаттар  жүйесінде 

ijk



-ға  тең  болсын.  Демек,  анықтама 

бойынша: 

                                   

'

.

ijk

ip

jq

kr

pqr

a a a a







                  (3.41)  

 

 

11 22

33

12

23 31

123

1

2

3

13

21 32

11 23 32

12

21 33

13

22

31

1

1

1

p

q

r

a a a

a a a

a a a a

a

a a a

a a a

a a a

a a a



 

 









 

  

 

 

















 

                                            

2

1

2

3

1

.

p

q

r

pqr

a

a a a

a





 



    (3.42) 

 

Басқа компоненттері үшін де осылай табамыз 

 

                                            

ijk

ijk





 

                               (3.43) 

 

және бұл изотропты псевдотензор болады. 

Кез келген қарсысимметриялы  2

ші 

 рангалы 

ij

C

 тензорына 

(үш  өлшемді  кеңістікте)  дуалды 

i

C

  псевдовекторын  сәйкес 

қоюға болады: 

                                    

1

2

i

ijk

jk

C

C







,                            (3.44) 

 

 

                             

12

31

12

23

31

23

0

0

.

0

jk

C

C

С

C

C

C

C











 















                 (3.45) 

 

 

83 

5

ші

  рангты 

ijk

jk

C



  тензордың  2  рет  жиналған  шамасы 

i

C

 

вектор  болады.  Бірақ 

ijk



  псевдотензоры 

i

C

  шамасын 

псевдовектор  етеді. 

C



  псевдовекторының компоненттері: 

 

                           



 



1

2

3

23

31

12

,

,

,

,

C

C

C

C

C

C



.        (3.46) 

 

Мұндағы  циклдік  индекстердің  орын  ауыстыруы 

ijk



 

псевдотензорының  компоненттерінің  циклділігінен    шықты. 

Екіге  жіктелетін:  векторлардың  үшөлшемді  көбейтіндісін 

псевдовектор ретінде және қарсысимметриялы 2

ші

 рангты тензор 

ретінде қарастыруға болады. 

Үш полярлы 

C







,

,





 векторларынан: 

 

              

. . .

i

i

i

ijk

j

j

j

i

j

k

i

k

j

k

k

k

C

V

C

C

C

C





 



  

  







 (3.47) 

 

 

құруға болады. 

r

q

p

C





 әрбір мүшесі  3

ші

 рангты тензор. (3.47) 

теңдеуі    толық  қарсысимметриялы,  сондықтан  кез  келген   

индекстердің орнын ауыстырғанда таңбасы өзгереді. 

 

                                              

1

3!

ijk

ijk

V

V





                      (3.48) 

 

шамасы - псевдоскаляр шама. 

 

                                                 

1

1

1

2

2

2

3

3

3

C

V

C

C





 







                    (3.49) 

 

84 

аралас көбейтінді екені көрінеді. 

Максвелл  теңдеулерінің    коварианттығын  дәлелдеу  үшін 

жоғарыдағы    нәтижелерді  төрт  өлшемді  кеңістікте    көрсету 

қажет.  Әрі     



4

3

2

1

dx

dx

dx

dx

төрт  өлшемді  көлем  элементінің  

псевдоскаляр екендігін көрсетейік. 

Төрт өлшемді  Леви-Чивита  

ijkl



 символын енгізейік ( 

ijk



    

символының 

аналогы). 

Анықтамасы 

бойынша 

барлық 

индекстері бойынша қарсысимметриялы. 

 

 

1,

ijkl



 

 егер индекстері жұп рет орын ауыстырса, 

 

 

1,

ijkl



 

 егер индекстері тақ рет орын ауыстырса. 

 

4

ші

  рангалы Н тензорын енгізейік: 

 

                                       

i

i

i

i

j

j

j

j

ijkl

k

k

k

k

l

l

l

l

C

D

C

D

C

D

C D









 









                   (3.50) 

 

 

-элементтері - 

, , ,

C D

 

 полярлы векторлардың компоненттері 

болсын. Онда   

                                                      

1

4!

ijkl

ijkl

H

H





                     (3.51) 

 

екіге  жіктелген  шаманы  анықтайық. 



ijkl



псевдотензорлар 

болған   

i j k l

H

-де  псевдотензор.   

, , ,

C D

 

  векторлары  4 

координат  осьтері  бойынша  шексіз  кіші  ұзындыққа  ие  болсын  

(Минковский кеңістігі).           

 

85 

                             









1

2

, 0, 0, 0 ,

0,

, 0, 0 , . . .

dx

dx

 

 

  (3.52) 

 

төртөлшемді  көлем элементі 

 

                                        

1

2

3

4

H

dx dx dx dx



                    (3.53) 

 

псевдоскаляр шама болады. 

4

ші

  өлшемді  кеңістікке    біз  3

ші

  өлшемді    кеңістікті  

математикалық  жалпылау  әдісімен  көштік.  Дәл  осылай  N 

өлшемді кеңістік алуға болады. 

 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: