Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
99 
2.2. 1) y = 2 – 3sinx; 
2) y = 2cos3x – 5; 
   3) 
;
2
sin
2
5
2
1
x
y


 
4) y = 4cosx – 3; 
   5) 
;
5
2
cos
2


x
y
 
6) y = –2 – 7|sin3x|; 
   7) y = cos
2
2x + 4; 
8) 
;
3
sin
2
3
2
x
y



 
   9) 
.
cos
2
3
2
5
x
y


 
 
2.3. 1) y = arctg2x; 
2) 
;
arcsin
2
2
3
x
y



 
   3) y = 4 – arccos3x; 
4) 
;
3
3
arcsin
4



x
y
 
   5) y = 2 – 6arccos3x; 
6) y =  – 2arctgx. 
 
2.4. 1) y = cosx,  где 
;
2
3
;
3









x
 
   2) y = sinx,  где 
;
6
5
;
6










x
 
   3)  y = cosx,  где 
;
2
3
;
2









x
 
   4) y = sinx,  где 
;
6
7
;
3









x
 
   5) y = cos2x,  где 
;
;
6









x
 
   6) y = sinx,  где 
.
;
6










x
 
 
2.5. 1) y = sinx – sin
2
x; 
2) y = 2cos
2
x + cosx; 
   3) y = 2cosx – 3sin
2
x; 
4) y = sinx + cosx; 

 
100
   5) 
;
cos
3
sin
x
x
y


 
6) 
;
cos
3
1
sin
x
x
y


 
   7)  y = 5sinx + 12cosx; 
8) y = 3cosx – 4sinx; 
   9) 
;
sin
1
x
y 
 
10) 
.
cos
1
2
x
y 
 
 
2.6. 1) 
;
1
x
x
y


 
2) 
;
1
4
x
x
y


   
   3) 
;
36
1
4
x
x
y


 
4) 
;
1
2
2
x
x
y


 
 
   5) 
;
)
2
(
9
1
)
2
(
2
2




x
x
y
 
6) 
;
sin
1
sin
x
x
y


 
   7) 
;
1
5
2
2
x
x
y



 
8) 
.
sin
4
sin
1
6
2
2
x
x
y



 
 
2.7. 1) y = 2
x
; 
2) 
;
2
2
x
y 
 
3) 
;
3
1
2
x
y







 
   4) 
;
3
2
2


x
y
 
5) 
;
3
1
1
2








x
y
 
6) 
;
2
4
2
x
x
y


 
   7) 
;
3
1
2
2
x
x
y








 
8) 
;
4
2
1 x
y


 
9) 
;
81
1
2
x
x
y








 
   10) 
;
4
|
1
|
1
x
y



 
11) 
;
2
1
x
x
y


 
12) 
;
3
1
2
2
1
x
x
y








 
   13) 
;
2
sin x
y 
 
14) 
;
3
1
2
sin
x
y








 
15) 
;
4
2
cos
2
x
y


 
   16) 
;
4
1
2
sin
3
x
y







 
17) 
.
2
1
|
3
2
|
2









x
y
 
 
2.8. 1) y = log
2
(4 + x
2
); 
2) y = log
3
(9 – x
2
); 

 
101 
   3) y = log
1/3
(3 + 2x
2
); 
4)
;
1
log
4
/
1








x
x
y
 
   5) 
);
50
10
(
log
3
2
5




x
x
y
 
6) 
);
3
2
(
log
8
/
1
x
y


 
   7) 
).
13
4
(
log
2
2
3



x
x
y
 
 
– B – 
 
2.9. 1) 
3
1



x
x
y
; 
2) у = х
2
 – 2х + 3; 
3)
;
7
4
3
2
x
x
y



 
4)
);
3
2
cos(
4
)
3
2
sin(
3






x
x
y
  
5) 
;
3
6
2
sin
3
5

















x
y
 
6)
;
4
2
3
2
x
y



 
7) 
x
x
y
cos
3
2
cos



; 
8) y = cos2x + cosx;   
9)
;
1
3
tg
2
2









x
y
 
10) 
2
2
1 x
x
y



. 
 
2.10. Сколько целых значений принимает функция. 
1) 
)
cos
sin
6
5
(
log
12
2
x
x
y



; 
2) 
;
65
64
16
4
2



x
x
y
 
3)
;
6
36
sin
12
2
2











x
y
 
4) 
);
2
3
(
arccos
2
2
x
x
y



 
5)
.
|
3
|
|
1
|
18
4





x
x
y
 
 
2.11. Функция y = f(x) имеет  отрезок  [-2; 3]  областью  определения. 
Найти область значений функций. 
1) y = f(2x – 3); 
2) y = 2f(x) – 3; 
3) y = |2f(x) – 3|; 
4) y = f
2
(3x – 2); 
5) y 
)
(log
2
x
f

. 
 

 
102
2.12. Заданы две функции y = f(x) и y = g(x). Найти область значений 
функций: а) 
;
)
(x
f
y 
  б) 
);
(
2
x
g
y 
  в) 
));
(
(
x
g
f
y 
   г) y = g(f(x)). 
  1) 
2
4
)
(
x
x
f


, 
2
1
)
(



x
x
x
g
; 
 
2) f(x) = 1 – x
2
,    g(x) =
x
1
; 
3) f(x) = sinx,  g(x) = arccos(2x – 3); 
4) f(x) = |x + 2| – |x – 3|,   g(x) = 4 – x
2
. 
 
2.13.  Пусть 
x
x
x
f
1
)
(


.  Найти  область  значений  функции  у  = 
=f(g(x)) для функций: 
1) 
;
1
1
4
)
(
2



x
x
x
g
 
2) 
2
5
cos
sin
3
)
(



x
x
x
g
; 
3) g(x) = |x + 1| + 2; 
4) g(x) = f(x); 
5)
.
)
1
arccos(
2
1
)
(
2




x
x
g
 
 
 – C – 
 
2.14.  При  каких  значениях  параметра  а  область  определения 
функции   
4
3
)
3
2
(
)
6
(
)
2
(
)
(







a
x
a
a
x
a
x
f
  совпадает  с  множеством  ее  зна-
чений? 
 
215. При каких значениях параметра а число А = 0 принадлежит 
области значений функции f(x) = ax
2
 – (a + 1)x + a + 1? 
 
2.16.  При  каких  значениях  параметра  а  область  значений  функ-
ции  
a
x
a
ax
x
f




)
1
(
1
)
(
 не  содержит хотя бы одно из чисел А = 2 и 
В = 3? 
 

 
103 
2.17.    При  каких  значениях  параметра  а  область  значений  функ-
ции f(x) = ax
2
 + (2a – 3)x + 4a содержит полуось (0; +)? 
 
2.18.    Для  всех  значений  а  найти  область  значений  функции  
2
2
)
1
(
)
1
(
)
(




a
x
x
a
x
f
. 
 
3. Четность и нечетность функции 
 
– А – 
 
3.1. Среди предложенных функций выбрать нечетные. 
1) 
1
sin
2


x
x
y
; 
2) 
1
1



x
x
y
; 
3) 
1
1
log
2



x
x
y
; 
4) у = хsin2x. 
 
3.2. Среди предложенных функций выбрать четные. 
1) y = sin(|x|); 
2) y = sin|x + |; 
3) y = arccos2x; 
4) y = x

arctg2x. 
 
3.3.  Какое  из  предложенных  множеств  Е  может  быть  областью 
значений нечетной функции? 
1) Е = (0; +); 
2) E = [–1; 1]; 
3) E = [–3; 2]  [2; 3]; 
4) 







2
;
2
1
Е
. 
 
3.4. При каких значениях параметра а множество  D
a
 может быть 
областью определения четной функции? 
   1) D
a
 = [2a – 3; 2 – a]; 
2) D
a
 = [sina; cosa]. 
 
3.5. При каких значениях параметра а функции нечетные. 
1) у = ах + а – 2;  
2) 
2
1
)
2
(
2







a
ax
a
x
a
a
y
; 

 
104
3) 
1
cos
2



x
a
ax
y
. 
 
3.6. При каких значениях параметра а функции четные? 
1) у = ах
2
 + (а – 3)х + а
2
; 
2) у = |ax + a
2
 – 1|; 
3) y = cos(x + 2a). 
 
3.7. Пусть f(x) – нечетная, а g(x) – четная функции, определенные 
для  всех  х.  Укажите,  какие  из  следующих  функций  четные,  нечет-
ные или общего вида. 
   1) f 
2
(x); 
2) f(x)g(x); 
3) g(f(x)); 
   4) f(x) + g(x); 
5) f(g(x)). 
 
3.8. Пусть f(x) и g(x) – нечетные функции, определенные на всей 
оси. Укажите, какие из функций четные, нечетные, общего вида? 
   1) f(x) + g(x); 
2) f(x) g(x); 
3) f(g(x)); 
   4) g(x)| f(x)|; 
5) g
2
(x) f(x). 
 
3.9. Доказать, что для любой функции f(х), определенной для всех 
х, функция g
1
(x) = f(x) + f(–x) – четная, g
2
(x) = f(x) – f(–x) – нечетная. 
 
– В – 
 
3.10.  Пусть f(х) – нечетная функция, определенная на всей оси. При 
каких  значениях  параметра а  приведенные  функции  являются  нечет-
ными? В ответе указать сумму таких а. 
   1)
)
7
(
2




a
a
ax
af
y
; 
 
   2) 
|
|
8
)
(
2
a
a
x
a
af
y




; 
   3) 












2
2
|)
1
|
|
|
2
3
)
(
x
a
a
a
x
a
x
af
y
. 
 
3.11.  Пусть  f(х)  –  четная  функция,  определенная  на  всей  оси.  При 
каких значениях параметра а приведенные функции являются четны-
ми? В ответе указать сумму таких а. 

 
105 
1) 
)
3
)
6
2
(
(
2
2





x
a
a
x
f
y
; 
 
2) у = f (ах + (а + 2)(а – 3)); 
3) у = f ((1 – 3а + 5а
2
)sinx + acosx). 
 
3.12. Доказать, что если х = 0 принадлежит области определения 
нечетной функции f(х), то f(0)  = 0. 
 
3.13.  Доказать, что любая функция f(х), определенная для всех х, 
может  быть  представлена  в  виде  суммы  четной  и  нечетной  функ-
ций. 
 
– С – 
 
3.14. При каких значениях параметра а уравнение  
х
4
 + log
2
(2
a+2
 –  12) = a – |x| 
имеет единственное решение? 
 
3.15. При каких значениях параметра а уравнение  
arcsinx =
x
x
a
x
|
|

 
имеет два решения? 
 
4. Периодичность 
 
– А – 
 
4.1. Найти наименьший положительный период Т > 0 функции. 
1) y = sin2x; 
2) y = cos(3x + 2); 
3) у = tg
4
4
3 
х
; 
4) 
3
sin
2
x
y 
; 
5) 
x
y
2
cos
4
2

. 
 
– В – 
 
4.2. Найти наименьший положительный период Т < 0 функций. 

 
106
1) 
x
x
y
3
sin
2
sin


; 
2) y = cоs121x – 2tg
7
x
; 
3) 
3
2
tg
3
sin
2
sin
x
x
x
y



; 
4) y = sin
2
x + cos
2
2x + tg
2
3x. 
 
4.3. Функция f(х) имеет период Т = 2 и на промежутке [7; 9) опре-
деляется формулой: 
1) f(x) = 8 – x; 
2) f(x) = |x – 8| – x; 
3) f(x) = (x – 8)
2
; 
4) f(x) = (x – 7)
2
. 
Найти:  а)  значение  f(3)f(2)  –  f(1);    б)  область  значений  E
f
;  в)  ре-
шение уравнения f(x) = 0. 
 
– С – 
 
4.4.  Доказать,  что  функция  y  =  sinx  +  sin
2 x  не  является 
периодической. 
 
4.5. Пусть функция f(x) = x – [x], где [x] – целая часть числа х.  
1) Доказать, что функция f(х) периодическая, и найти ее период. 
2) Найти наименьший положительный период функции f(2х +3). 
 
4.6. Периодическая (Т = 4) функция f(х) на отрезке [–2; 2] задает-
ся формулой f(x) = x
2
 – 2. При каких значениях параметра а уравне-
ние f(ax) = 0 имеет на интервале (–2; 2) ровно четыре решения. 
 

 
107 
IV. 
ПРОГРЕССИИ 
 
1. Арифметическая прогрессия  
 
– A – 
 
1.1.  Найти: 
1)  номер  члена  арифметической  прогрессии,  равного  26,  если 
первый член равен 2, а разность равна 3; 
2)  разность  арифметической  прогрессии,  если  первый  член  ра-
вен –5, а восьмой член равен 16; 
3)  пятый  член  арифметической  прогрессии,  если  первый  член 
равен –6, а разность равна –3; 
4) первый член арифметической прогрессии, если разность рав-
на 3, а десятый член равен 48; 
5) третий член арифметической прогрессии равен –11, разность 
равна 7. Найти девятый член прогрессии; 
6)  четвертый  член  арифметической  прогрессии  равен  17,  раз-
ность равна 2. Найти сумму первых десяти членов прогрессии. 
 
1.2.  Найти  первые  шесть  членов  арифметической  прогрессии, 
если: 
1) a
1
 = 2 и d = 1; 
2) a
2
 = 4 и d = –2; 
3) a
3
 = –1 и d =
2
1
; 
4) a
4
 = –1 и d = –2. 
 
1.3. Найти: 
1) девятнадцатый член арифметической прогрессии, если извест-
но, что ее девятый член равен –24, а разность прогрессии равна –3; 
2)  номер  члена  арифметической  прогрессии,  равного  26,  если 
десятый член арифметической прогрессии равен 20, а разность 3; 
3) сумму пятого и девятого членов арифметической прогрессии, 
если седьмой член равен 12; 
4)  разность  тринадцатого  и  девятого  членов  арифметической 
прогрессии, если разность равна 4. 
 

 
108
1.4. Между числами –5 и 7 вставили три числа, которые с дан-
ными числами образуют арифметическую прогрессию. Определить 
разность этой прогрессии. 
 
1.5. Определить, сколько чисел вставили между числами 5 и 35, 
если вставленные числа образуют с данными числами арифметиче-
скую прогрессию с разностью 6. 
 
1.6.  Если  между  двумя  числами  вставить  четыре  числа,  то  они 
образуют  с  данными  числами  арифметическую  прогрессию  с  раз-
ностью 6. Определить эти числа, если их сумма равна 42. 
 
1.7.  Между  числом  4  и  неизвестным  числом  вставили  6  чисел, 
при этом все числа образуют арифметическую прогрессию с разно-
стью 10. Найти неизвестное число. 
 
1.8. В амфитеатре расположено 10 рядов, причем в каждом сле-
дующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем 
ряду 280 мест. Сколько человек вмещает кинотеатр? 
 
1.9. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. В первый час 
он проехал 8 км, а в каждый следующий час на 1 км больше, чем в 
предыдущий.  Сколько  часов  он  был  в  пути,  если  расстояние  АВ 
равно 38 км? 
 
1.10.  Определить  глубину  колодца,  если  за  его  рытье  уплачено 
238  тыс.  руб.,  причем  за  каждый  метр  глубины  платили  на  2  тыс. 
руб.  больше,  чем  за  предыдущий,  а  за  работу  на  последнем  метре 
заплатили 30 тыс. руб. 
 
1.11.  Турист,  поднимаясь  в  гору,  в  первый  час  достиг  высоты 
800  м,  а  каждый  следующий  час  поднимался  на  высоту  на  25  м 
меньшую, чем предыдущая. За сколько часов он достигнет высоты 
5700 м? 
 
1.12. Найти сумму: 
1) 75 членов последовательности с общим членом а
п 
= 3п – 19; 
2) 40 членов последовательности с общим членом а
п
 = 5п + 7; 
3) 22 членов последовательности с общим членом а
п
 = 2(п+2); 
4) 21 членов последовательности с общим членом а
п
 = –п/2 + 2. 

 
109
1.13. Найти формулу общего члена арифметической прогрессии 
вида a
n 
= f(n), для которой: 
1) a
1
 = 5, а
2
 = –5; 
2) а
3
 = 4, a
5
 = 8; 
3) а
4
 = 10, 
4) a
10
 = 12,  а
20
 = 22. 
 
1.14. Найти наибольшее число d, при котором следующие числа 
могут быть членами арифметической прогрессии с разностью d: 
1) 2, 21 и 59; 
2) 7, 15 и 31; 
3) 4, 41 и 45; 
4) 5, 17 и 45? 
 
1.15.  Сумма  восемнадцатого  и  сорокового  членов  арифметиче-
ской  прогрессии  равна  0.  Найти  двадцать  девятый  член  этой  про-
грессии. 
 
1.16.  Сумма  первого  и  одиннадцатого  членов  арифметической 
прогрессии равна 22. Найти шестой член этой прогрессии. 
 
1.17.Сумма  десятого  и  шестнадцатого  членов  арифметической 
прогрессии равна -8. Найти тринадцатый член этой прогрессии. 
 
1.18.  Сумма  второго  и  десятого  членов  арифметической  про-
грессии равна 34/21. Найти шестой член этой прогрессии. 
 
– В – 
 
1.19.  Сумма  третьего,  седьмого,  восемнадцатого  и  тридцать 
второго  членов  арифметической  прогрессии  равна  84.  Найти  сем-
надцатый член прогрессии. 
 
1.20.  Первый  член  арифметической  прогрессии  равен  а,  по-
следний  член  b,  а  разность  d.  Найти  номер  последнего  члена  про-
грессии. 
1) а = 7, b = 112, d = 3;  
2) а = –5, b = 83, d = 4;  
3) а = 113, b = 878, d = 5; 
1) а = 325, b = –233, d = –6.  
 
 
1.21. Найти сумму: 
1) всех двузначных четных чисел; 
2) всех двузначных нечетных чисел; 
3) всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в ос-
татке 3; 

 
110
4) всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в ос-
татке 1. 
 
1.22. Найти сумму: 
1) всех трехзначных нечетных чисел; 
2)  всех  трехзначных  чисел,  которые  при  делении  на  11  дают  в 
остатке 9; 
3)  всех  трехзначных  чисел,  которые  при  делении  на  7  дают  в 
остатке 5; 
4)  всех  трехзначных  чисел,  которые  при  делении  на  13  дают  в 
остатке 11. 
 
1.23. Решить уравнения: 
1) 1 + 7 + 13 +... + х = 280; 
2) (х + 1) + (х + 4) + (х + 7) +...+ (х + 28) = 155; 
3) (х – 1)/х + (х – 2)/х + (х – 3)/х +...+
х
х
х
))
1
(
(


= 3, где х – целое 
положительное число; 
4) (1 + x) + (1 + 2x) +...+ (1 + 10x) = 175. 
 
1.24.  Найти  первый  член  возрастающей  арифметической  про-
грессии, если: 
1) сумма  ее первого и четвертого членов равна  16,  а произве-
дение второго и третьего членов равно 60; 
2) сумма второго и четвертого членов равна 20, а произведение 
первого и пятого членов равна 36; 
3)  сумма  второго  и  шестого  членов  равна  28,  а  произведение 
первого и седьмого членов равно 52; 
4) сумма   первого   и   пятого   членов   арифметической   про-
грессии равна 20, а произведение второго и четвертого равно 64. 
 
1.25.  Сумма  шестого  и  девятого  членов  арифметической  про-
грессии равна 20, а их произведение равно 64. Найти десятый член 
этой прогрессии, если ее первый член отрицателен. 
 
1.26.  Сумма  второго  и  пятого  членов  возрастающей  арифмети-
ческой  прогрессии  равна  16,  а  их  произведение  равно  55.  Найти 
третий член этой прогрессии. 
 

 
111 
1.27.  Разность  четвертого  и  первого  членов  убывающей  ариф-
метической  прогрессии  равна  -12,  а  их  произведение  равно  160. 
Найти шестой член этой прогрессии. 
 
1.28.  Найти  возрастающую  арифметическую  прогрессию  (т.е. 
найти а
1
 и d), у которой: 
1) сумма первых трех членов равна 27, а сумма квадратов этих 
же трех членов равна 275; 
2) сумма первых трех членов равна 18, а сумма квадратов этих 
же трех членов равна 116; 
3)  сумма  первых  трех  членов  равна  0,  а  сумма  квадратов  этих 
же трех членов равна 98; 
4)  сумма  первых  трех  членов  равна  6,  а  сумма  квадратов  этих 
же трех членов равна 16,5. 
 
1.29.  Найти  арифметическую  прогрессию  (т.е.  найти  а
1
  и  d),  у 
которой: 
1)  сумма  второго,  третьего  и  четвертого  членов  арифметиче-
ской прогрессии равна 15, а их произведение равно 105; 
2)  сумма  первого,  второго  и  третьего  членов  арифметической 
прогрессии равна 3, а их произведение равно –15; 
3) сумма третьего, четвертого и пятого членов арифметической 
прогрессии равна –24, а их произведение равно –480; 
4)  сумма  второго,  третьего  и  четвертого  членов  арифметиче-
ской прогрессии равна 12, а их произведение равно 48. 
 
1.30. Образуют ли арифметическую  прогрессию   положитель-
ные корни   уравнения, расположенные в порядке возрастания: 
1) sinx = 0; 
2) sinx = 
;
2
1
 
3) tgx = 
;
2
1
 
4) cosx = 0. 
 
1.31.  Найти  первый  член  и  разность  арифметической  прогрес-
сии, если: 
1) сумма седьмого  и  второго членов арифметической  прогрес-
сии  равна  35,  а разность квадратов этих членов равна 525; 
2) сумма девятого и третьего членов арифметической  прогрес-
сии  равна 30,  а разность квадратов этих членов равна 360; 

 
112
3)  сумма  седьмого  и  четвертого  членов  арифметической  про-
грессии равна (–38), а разность квадратов этих членов равна 456; 
4)  сумма  одиннадцатого  и  пятого  членов  арифметической  про-
грессии равна 15, а разность квадратов этих членов равна 135. 
 
1.32. Найти разность арифметической прогрессии, у которой: 
1)  сумма  первых  одиннадцати  членов  прогрессии  равна  242,  а 
сумма первых пяти членов равна 65; 
2)  сумма  первых  десяти  членов  прогрессии  равна 190, а  сумма 
первых двух членов равна 6; 
3)  сумма  первых  семи  прогрессии  равна  21,  а  сумма  первых 
трех членов равна –9; 
4)  сумма  первых  двенадцати  членов  прогрессии  равна  270,  а 
сумма первых четырех членов равна 10. 
 
1.33. Найти сумму: 
1)  первых  двадцати  членов  арифметической  прогрессии,  если 
сумма  второго,  пятого,  седьмого  и  двадцать восьмого  членов  этой 
прогрессии равна 79; 
2)  первых  тридцати  членов  арифметической  прогрессии,  если 
сумма  четвертого,  пятого,  восьмого  и  одиннадцатого  членов  этой 
прогрессии равна 120; 
3)  первых  шести    членов  арифметической    прогрессии,    если  
сумма  первого, второго, пятого и шестого членов этой прогрессии 
равна –4. 
 
1.34.  Сумма  второго  и  шестнадцатого  членов  возрастающей 
арифметической  прогрессии  равна  52, а произведение  этих  членов 
равно 235. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии. 
 
1.35.  Сумма  второго  и  двенадцатого  членов  возрастающей 
арифметической  прогрессии  равна  8,  а  произведение  этих  членов 
равно 9,75. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии. 
 
1.36.  От  деления  шестнадцатого  члена  арифметической  про-
грессии  на  пятый  в  частном  получается  3,  а  от  деления  двадцать 
первого  члена  на  шестой  в  частном  получается  3  и  12  в  остатке. 
Найти сумму первых трех членов прогрессии. 
 

 
113 
1.37.  От  деления  пятого  члена  арифметической  прогрессии  на 
второй в частном получается 2 и 2 в остатке, а от деления одинна-
дцатого  члена  на  седьмой  в  частном  получается  1  и  12  в  остатке. 
Найти сумму первых четырех членов прогрессии. 
 
1.38.  От  деления  восьмого  члена  арифметической  прогрессии 
на третий в частном получается 3, а от деления семнадцатого члена 
на  девятый  в  частном  получается  1  и  16  в  остатке.  Найти  сумму 
первых четырех членов прогрессии. 
 
1.39.  Найти  первый  член  и  разность  арифметической  прогрес-
сии, для которой: 
1) произведение третьего и шестого членов равно 406, а при де-
лении  девятого  члена  прогрессии  на  ее  четвертый  член  в  частном 
получается 2, а в остатке 6; 
2) произведение 2-го и 5-го членов равно 27, а при делении 7-го 
члена прогрессии на ее третий член в частном получается 2, а в ос-
татке 3; 
3) произведение третьего и девятого членов равно 55, а при де-
лении двенадцатого члена прогрессии на ее четвертый член в част-
ном получается 2,ав остатке 2. 
 
1.40. Найти: 
1)  20-й  член  возрастающей  арифметической  прогрессии,  если 
а
2
а
5
 = 52, а
2
 + а
3
 + а
4
 + а
5
 = 34; 
2)  12-й  член  возрастающей  арифметической  прогрессии,  если 
а
1
а
6
 = 24, a
1
 + а
3
 + a
5
 + а
6
 = 30; 
3)  15-й  член  возрастающей  арифметической  прогрессии,  если 
a
1
a
5
 = 12, a
1
 + а
2
 + а
4
 + а
5
 = 16. 
 
1.41.  Внутренние  углы  многоугольника  составляют  арифмети-
ческую  прогрессию,  разность  которой  равна  5  градусам.  Наимень-
ший угол 120 градусов. Сколько сторон имеет многоугольник? 
 
1.42.  Внутренние  углы  десятиугольника  составляют  арифмети-
ческую  прогрессию,  разность  которой  равна  10  градусам.  Опреде-
лите наименьший угол многоугольника. 
 
1.43.  Внутренние  углы  девятиугольника  составляют  арифмети-
ческую  прогрессию.  Наименьший  угол  100  градусов.  Определите 
разность этой прогрессии. 

 
114
1.44.  Сколько  сторон  имеет  многоугольник,  внутренние  углы 
которого  составляют  арифметическую  прогрессию,  разность  кото-
рой равна 20 градусам, а наибольший угол равен 234 градуса? 
 
1.45.  Крайние  члены  арифметической  прогрессии,  имеющей  7 
членов,  равны  11  и  35.  Сколько  членов  в  другой  арифметической 
прогрессии, крайние члены которой 38 и 13, если четвертые члены 
обеих прогрессий одинаковы? 
 
1.46. Первый и пятый члены арифметической прогрессии равны 
соответственно  7  и  –5.  У  второй  арифметической  прогрессии  пер-
вый член равен 0, а последний член равен 
2
7
. Найти сумму членов 
второй  прогрессии,  если  известно,  что  третьи  члены  обеих  про-
грессий равны между собой. 
 
1.47.  Крайние  члены  арифметической  прогрессии,  имеющей  8 
членов,  равны  –2  и  19.  Сколько  членов  в  другой  арифметической 
прогрессии, крайние члены которой 6 и 16, если пятые члены обеих 
прогрессий одинаковы? 
 
1.48. При каких х числа, взятые в указанном порядке, являются 
тремя последовательными членами арифметической прогрессии: 
1) 2, х – 2, 4х –16; 
2) 
,
11

x
 
,
5
2 
x
  
;
19
3 
x
 
3) |2х – 3|, 3х – 13, |12 – х|; 
4) 2х – 1, 3х – 2, 3х; 
5) 2|x – 2|,  |x – 5|,  6x + 36; 
6) 4|0,5x – 3|,  –3|x|,  –12x; 
7) 
x
x
2
3
2

,   x,   1; 
8) 
10

x
,   3,  
2

x
; 
9) cos2x,   sin
3
x,   sinx; 
10) sin2x,  2cosx,   4 – 4sinx; 
11) 4
x
,   29
x
,   36
x
; 
12) log
5
(x – 8)
2
,   log
5
(x – 2),   –2. 
  

 
115 
– C – 
 
1.49.  Найти число а, если известно, что корни указанного урав-
нения составляют арифметическую прогрессию: 
1) х
4
– 10х
2
 + a = 0; 
2) 16х
4
 – 40х
2 
+ а = 0; 
3) х
4
 – 40х
2 
+ а = 0; 
4) 9x
4
– 10x
2 
+ a = 0. 
 
1.50.  Найти  десятый  член  некоторой  последовательности  и  до-
казать,  что  эта  последовательность  является  арифметической  про-
грессией,  если  известно,  что  при  любом  п  сумма  первых  п  членов 
этой последовательности выражается формулой: 
1) п
2 
+ 3п; 
2) п
2
 + 2п; 
3) 2п
2
 + 2п. 
 
1.51.  Для  членов  арифметической  прогрессии  а
1
,  а
2
,  а
3
,  ...  из-
вестно, что: 
1) а
4 
+ а
8 
+ а
12 
+ а
16
 = 224,  найти S
10
; 
 
2) a
4
 + a
5
 
+ a
11 
+ a
12 
= 32,  найти S
15
; 
3) а
1
 + а
5 
+ а
13
 + а
17
 = 144,  найти S
17
; 
4) a
2
 + a
5
 + a
9 
+ a
12 
= 168,  найти S
13
. 
 
1.52.  В  арифметической  прогрессии  для  любых  т  и  п    1 
S
m
/S
n

=

m
2
/n
2
. Доказать, что а
т
/а
п 
= (2т –1)/(2п – 1). 
 
1.53.  Числа  а
2
,  b
2
,  с
2
  образуют  арифметическую  прогрессию. 
Доказать, что числа 
c
b 
1
, 
a
c 
1
, 
b
a 
1
 также образуют арифмети-
ческую прогрессию. 
 
1.54.  Последовательность  чисел  1,  8,  22,  43,...  обладает  тем 
свойством, что разности соседних членов (последующего и преды-
дущего) образуют арифметическую прогрессию 7, 14, 21,... . Найти 
номер члена последовательности, равного 35351. 
 
1.55. При каких неотрицательных а все неотрицательные реше-
ния  уравнения  cos((6a  –  3)х)  =  cos((12a  +  5)x),  расположенные  в 
порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию. 
 
1.56.  При  каких  положительных  а  все  неотрицательные  реше-
ния  уравнения  cos((8a  –  3)x)  =  cos((14a  +  5)x),  расположенные  в 
порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
 
 

 
116
2. Геометрическая прогрессия 
 
– А – 
 
2.1.  Написать  формулу  общего  члена  геометрической  прогрес-
сии, в которой: 
1) а
1
 = 5, а
2 
= 10; 
2) а
1
 = 2, а
3 
= 18; 
3) а
1
 = 3, а
4 
= 
8
3
; 
4) а
1
 = 
4
1
, а
3 
= 1; 
5) а
1
 = 2, а
2 
=
2
1
; 
6) a
1
 = 3, а
4
=
3
1
; 
7) а
3 
= а
5 
= –1; 
8) a
4 
= –54, a
5
= 162. 
 
2.2.  Написать  формулу  общего  члена  геометрической  прогрес-
сии, в которой: 
1) a
1
 = sin, a
2
 = sin2; 
2) a
1
 = tg, a
2 
= 1/2tg; 
3) a
1
 = tg, a
2
=1; 
4) a
i
 = 1, a
4
 = 8. 
 
2.3. Найти: 
1)  шестой  член  геометрической  прогрессии,  у  которой  первый 
член равен 5, а знаменатель равен  
2
1

; 
2)  четвертый  член  геометрической  прогрессии,  у  которой  пер-
вый член равен 7, а знаменатель равен 2; 
3)  третий  член  геометрической  прогрессии,  у  которой  первый 
член равен 6, а знаменатель равен 3; 
4)  пятый  член  геометрической  прогрессии,  у  которой  первый 
член равен 3, а знаменатель равен 0,1. 
2.4.  Третий  член  геометрической  прогрессии  равен  1,  шестой 
равен  
8
1
. Найти девятый член прогрессии. 
 
2.5.  Пятый  член  геометрической  прогрессии  равен  8,  седьмой 
равен 16 . Найти третий член прогрессии. 
 
2.6.  Первый  член  геометрической    прогрессии  равен  5,  шестой   
равен   25.   Найти одиннадцатый член прогрессии. 
 

 
117 
2.7.  Четвертый  член  геометрической  прогрессии  равен  1,  седь-
мой равен 
47
1
. Найти первый член прогрессии. 
 
2.8. Четвертый член геометрической прогрессии равен 3. Найти 
произведение первых семи членов этой прогрессии. 
 
2.9.  Третий  член  геометрической  прогрессии  равен  5.  Найти 
произведение первых пяти членов этой прогрессии. 
 
2.10.  Шестой  член  геометрической  прогрессии  равен  9.  Найти 
произведение первых одиннадцати членов этой прогрессии. 
 
2.11.  Пятый  член  геометрической  прогрессии  равен  3.  Найти 
произведение первых девяти членов этой прогрессии. 
 
2.12. Найти суммы: 
1) 1 + 2 + 2
2 
+...+ 2
10
; 
 
2) 
10
3
2
2
1
...
2
1
2
1
2
1






















; 
3) 
10
3
2
3
1
...
3
1
3
1
3
1






















; 
4) 1 – 2 + 2
2 
– 2
3 
+...+ 2
12
. 
 
2.13.  Найти  сумму  первых  трех  членов  прогрессии,  для  кото-
рой: 
1)  второй  член  геометрической  прогрессии  с  положительным 
знаменателем равен 10, а сумма третьего и четвертого членов про-
грессии равна 60; 
2)  третий  член  геометрической  прогрессии  с  положительным 
знаменателем  равен  3,  а  сумма  четвертого  и  пятого  членов  про-
грессии равна 36; 
3)  второй  член  геометрической  прогрессии  с  отрицательным 
знаменателем равен 20, а сумма третьего и четвертого членов про-
грессии равна 40; 
4)  второй  член  геометрической  прогрессии  с  отрицательным 
знаменателем  равен  6,  а  сумма  третьего  и  четвертого  членов 
прогрессии равна 36. 

 
118
2.14. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии: 
1) 
,...
4
1
  
,
2
1
  
,
1
; 
2) 
,...
9
1
  
,
3
1
 ,
1
  
,
3


; 
3) 
...
27
8
  
,
9
4
  
,
3
2
  
,
1
; 
4) 
,...
16
1
  
,
4
1
  
,
1
,
4


 
 
– В – 
 
2.15.  Найти  геометрическую  прогрессию  (т.е.  найти  ее  первый 
член и знаменатель), у которой: 
1)  сумма  первых  трех  членов  равна  26,  а  сумма  квадратов  тех 
же членов равна 364; 
2)  сумма  первых  трех  членов  равна  21,  а  сумма  квадратов  тех 
же членов равна 189; 
3)  сумма  первых  трех  членов  равна  14,  а  сумма  квадратов  тех 
же членов равна 84; 
4)  сумма  первых  трех  членов  равна  13,  а  сумма  квадратов  тех 
же членов равна 91. 
 
2.16. Определить бесконечно убывающую геометрическую про-
грессию,  знаменатель  которой  равен  отношению  суммы  квадратов 
ее членов к сумме членов, а сумма кубов ее членов, поделенная на 
первый член, так относится к сумме квадратов ее членов, как 6:7. 
 
2.17.  Сумма  бесконечно  убывающей  геометрической  прогрес-
сии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 
7
64
. Найти первый член 
и знаменатель этой прогрессии. 
 
2.18. Найти сумму первых семи членов бесконечно убывающей 
геометрической  прогрессии,  про  которую  известно,  что  ее  второй 
член равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме чле-
нов равно 
3
16
. 
 

 
119 
2.19. Определить сумму квадратов бесконечно убывающей гео-
метрической  прогрессии,  второй  член  которой  равен  1,  а  сумма  ее 
членов равна 4. 
 
2.20. Найти   сумму   первых   пяти   членов   бесконечно   убы-
вающей   геометрической прогрессии, если сумма членов этой про-
грессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна 
13
108
. 
 
2.21.  Найти  сумму  первых  шести  членов  бесконечно  убываю-
щей  геометрической  прогрессии,  если  сумма  членов  этой  прогрес-
сии равна 2, а сумма кубов ее членов равна  
7
8
. 
 
2.22. Найти сумму первых четырех членов геометрической про-
грессии, если: 
1)  разность  между  четвертым  и  первым  членами  равна  78,  а 
сумма первых трех членов прогрессии равна 39; 
2)  разность  между  четвертым  и  первым  членами  равна  126,  а 
сумма первых трех членов прогрессии равна 42; 
3)  разность  между  четвертым  и  первым  членами  равна  35,  а 
сумма первых трех членов прогрессии равна 35. 
 
2.23.  Найти  сумму  четырех  членов  прогрессии  возрастающей 
геометрической прогрессии с положительными членами, если: 
1)  произведение  второго  и  четвертого  членов  равно  36,  а  их 
среднее арифметическое равно 10; 
2)  произведение  второго  и  четвертого  членов  равно  81,  а  их 
среднее арифметическое равно 15; 
3) произведение второго и четвертого членов равно 4, а их сред-
нее арифметическое равно 2,5. 
 
2.24  Найти  шестой  член  возрастающей  геометрической  про-
грессии с положительными членами, если: 
1)  четвертый  член  на  3  больше  ее  второго  члена,  а  сумма  пер-
вых четырех членов прогрессии равна 5; 
2)  четвертый  член  на  6  больше  ее  второго  члена,  а  сумма  пер-
вых четырех членов прогрессии равна 15; 

 
120
3) четвертый член на 18 больше ее второго члена, а сумма пер-
вых четырех членов прогрессии равна 45. 
 
2.25.  При  каких  значениях  х  указанные  числа  являются  после-
довательными членами геометрической прогрессии: 
1) х – 1, 2х – 1, 3х + 3;  
2) х + 1, х + 3, 5х + 3; 
3) х – 1, х + 3, 6х;  
4) х + 3, 2х + 7, 7 – х. 
 
2.26.  При  каких  значениях  х  указанные  числа  являются  после-
довательными членами геометрической прогрессии: 
1) sin(x),  
2
1
, cos(x); 
2) sin(x), cos(x),  
;
2
3
 
3) cos(x), sin(x), –
;
2
3
 
4) 

4
5
cos(x), 2sin(x), 4. 
2.27.  При  каких  значениях  х  указанные  числа  являются  после-
довательными членами геометрической прогрессии: 
1)  32
х
, 
1
2
6

х
,  3
5х
; 
 
2) 3
12х–8
,  
4
2
6

х
,  16
3х–2
; 
3) 
,
)
5
(
4
3
5
cos
3
3








x
 
,
5
1
4
3
cos














x
 
;
5
4
cos








x
          
4) 
.
,
,
4
3
x
x
x
 
 
2.28.  При  каких  значениях  х  указанные  числа  являются  после-
довательными членами геометрической прогрессии: 
1)  2 – х,   
,
2
3
x

 |6 – 5x|; 
2)  4 – х,   
,
4
2 
x
 |2x – 8|; 
3)  х,   
,
3

x
 |1 – x|; 
4) 1 + х,   
,
1
7 
x
 |1 – 3x|. 
 
2.29.  Найти  три  числа,  образующих  геометрическую  прогрес-
сию, если: 
1) их сумма равна 28. Если к этим числам прибавить соответст-
венно 1, 4 и 3, то получим три числа, образующих арифметическую 
прогрессию (в том же порядке); 
2) их сумма равна 26. Если к этим числам прибавить соответст-
венно 2, 6 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую 
прогрессию (в том же порядке); 

 
121 
3) их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-
венно 3, 7 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую 
прогрессию (в том же порядке); 
4) их сумма равна 21. Если к этим числам прибавить соответст-
венно 1, 3 и 2, то получим три числа, образующих арифметическую 
прогрессию (в том же порядке). 
 
2.30. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-
сию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 0, 3 и 
15,  то  получим  три  числа,  образующих  геометрическую  прогрес-
сию (в том же порядке). Найти исходные числа. 
 
2.31. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-
сию, равна 33. Если к этим числам прибавить соответственно 1, –1 
и  2,  то  получим  три  числа,  образующих  геометрическую  прогрес-
сию (в том же порядке). Найти исходные числа. 
 
2.32.  Первый  член  арифметической  прогрессии  и  первый  член 
геометрической прогрессии равны 3. Второй член арифметической 
прогрессии  больше  второго  члена  геометрической  на  6;  третьи 
члены прогрессии одинаковы. Найти эти прогрессии. 
 
2.33.  Найти  арифметическую  и  геометрическую  прогрессии, 
если известно, что первый член каждой прогрессии равен 2, третьи 
члены  обеих  прогрессий  равны  между  собой,  а  11-й  член  арифме-
тической прогрессии равен 5-му члену геометрической. 
 
– С – 
 
2.34.  Доказать  следующее  утверждение:  для  того,  чтобы  три 
числа х, у и z в указанном порядке составляли геометрическую про-
грессию,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  выполнялось  равенство 
(x
2
 + y
2
)(y
2 
+ z
2
) = (xy + yz)
2
. 
 
2.35. Три  числа, из  которых  третье  равно  12,  образуют  геомет-
рическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то  три числа будут 
составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа. 
 

 
122
2.36. Три  числа, из  которых  третье  равно  16,  образуют  геомет-
рическую прогрессию. Если вместо 16 взять 12, то три числа будут 
составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа. 
 
2.37. Три  числа, из  которых  третье  равно  20,  образуют  геомет-
рическую прогрессию. Если вместо 20 взять 15, то три числа будут 
составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа. 
 
2.38. Найти трехзначное число по следующим условиям: 
– его цифры образуют арифметическую прогрессию; 
–  если  к  нему  прибавить  396,  то  получится  число,  записанное 
теми же цифрами, но в обратном порядке; 
–  если  первую  цифру  искомого  числа  уменьшить  на  1,  вторую 
также уменьшить на 1, а третью увеличить на 3, то получится гео-
метрическая прогрессия. 
 
2.39.  Найти  две  прогрессии  –  арифметическую  и  геометриче-
скую, удовлетворяющие следующим условиям: 
– первые члены этих прогрессий равны; 
– сумма первых двух членов арифметической прогрессии боль-
ше  суммы  первых  двух  членов  геометрической  прогрессии  на 
утроенный первый член; 
– суммы первых трех членов обеих прогрессий равны. 
 
2.40. Доказать равенство  
12 + 22
2 
+ 32
3 
+ 42
4 
+ 52
5
+...+ п

2
п
 = (п – 1)

2
п+1
 + 2. 
 
2.41. Найти сумму 1 + 23 + 37 +...+ п(2
п
 – 1). 

 
123 
ОТВЕТЫ 
 
 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: