Векторлық алгебра негізгі түсініктер

 

65 

                

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

sin

.

1

sin

sin

d

dR

k

r

R r dr

dr

d

r

d

d

d

r

d

d







 











 

























































 (2.54) 

 

(2.54) 

теңдеуінің 

2 

жағы 

да 

бір-бірінен 

тәуелсіз 

айнымалылардың  дифференциалдық  теңдеуі.  Сондықтан, 

оларды  бір  тұрақтыға  теңестіреміз.  Бір  ескертетін  жағдай, 

көптеген физикалық есептерде 



-азимуталды бұрыш; сондықтан 

Ф функциясының периодты функция болуы ықтималдырақ. 

 

                                                   

2

2

2

1

,

d

m

d







 



                      (2.55)  

 

                  

2

2

2

2

2

2

2

1

1

sin

sin

.

sin

d

dR

d

d

r

r R dr

dr

r

d

d

m

k

r



 







































 

     (2.56) 

(2.56) теңдеуін 

2

r

-қа көбейтеміз: 

 

          

2

2

2

2

2

1

1

sin

sin

.

sin

d

dR

d

d

r

k r

R dr

dr

d

d

m



 

















 























     (2.57) 

 

Айнымалылар  тағы  да  бөлінді.  Соңғы  теңдеуді 

2



-  тұрақтыға 

теңестірейік: 

 

                        

2

2

2

1

sin

0,

sin

sin

d

d

m

d

d





 









 

   









    (2.58) 

 

66 

 

                                     

2

2

2

2

2

1

0.

d

dR

R

r

k R

r dr

dr

r





 













         (2.59) 

 

 

Дифференциалды 

дербес 

туындылар 

теңдеуі 

3 

қарапайым  дифференциалды  теңдеулерге  бөлінеді.  Толық 

шешімін былай деп жазуға болады: 

 

                 





 

 

 

,

, ,

.

lm

l

lm

m

l m

r

R r



 













  (2.60а) 

 

2

k

- айнымалы да бола алады. Егер 

 

             

 

 

 

2

2

2

2

2

1

1

sin

k

f r

g

h

k

r

r

















   (2.60б) 

 

формуласымен  берілсе,  онда  бұл  жағдайда  айнымалыларды  

бөлуге болады. 

 

 

2.6.  Цилиндрлік координаталар жүйесі 

 

Декарт және цилиндрлік координаталар жүйесінің 

(Ц.К.Ж) арасындағы байланыс (23-сурет):   

 

 

                       

cos ,

sin ,

,

x

y

z

z















          (2.61)   

 

Ламе коэффициенттері:     

                                                

                    

1

2

3

1,

,

1,

z

h

h

h

h

h

h



















         (2.62)      

                                         

1) осі z болатын цилиндр:

.

2

2

const

y

x









 

 

67 

2) z осі  арқылы өтетін жарты жазықтықтар: 

.

y

arctg

Const

x







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

                              

 

23-сурет 

 

 

3) ху жазықтығына параллель жазықтықтар z = Const.     

 

.

,

2

0

,

0





















z







 

 

(2.13)

0

0

1

( , , )

z

k

z

 







 





















,                (2.63) 

 

(2.17) 

1

1

(

)

z

V

V

V

V

z







 

 







   











,                       (2.64) 

 

68 

(2.18) 

2

2

2

2

2

2

1

1

(

)

z



 







 

 





    













,        (2.65)  

 

 

(2.22) 

0

0

1

z

k

V

z

V

V

V







 

 













  







 .                                      (2.66) 

 

Векторлық лапласиан: 

 

 

2

2

2

2

1

2

V

V

V

V



















 







, 

 

                            





























V

V

V

V

2

2

2

2

2

1







,             (2.67) 

 

                            

z

z

V

V

2

2













. 

 

Лапласианның 

z 

компоненттері 

декарттық 

және 

цилиндрлік  координаталар  жүйесінде  бірдей  болады  (себебі 

z

д 

z



ц 

)

: 

 

     

2

2

2

0

0

0

0

2

0

0

(

)

(

)

(

,

)

(

,

)

.

z

z

z

V

V

kV

V

V

k

V

f V V

g V V

k

V



































 



 







 

 

 

 

 

 

69 

ТЕНЗОРЛЫҚ ТАЛДАУ 

  

3.1. Кіріспе.  Негізгі түсініктер 

 

Физиканың көптеген облыстарында  тензорлар  үлкен рөл  

атқарады,  мысалы,  салыстырмалылықтың  жалпы  теориясында 

және 

 

электромагниттік 

теориясында, 

қатты 

дененің 

анизотропты    қасиеттерін  зерттегенде.  Ом  заңын  қарапайым 

түрде жазайық: 

                                            

j



 

                                 (3.1) 

 

Мұндағы   

j



–  ток  тығыздығы; 

E

  –  электр  өрісі; 



  –

электр өткізгіштік. 

Егер қарастырып отырған  орта изотропты  болса, онда 



 

– скаляр шама. Онда  х - компоненті үшін,      

 

                                             

1

1

j



 

                              (3.2) 

 

деп жазамыз.  Алайда  көптеген кристаллдар  үшін  х  -  бағыттағы  

ток  тығыздығы  у-    және  z-    бағыттарындағы  электр  өрістеріне  

тәуелді. Ол тәуелділікті сызықты деп қарастырсақ, (3.2) теңдеуін 

былай жазуға болады: 

 

                              

1

11

1

12

2

13

3

j









 

 



                   (3.3) 

 

немесе жалпы түрде 

 

                                   

i

ik

k

k

j









.                                  (3.4) 

 

Демек,  

 

70 

                               

11

12

13

21

22

23

31

32

33





























 











,                     (3.5) 

 

(3.5) - тоғыз элементтен тұрады. 

Координаттар  жүйесін  бұрғанда    өзгермейтін  шамалар 

(яғни,  инвариант  шамалар)  скаляр  деп  аталады.  Ал 

компоненттерін түрлендіру 

заңдары 

радиус-вектор 

компоненттерінің  түрлендіру  заңдарымен  бірдей  болса,  онда 

ондай шамаларды векторлар деп атадық: 

 

                                          

i

ij

j

j

a A



 



.                           (3.6) 

 

Мұндағы 

ij

i

a

x





    және 

j

x

  векторлары  арасындағы 

бағыттауыш  косинустар  деп  аталады.  Алайда  мұндағы  бір 

анықталмағандық бар.  

Біздің  радиус-векторымыз үшін 

r



. 

 

                                                     

i

i

j

j

j

x

x

x

x





 







                        (3.7) 

 

деп, мұндағы  

                                                

i

ij

j

x

a

x









                             (3.8) 

 

деп  белгілесек,  онда  (3.6)  және  (3.7)  теңдеулер  бірдей  болады. 

Кез келген 

j

A

 шамасы 

 

                                         

i

i

j

j

j

x

A

A

x





 





                        (3.9) 

 

71 

заңымен түрлендірілсе, онда мұндай векторларды контравариант 

векторлар деп атайды. 

Скаляр градиентін қарастырайық: 

 

                              

1

2

3

i

j

k

x

x

x















 











.             (3.10) 

 

Осы вектордың түрленуін қарастырамыз: 

 

                       

j

j

j

j

i

j

i

j

i

x

x

x

x

x

x

x

















































.          (3.11) 

 

Мұндағы   



























)

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

z

y

x

скаляр. 

(3.11) және (3.9)  теңдеулерінің айырмашылығы бар. (3.11)  

теңдеуі ковариантты  векторды анықтайды. 

Декарт координаттар жүйесінде 

 

                                         

j

i

ij

i

j

x

x

a

x

x

















                       (3.12) 

 



ковариантты 

және 

контравриантты 

түрлендірулерге 

эквивалент  (3.12)  теңдеуінен  басқа  координаталар  жүйелерінің 

ешқайсысында да тең емес. Контравариант векторларды 

i

A

 деп 

белгілеп  (индекстері  жоғарыда),  ал  ковариант  векторлар 

компоненттерін   

i

A

  деп  белгілейміз.  Скалярды  нөлінші  рангты 

тензор деп, ал векторды бірінші рангты тензор деп атайды. 

Контравариант,  аралас  және  ковариант  екінші  реттік 

тензорларды келесі қатынастармен анықтаймыз:  

 

 

72 

                                

'

j

kl

i

ij

k

l

kl

k

i

l

l

i

k

j

j

kl

k

l

ij

kl

kl

i

j

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

C

x

x













 



 





















 









 













 





















.                  (3.13) 

 

 

kl

A

  -  екі  индексі  бойынша  контравариант,   

k

k

l





  бойынша 

контравариант,   



l

бойынша  ковариант, 



ij

C

екі  индекс 

бойынша ковариант.  Д  координат жүйесінде үш тензорлар түрі 

бірдей болады. 

Екінші  дәрежелі  А  тензорын  (

kl



компоненттерімен) 

квадрат таблица түрінде жазған ыңғайлы (үш өлшемді  кеңістік 

үшін 3



3): 

 

                                 

11

12

13

21

22

23

31

32

33















  























.                 (3.14) 

 

Бірақ кез келген сандардың не функциялардың квадраттық 

таблицалары  тензор  бола  алады  деген  түсінік  дұрыс  емес.  

Тензор  компоненттеріне  қойылатын    шарт,  олар  (3.13)  заңы 

бойынша түрлендірілуі қажет. 

Мысалы,  екі өлшемді тензор  

 

73 

                                  

























xy

x

y

xy

2

2

. 

 

Бұрылған   

1

1





компоненті   

y

x







-қа  тең  болуы  керек. 

(3.13) бойынша, 

 







































kl

kl

kl

l

k

kl

l

k

a

a

x

x

x

x

y

x

,

1

1

1

1

1

1

 

 

l

k

a

a

1

1

,

  және 

kl



  шамаларының  айқын  түрін  орнына  қойып 

көрейік,   

 

(

)(

)

cos

sin

xcos

ysin

xsin

ycos

sin

cos





























=   

        

2

11

12

21

2

22

2

2

2

2

sin

cos

.

cos

cos

sin

sin

xy cos

y cos sin

x sin cos

xysin















 







 

 

 

 

  







     

 

(3.13) 

теңдеуі 

1

1





  (және  басқа  компоненттері  үшін  де) 

орындалатынына көз жеткіземіз. Демек,  Т - 2

ші

 рангты тензор. 

Тензорларды қосу векторларды қосуға ұқсас амал: 

 

                                               А+В=С.                              (3.15) 

 

Егер 

ij

ij

ij

C









 болса, онда А және В тензорларының 

рангтары бірдей және өлшем бірліктері бірдей кеңістікте берілуі 

қажет. 

(3.13)  теңдеуін  қысқаша  жазуға  болады.  Егер  индекстері 

бірдей және біреуі жоғары, екіншісі төменгі болса, онда мұндай 

индекстер  бойынша  қосынды  бар  деп  есептейміз.  Сондықтан 

екінші теңдеуді былай жазамыз, 

 

74 

                                   

'

'

'

,

i

k

i

l

j

l

k

j

x

x

x

x





 









                      (3.16) 

 

яғни, k  және 

l

 бойынша қосындысы бар. Қосу ережесі.  

Мысал  ретінде  Кронекер  символы  аралас  2

ші

  рангты 

тензор  екенін  дәлелдейік.  Біріншіден,(3.13)  теңдеуі  бойынша 

түрлене ме? Қосу ережесі бойынша: 

 

                                 

,

k

i

l

i

k

l

k

j

k

j

x

x

x

x

x

x

x

x

































                (3.17) 

ал  

                                        

i

k

i

k

j

j

x

x

x

x

x

x

























,                       (3.18) 

j

x



 және 

i

x



 - тәуелсіз координаттар болғандықтан 

 

                                            

ik

i

j

j

x

x















 .                           (3.19) 

 

Сондықтан 

 

                                      

i

j

j

l

k

i

k

l

x

x

x

x























,  

 

яғни   

k

l



- 2

ші

 рангты аралас  теңдеулер. Кронекер символының 

тағы  бір  қасиеті    оның  компоненттері  барлық  айналатын  

координаттар жүйесінде бірдей, яғни изотропты. 

Жалпы 

жағдайда 

mn



 

компоненттері 

nm



 

компоненттеріне тәуелсіз. Бірақ кейде     

  

                                                

mn

nm

  

                        (3.20) 

 

75 

тензорлары кездеседі. Бұл тензорларды  симметриялы тензорлар 

деп атайды. Егер,  

 

                                               

mn

nm

  

                                 (3.21) 

 

болса,  онда  қарсысимметриялы  тензорлар  деп  атайды.  Демек,  

кез келген 2

ші

 рангты кез келген тензорларды симметриялы және 

қарсысимметриялы тензорларға бөліп жазуға болады. 

 

               



 



1

1

2

2

mn

mn

nm

mn

nm

 

  



  

       (3.22) 

 

                            симметриялы     қарсысимметриялы 

                               тензорлар             тензорлар

 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: