Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные

 
85 
9) 









;
12
,
2
log
log
2
y
x
x
y
y
x
 
10) 








.
5
,
0
)
(
log
,
2
log
1
log
log
25
3
3
3
y
x
y
x
 
 
– В – 
 
4.2. Решить системы уравнений. 
1) 










;
11
3
2
,
3
log
2
1
3
log
2
2
y
x
y
x
  
2) 








;
272
,
2
log
2
2
y
x
x
y
 
 
3) 








;
1
5
,
128
4
3
2
3
y
x
y
x
 
4) 







;
0
49
4
,
0
16
7
y
y
x
x
 
 
5) 






;
27
,
5
,
2
log
log
xy
y
x
x
y
 
6) 







;
15
,
2
lg
lg
y
x
y
x
 
 
7) 










;
4
2
log
,
4
log
4
2
2
2
y
y
x
x
 
8) 










.
4
2
;
2
2
2
2
x
y
y
x
y
x
 
 
– С – 
 
Решить системы уравнений. 
 
4.3. 1) 









;
1
|
4
|
,
0
2
2
y
x
y
x
 
2) 











.
1
)
4
(
log
,
1
2
3
x
y
x
y
 
 
4.4.  1) 
















;
8
)
1
(
|
|
2
|
1
|
3
;
3
5
2
4
9
log
|
8
2
|
5
2
y
y
y
y
x
x
 
2) 
















.
6
)
2
(
|
1
|
|
3
|
;
2
7
2
6
4
log
|
28
3
|
7
2
y
y
y
y
x
x
 

 
86
4.5. 1)
















);
5
(
ctg
ctg
,
25
)
4
(
log
64
log
2
3
5
5
1
log
5
1
4
5
3
4
y
x
x
x
x
y
x
x
 
       2) 


























 


.
3
8
tg
4
ctg
,
3
6
log
2
27
6
log
4
2
6
log
2
6
3
9
y
x
х
x
x
y
x
 
 
4.6.  Решить    систему    уравнений 











).
2
(
log
)
(
log
),
(
log
)
(
log
2
2
2
4
x
x
y
xy
xy
x
y
x
y
y
x
 
В ответе записать величину х + у. 
 
 
5. Уравнения и неравенства 
с параметрами 
 
– В – 
 
Решить уравнения при каждом значении параметра. 
 
5.1. 1) (2
х
 + 2а – 1)(а + 1 – 2
х
) = 0; 
2) (2
–х
 + 3с + 4)(5 – с – 2
–х
) = 0; 
3) (3 + 2а – 3
х
)(3
х
 – 3а + 4) = 0. 
 
5.2. 1) 16
–х
 – 4b 4
–x
 = 7b + 6; 
2) alg
2
(x
2
 + 10) + lg(x
2
 + 10) + 8a + 1 = 0; 
3) 
;
0
1
15
5
25
1
1
2
2







a
a
x
x
 
4) 
;
0
3
4
9
|
2
|
|
2
|








a
x
x
 
5) 4
sinx
 – a – 3 = (a + 2)2
sinx
; 
6)
.
3
)
6
2
(
4
9
1
4
cos
cos
x
x
c
c













 

 
87 
5.3.  Найти  все  значения  параметров,  при  которых  уравнения 
имеют хотя бы одно решение. 
1) (а – 3)4
х
 – 86
х 
+ (а + 3)9
х
 = 0; 
2) (а + 1)(а + 2)2
4х
 – (16а + 32)
2
2
х
= 0; 
3) (а
2
 – 4)3
–2х
 + (а
2
 – 3а + 2)
2
3
х
= 0. 
 
5.4.  Найти  все  значения  параметров,  при  которых  уравнения 
имеют единственное решение. 
1) 
;
0
)
1
2
)(
1
(
3
)
2
(
9
27
2
3











c
c
c
x
x
 
2) (х + а)(log
2
(x – 1) + 1) = 0; 
3) 
.
0
8
3
)
16
(
9
2
2







a
a
a
x
x
 
 
5.5.    Найти  все  значения  параметра  р,  при  которых  уравнение 
0
1
log
)
3
(
log
2
2
2




x
p
x
p
 имеет решение на полуоси х > 1. 
 
5.6. Решить уравнения при каждом значении параметра. 
   1) 
;
0
4
3
3
6
3
2





x
x
x
a
 
2) 
;
1
4
10
2
1
2
7
2
1
2
3
2








x
x
x
x
x
a
 
3) 
;
3
3
2
9
2
1
3
7
3
3
3
5
3









x
x
x
x
x
x
b
 
4) 
.
0
6
5
4
2
2
4
2
2







x
x
a
a
x
x
 
 
5.7.  Для  любого  допустимого  х  найти  у,  удовлетворяющий 
уравнению. 
1) 
;
0
log
2
log
3
2
2
2
2
2



y
y
x
x
   
2) 
;
1
))
2
2
(
(
log
2
|
|


 y
y
x
x
 
3) 
;
3
10
log
log


x
y
y
x
 
 
4) 
;
0
)
(
log
)
(
log




y
x
y
x
y
x
 
5) 
.
0
log
log














x
y
y
x
y
x
 

 
88
Решить уравнения при каждом значении параметра. 
5.8. 1) 
;
0
3
)
2
)
5
(
(log
3





x
a
a
x
x
 
2) 
;
0
3
2
)
2
)
15
(
(log
3





x
b
b
x
x
 
3) 
;
0
)
2
)
1
lg(
)
1
(
(lg
3
2






a
x
x
x
 
4) 
.
0
3
)
8
6
log
6
)
6
(
(log
3
2
3







c
x
x
x
 
 
5.9. 1) 
);
3
|
(|
log
)
5
(
log
25
,
0
4





x
a
x
 
2) 
|);
|
3
(
log
2
)
6
(
log
9
3
x
b
x




 
3) 
);
4
(
log
)
4
(
log
2



x
d
x
d
d
 
4) 
;
|)
5
6
|
31
(
log
2
3
c
x
x




 
5)
.
|
5
7
4
49
|
a
x
x




 
 
5.10.  Найти  наименьшее  значение  р,  при  котором  уравнение  
log
3
(х
2
 + pх + 3) = 2 имеет решение на отрезке [1; 3]. 
 
5.11. Найти значения параметра р, при которых расстояние ме-
жду  решениями  уравнения 
0
)
2
(
log
log
2
log
2
2
2
2





p
p
p
p
x
x
 
больше 3. 
5.12.  Изобразить на плоскости  множество  точек  А  (х;  у),  коор-
динаты которых удовлетворяют уравнениям. 
1) 
);
(
log
)
2
4
(
log
2
2
2
y
x
y
y
x
xy
x



 
2) 
);
1
(
log
|)
|
2
)
1
((
log
2
2
y
y
x
xy
xy




 
3) 
);
7
(
log
)
6
(
log
2
7
7







y
y
x
x
y
x
y
 
4) 
).
5
(
6
log
)
5
(
log
2
2
|
|
y
x
x
y
y
x
xy
y
x
y
x





 
5.13. Решить неравенства при каждом значении параметра а. 

 
89 
1) 
;
2
2
)
6
(
3





a
a
x
 
2) 
.
4
)
3
2
(
)
5
(
2






x
a
a
 
 
5.14. Решить неравенства при каждом значении параметра. 
1) 
;
0
4
)
(
lg
2



x
a
x
x
 
2) 
;
0
)
2
(
log
)
6
5
(
3
2






x
a
x
x
x
 
3) 
;
0
2
)
(
log
)
1
(
2
3




x
a
x
x
 
4) 
;
0
)
(
log
4
3
/
1
2



a
x
x
x
 
5) 
.
0
)
2
(
log
)
3
)(
2
(
2
3




b
x
x
x
 
 
5.15.  Найти  значения  параметра,  при  которых  неравенства  вы-
полняются при всех х  ℝ. 
1) 
;
0
1
4
7
3
)
1
(
9







a
a
a
x
x
 
2) 
;
0
1
5
)
3
5
(
5








c
c
c
x
x
 
3) 
;
0
1
4
2
)
1
(
2
log
2
2
2
6
3














x
a
x
a
a
 
4) 
;
1
)
1
(
2
5
4
2
)
5
4
(
log
2
2
16
4
9















x
a
x
x
a
a
 
5) 
;
1
)
3
(
log
2
2
1




x
b
b
 
6) 
.
1
)
6
|
|
2
(
log
)
1
(
2
1



x
a
a
 
 
5.16.  Изобразить на плоскости  множество  точек  А  (х;  у),  коор-
динаты  которых  удовлетворяют  неравенствам.  В  ответе  указать 
площадь полученной области. 
1) 
);
2
(
log
)
(
log
|
|
|
|
2
2
|
|
|
|
x
y
x
y
x
y
x




 
2) 
.
log
log
|
3
|
log
2
1
y
x
y
x
y
x
xy





 
 
5.17. Найти значение параметра р, при котором число х = 1 яв-
ляется решением уравнения 

 
90
.
)
5
(
log
)
4
(
log
)
2
(
log
3
2
5
2
2
4
4








xp
x
p
x
p
x
p
x
p
xp
 
В ответе записать наименьшее целое значение р. 
 
5.18. Найти значение параметра р, при котором число х = 2 яв-
ляется решением неравенства 
)
7
8
(
log
)
3
(
log
2
3
|
|
2
p
x
x
px
p
p





. 
В ответе записать наименьшее целое значение р. 
 
5.19. Найти значение у, при которых неравенство 
0
27
log
4
log
2
2
2




y
x
y
x
y
 
выполняется  при  всех  х  >  0.  В  ответе  записать  наименьшее  воз-
можное значение у. 
 
5.20.  Совокупность  точек  А  (х;  у),  координаты  которых  удов-
летворяют  системе  неравенств 











,
),
3
(
log
)
2
(
log
),
3
2
(
log
log
3
3
2
2
p
x
y
y
x
y
x
x
  образу-
ют  область  на  плоскости.  Найти  площадь  этой  области  в  зависи-
мости от р. 
 
5.21. Числа х и у  удовлетворяют неравенству х
2
 + у
2
  1. Найти 
наибольшее  возможное  при  этом  значение  выражения  f(x,y)  = 
=log
2
|x

+y|. 
 
5.22. Числа х и у  удовлетворяют неравенству х + у  18. Найти 
наибольшее  возможное  при  этом  значение  выражения  f(x,y)  = 
=log
3
x

+ log
3
y. 
 
5.23.  Найти  значение  параметра,  при  котором  неравенство  вы-
полняется для всех х  ℝ. 
1) log
3
(x
2
 + 1) +
);
2
2
(
log
6
log
2
3
/
1
3
b
x
bx




 
2) 1+ log
5
3 –
).
3
4
3
(
log
)
1
(
log
2
5
2
5
/
1
c
x
cx
x




 
 
5.24. Решить системы уравнений при всех значениях парамет-
ра а. 

 
91 
1) 















;
10
7
6
5
7
,
7
5
5
6
y
x
y
x
d
 
2) 
























.
1
cos
2
2
1
,
cos
11
2
1
6
y
c
y
x
x
 

жүктеу/скачать 1,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: