Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
92
5.29.  Найти все значения параметра а, при которых неравенст-
во 563
х
 > 9
x 
– a не имеет ни одного целочисленного решения. 
 
5.30. Найти все значения параметра b, при которых наименьшее 
значение функции  
у = log
2
(1 + 3sin
2
x)[log
2
(1 + 3sin
2
x) – b – 1] – b
2
 + 3b + 7 
равно 2. 
 
5.31. Найти все значения параметра d, при которых наименьшее 
значение функции  
11
3
cos
81
8
9
1
log
cos
81
8
9
1
log
2
2
9
/
1
2
3
/
1


























d
d
d
x
x
y
   
не меньше (–1). 
 
5.32.  Решить неравенство  log
p
x > log
x
p  для всех значений р. 
 
5.33.  При каких значениях параметра р уравнение 
0
1
cos
log
1
sin
log
2
3
2
2


















x
px
x
x
 
имеет решение? Найти это решение. 
 
5.34. Пусть х – решение неравенства 
.
2
1
))
cos(
)
(sin(
log
2




px
px
 
Для каждого целого р > 2 найти максимальное значение величины 
f(x) = x(2 – x). 
 
5.35.  Для  каждого  допустимого  р  найти  область  значений 
функции  f(x) = log
p
(x
2
 – 2px + p
2
(1 + 2
p–1
)). 
 
5.36. Найти наибольшее значение х, удовлетворяющее неравен-
ству  у
2
log
2
(x + 1) + 2ylog
2
(x + 1) + log
4
(x + 3)  0 при всех у. 
 
 

 
93 
6. Построение графиков 
 
– А – 
 
Построить графики функций. 
 
6.1. 1) у = 2
х
; 
2) у = 2
–x
; 
3) у = 2
х–5
; 
4) у = 2
х
 – 5; 
5) у = 2
х+1
 + 3; 
6) у = 5 – 2
х
. 
 
6.2. 1) 
x
y







3
1
; 
2) 
;
3
1
x
y








 
3) 
;
3
1
4








x
y
 
4) 
;
2
3
1








x
y
 
5) 
;
1
3
1
4









x
y
 
6) 
.
3
1
4
2









x
y
 
 
6.3. 1) y = log
3
x; 
2) y = log
3
(–x); 
3) y = log
3
(x – 3); 
4) y = log
3
(x) – 3; 
5) y = log
3
(x + 2) +1;  6) y = 3 –log
3
(x – 1). 
 
6.4. 1) 
;
log
2
1
x
y 
 
2) 
);
(
log
2
1
x
y


  
3) 
);
4
(
log
2
1


x
y
 
4) 
;
4
log
2
1










x
y
 
 
5) 
;
3
)
2
(
log
2
1



x
y
 
6) 
).
4
(
log
2
2
1



x
y
 
 
6.5. Построить графики функций и уравнений. 
1) 
;
2
1
|
| 

x
y
 
2) 
;
2
|
2
| 

x
y
 
 
3) 
;
1
2
|
|
|
|


x
y
 
4) 
;
2
cos x
y 
 
 
5) 
;
2
1
2
sin x
y







 
6) |y + 2| = 2
x
 – 4. 
 
6.6. Найти области определения  функций. 
   1) 
;
5
,
0
5
,
0
)
(
3



x
x
f
 
2) 
;
1
5
)
(
3
2



x
x
f
 

 
94
3) 
.
36
6
1
)
(
2
x
x
x
f



 
4) 
.
27
1
9
ln
)
(
3
,
0
5
,
1









x
x
f
 
5) 
).
8
(
log
2
3
)
(
2
2




x
x
x
x
f
 
 
6.7. Найти область значений функций. 
   1) 
;
2
sin x
y 
 
2) 
;
3
1
2
1 x
y








 
3) 
;
16
2
x
x
y


 
4) 
;
2
1
2
cos x
y







 
5) 
;
)
4
(
2
1
2


x
y
 
6) 
.
3
1
2
6
3
x
x
y








 
 
6.8. Найти области значений функций. 
1) 
);
16
(
log
2
2


x
y
 
2) 
);
16
(
log
2
2
/
1
x
y


 
3) 
);
(cos
log
2
3
x
y 
 
4) 
;
2
3
2
x
y


 
5) 
).
18
6
(
log
4
2
3




x
x
y
 
 
6.9. Найти области значений функций. 
1) 
);
4
(
log
)
(
2
4
1
x
x
g


 
2) g(x) = 2
x 
 + 2
–x
; 
3) 
;
3
)
(
2
1 x
x
g


 
4) 
;
3
3
)
(
1
3




x
x
x
g
 
5) 
;
2
log
4
30
log
)
(
2
4
25
,
0











x
x
g
 
6) 
.
|
ln
|
1
11
24
log
)
(
5
,
0











x
x
g
 
6.10.  Найти  количество  целых  чисел,  принадлежащих  области 
значений функции 
.
2
2
3
cos
sin
log
16
)
(
16
1



x
x
x
g
 
 
 

 
95 
III. 
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, 
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ, СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ 
 
1. Область определения функции 
 
– А – 
 
Найти область определения функции. 
1.1. 1) 
х
у
3
2 

; 
2) 
2
2
1



х
х
у
; 
 
3) 
;
5
3
2
2
х
х
у



 
4) 
;
1
)
3
)(
2
(




x
х
x
у
 
5) 
2
2
8
3
1
x
x
х
x
x
у






; 
6) 
3
1
2




x
х
x
у
; 
7) 
3
|
2
|



x
у
; 
8) 
4
2
1




x
х
у
; 
9) 
3
|
2
|
|
1
|





x
x
х
у
; 
10) 
|
1
|
6
2




x
x
х
у
. 
 
1.2. 1) y = tg3x; 
2) y = ctg
2
х
; 
   3) y = tg(2x – 3); 
   4) 
;
cos
1
x
y 
  
5) 
;
3
2
sin
1









x
y
 
 
  6) 
;
cos
sin
1
x
x
y


 
7) 
;
1
cos
x
y 
   
  8) 
;
1
1
2
sin
x
x
y



 
9) 
.
|
3
|
2
1
cos









x
y
 
 
 
1.3. 1) у = arcsin(3x + 2); 
2) y = arcсos(3 – x
2
); 

 
96
   3) 
;
2
5
arccos








x
y
 
4) 
;
1
arcsin







x
y
 
   5) 
;
4
3
arccos
2








x
y
 
6) 
;
1
2
3
arcsin









x
x
y
 
   7) 
.
1
2
1
arccos









x
x
y
 
 
1.4. 1) 
;
4
2
1


x
y
 
2) 
;
3
9
1
3
x
y


 
3) 
.
8
16
2



x
x
y
 
 
1.5. 1) y = log
2
(3 – 2x); 
2) y = log
1/3
(5x – 2); 
   3) y = log
4
(x
2
 – 3); 
4) y = log
1/2
(3x + 1); 
   5) y = log
3
(4 – x
2
); 
6) 
;
1
1
lg









x
x
y
 
   7) y = log
1/3
(2
x
 – 8); 
8) y = log
x – 3
5; 
   9) 
;
)
5
(
log
1
2
5
x
y


 
10) 
.
)
5
3
(
log
1
75
/
1


x
y
 
 
– В – 
 
1.6.  Сколько  целых  чисел  принадлежит  области  определения 
функции. 
1) 
х
x
x
у





5
3
1
arcsin
; 
2) 
7
1
3
arccos




x
x
x
y
; 
3) 
)
3
2
(
log
10




x
y
x
; 
4) 
)));
3
2
n(
(sin(arcsi
log
3


x
y
 
5) 
2
2
2
3
2
sin
1
log
x
x
x
y











. 
 
1.7.  Заданы  функции  f(х)  и  g(х).  Найти  область  определения 
функций при: а) f(х)  g(х);   б) f(х) : g(х);  в) f(g(х));   г) g(f(х)). 

 
97 
1) 
1
)
(


x
x
f
,   g(x) = x
2
 – 3; 
2) 
2
1
)
(



x
x
x
f
,   g(x) =
1
2

x
; 
3) 
x
x
x
f




8
1
)
(
, 
x
x
g
1
)
(

; 
4) 
|
|
1
)
(
x
x
x
f


,  
x
x
x
g




1
2
)
(
; 
5) 
4
|
4
|
|
|
1
)
(




x
x
x
f
,  
5
1
)
(



x
x
x
g
. 
 
1.8. Найти все значения х, для которых число 
1
2


x
x
 не принадле-
жит области определения функции: 
1) 









3
1
log
2
x
x
y
; 
2)
);
3
2
arcsin(


x
y
 
3)
)
3
(
log
)
2
arccos(
3



x
x
y
; 
4)
);
6
|
4
|
|
2
(|
log
4





x
x
y
 
5) 
|
1
|
log
2
2



x
x
y
. 
 
1.9. Область определения функции у = f(х) совпадает с промежут-
ком (–1; 2]. Найти область определении функций. 
1) 
)
3
2
(


x
f
y
; 
2) 









x
x
f
y
1
1
; 
3) 
|);
1
(| 

x
f
y
 
4) 
)
sin
2
(
x
f
y 
; 
5) 











1
|
3
|
2
1
|
1
|
2
1
x
x
f
y
. 
 
1.10.  На  координатной  плоскости  изобразить  множество  точек 
(х,у) для которых существует число и, равное: 
   1)
;
y
x
y
x
u



 
2) 
;
|
| xy
x
u


 
3) 
);
(
log
2
1
y
x
u
x



 

 
98
   4) u = arcsin(x
2
 + y
2
 – 3); 
5) 
|
|
)
arccos(
x
x
xy
u


. 
– С – 
 
1.11.  При  каких  значениях  параметра  а  число  3  не  принадлежит 
области определения функции 
)
tg(
|
6
|
9
)
1
(
2
a
x
ax
x
a
ax
y








? 
 
1.12.  При  каких  значениях  параметра  а  область  определения 
функции 
)
2
(
log




a
ax
y
x
a
 содержит отрезок [1; 2]? 
 
1.13. При каких значениях параметра а функция 
1
)
(
1
)
(


x
g
x
f
, 
где 
)
1
)(
2
(
)
3
2
(
)
2
(
2
)
3
2
(
)
(
2
2







x
a
a
x
a
x
a
x
g
 определена для всех х? 
 
1.14. Функция у = f(x) имеет отрезок [9; 10] своей областью опре-
деления. При каком значении а областью определения функции   у 
= f(ax + +2 – 9a) является отрезок [2; 5]?  
 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: