1.7. Дивергенция
Векторлық функцияларды дифференциалдау скалярлық
функцияларды дифференциалдаудың жалпы түрі болып
табылады. Мысалы:
)
(t
r
дененің кеңістіктегі t уақытағы орнын
анықтасын.
13-сурет
26
Сонда (13-сурет):
,
)
(
)
(
lim
)
(
0
v
t
t
r
t
t
r
dt
t
r
d
t
v
- сызықтық жылдамдық, ал
- операторын 1.6-параграфта
векторлық оператор деп қарастырдық.
Енді оның векторлық және дифференциалдық қасиеттерін
пайдаланып, оның векторлық шамаларға әсерін қарастырайық.
операторының векторға скаляр көбейтіндісі:
,
z
V
y
V
x
V
V
z
y
x
(1.60)
V
векторының дивергенциясы деп аталады. 1.3-бөліміндегі
анықтама бойынша, бұл скаляр шама. Мысалы:
(
)(
)
3;
x
y
z
r
i
j
k
ix
jy
kz
x
y
z
x
y
z
r
f
r
r
f
r
zf
z
r
yf
y
r
xf
x
r
f
r
)
(
3
))
(
(
))
(
(
))
(
(
)
(
.
Дербес жағдай
1
)
(
n
r
r
f
болса, онда
1
1
0
1
)
1
(
3
n
n
n
n
r
n
r
r
r
r
r
олай болса n=-2 болғанда, онда осы шаманың дивергенциясы
нөлге тең болады.
27
Дивергенцияның физикалық мағынасы түсінікті болу
үшін
)
(
v
қарастырайық, мұндағы
)
,
,
(
z
y
x
v
сығылатын
сұйықтың ағысының жылдамдығы,
)
,
,
(
z
y
x
– (x,y,z)
нүктесіндегі тығыздығы. Dxdydz – көлем элементін қарастырсақ
(14-сурет), онда EFGH бетінен бірлік уақытта ағатын сұйық
мөлшері:
(келген)
EFGH
=
v
x
dydz, ал АВС
D
бетінен шығатын сұйық
мөлшері: (кеткен)
ABCD
=
dydz
dx
v
x
v
x
x
)
(
. Туынды
тығыздықтың
біртектілігін
және
жылдамдықтың
х
координатына тәуелділігін ескереді. Осы аралықта ағып өткен
сұйық мөлшері екеуінің айырмасына тең, яғни х осі бойынша:
dxdydz
v
x
x
)
(
. Қалған 4 беттен ағып өтетін сұйықтарды
ескерсек, онда толық ағып өткен сұйық (уақыт бірлігінде):
(
)
(
)
(
)
(
)
.
x
y
z
v
v
v
dxdydz
x
y
z
v dxdydz
. (1.61)
14-сурет
28
Толық сығылатын сұйықтық бірлік көлемнен бірлік уақытта
ағып өтетін мөлшері
)
( v
-ға тең. Дивергенция және
шығындылық деген атауы да осыдан.
0
)
(
v
t
(1.62)
– үздіксіздік теңдеуі деп аталады.
(
)
(
)
(
)
(
)
,
x
y
z
y
x
z
x
y
z
fv
fv
fv
fv
x
y
z
v
v
v
f
f
f
v
v
v
f
f
f
x
y
z
x
y
z
f
v
f
v
(1.63)
мұндағы
f
- скаляр, ал
v
- векторлық функция.
Дербес жағдай. Егер
0
B
, онда
B
векторы
соленоидты деп аталады.
1.8. Ротор
z
y
x
z
y
x
x
y
z
v
i
v
v
j
v
v
y
z
z
x
i
j
k
k
v
v
x
y
x
y
z
v
v
v
(1.64)
29
– пайда болған теңдеу
v
векторының роторы деп аталады.
Анықтауышты есептегенде немесе кез келген басқа
операторымен жұмыс істегенде оның дифференциалдық
табиғатын ескеру қажет. Арнайы ескертейік,
v
- жаңа
диффренциалдық оператор. Жалпы жағдайда
v
v
.
Егер
векторды скаляр мен векторға векторлы көбейтсек,
онда
(
)
(
)
;
z
y
x
y
z
z
y
x
x
fv
i
fv
fv
y
z
v
v
f
f
i
f
v
f
v
y
y
z
z
f
v
f
v
(1.65)
y және z - компоненттері де осыған ұқсас. Сонда:
.
fv
f
v
f
v
(1.66)
(1.66) теңдеуі (1.63) теңдеуінің көшірмесі.
Мысалы:
( )
( )
(
( ))
rf r
f r
r
f r
r
А)
30
0.
i
j
k
r
x
y
z
x
y
z
Б)
r
d
df
r
r
f
0
)
(
екендігін пайдаланып,
0
)
(
0
r
r
dr
df
r
f
r
,
себебі
r
r
r
0
,
0
0
0
r
r
.
v
шамасы
v
вектор өрісінің
роторы есептелетін нүктедегі айналуын сипаттайды, сондықтан
rot деп аталады.
хy жазықтығында қатты дене z осі бойынша
бұрыштық жылдамдықпен айналады дейік. Онда қатты дененің
нүктесінің
V
сызықтық жылдамдығы (
r
– радиус-вектор):
V
r
. (1.67)
Мұны
r
көбейтіндісін табу үшін қарастырайық:
(
)
V
r
, (1.68)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
r
(1.69)
дифференциялдық оператор, сондықтан:
(
)
.
r
r
r
r
r
(1.70)
31
const
болғандықтан (1.70) теңдеуінің 2-ші және 3-ші
мүшелері нөлге тең.
3
r
(1.71)
болғандықтан және
(
)
(
)
(
)
.
x
y
z
x
y
z
r
ix
jy
kz
ix
jy
kz
x
y
ix
jy
kz
i
j
k
z
(1.72)
(1.71), (1.72) теңдеулерін (1.70) апарып қойсақ, онда
(
)
2
V
r
(1.73)
болады. Яғни, қатты дененің сызықтық жылдамдығының
роторы екі еселенген бұрыштық жылдамдығына тең.
Егер,
v
0
(1.74)
болса, онда
V
векторын құйынсыз деп атайды.
Құйынсыз векторларға, мысал ретінде, гравитациялық
және электростатикалық күштерді жатқызуға болады.
0
2
3
,
r
r
V
C
C
r
r
(1.75)
мұндағы С – тұрақты,
0
r
– радиус-вектор бағытындағы бірлік
вектор.
32
1.9.
операторын біртіндеп қолдану
Градиент, дивергенция және ротор түсініктері арқасында
вектор, скаляр және олардың комбинациясын алуға болады.
Енгізген барлық шамаларға
операторымен әсер етіп,
,
,
,
,
(
)
V
V
V
тәрізді
өрнектер аламыз.
Бұл өрнектер 2-ші реттік дифференциялдық теңдеулерге
кіреді.
2
2
2
2
2
2
2
(
)(
)
(
)
.
i
j
k
i
j
k
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Градиенттің дивергенциясын – лапласиан деп атайды.
Екінші өрнекті жазайық:
,
i
j
k
x
y
z
x
y
z
(1.76)
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
0.
i
y z
z y
j
k
z x
x z
x y
y x
(1.77)
33
Мұнда біз дифференциялдау ретін өзгертуге болады деп
есептедік. Ал ол өз кезегінде тек
-дің бірінші ретті дербес
туындылары үздіксіз болғанда ғана орынды.
(1.77) теңдеуінен
0
grad
rot
екендігін көрдік, яғни
градиент - құйынсыз вектор.
Төртінші өрнек (аралас көбейтінді ретінде қарастырамыз):
2
2
2
2
2
2
0,
x
y
z
y
y
x
x
z
z
x
y
z
V
x
y
z
V
V
V
V
V
V
V
V
V
x y
y z
z x
z y
x z
y x
(1.78)
яғни,
0
V
(1.79)
жоғарыдағы
шарт
орындалады
десек
,
0
)
(rot
div
ротор әрқашан соленоидты вектор.
Соңғы өрнекті қарастырайық:
(
)
V
V
V
. (1.80)
Декарттық координаталар жүйесінде
x
y
z
V
i
V
j
V
k
V
– векторлық лапласиан.
34
(1.80) өрнегі электромагниттік теорияда қолданылады.
Вакуум үшін Максвелл теңдеулері:
0
0
)
0,
)
,
)
0,
)
,
a
B
в
B
t
б
г
t
(1.81)
мұндағы
– электр өрісі,
В
– магнит индукциясы,
0
0
,
электрлік және магниттік тұрақтылар.
векторын
(1.81в) және (1.81 г) теңдеуінен анықтауға болады делік. (1.81 г)
теңдеуінің роторын есептейік:
(
)
t
t
(1.82)
(1.81в) теңдеуінен уақыт бойынша туынды алайық:
2
0
0
2
(
)
(
),
t
t
2
0
0
2
(
)
,
t
(1.83)
2
0
0
2
(
)
,
t
2
0
0
2
.
t
(1.84)
Егер
E
векторын декарттық координаталарда жазсақ,
онда (1.84) теңдеуі 3 скаляр толқындық теңдеуге бөлінеді.
|