§ 3. Ц ИЛ И Н Д РИ ЧЕС КИ Е ТТ С Ф ЕРИ Ч ЕС КИ Е КООРДИНАТЫ

В 
задачах 3552— 3558 
вычислить интегралы с 
помощью перехода
к цилиндрическим или к сферическим 
координатам.
1
V I—л-з 
а
2 
V
2.V — ^
я
3552. 5 (ІХ 
5 
dy $ dz. ^ 3553. \ dx 
$ 
dy J г \r xF^\- 'у
1
 dz.
0 
- y i~ v 2 
и 
О
О
О
R
Y R -
- Л--1 
Y R
s
-
x
* — ) *
3554. 5 dx 
5 
dy 
jj 
(x- -j- y~) dz.
-R 
-ҮІ^пгТ* 
0
1 
V \
- л - 
У I — -V- - V-' 
___________________________
u3555. 5 dx jj 
^
] 
Y x
1
-\-yl -\-z-dz.
0 
0 
0
3556. 
-y°')dxdydz, где область О определяется неравенст­
вами z ^ O , г  ^ х* -\-у* -{- z°“ ^ Rr.
\] 3557. 
[ [ [ — — (lX dy dz.. .... , где 2 — шар 
* 2 -}-/ 
z9 ^ 1.
^ 
J 3 J Кл-Ч-У' + ( г - 2)*
й
3558. 
[ [ [ —у= = dy 
, где 
2 — цилиндр 
х3-|-/2=^1,
Ух~-+у- + ( г -
2
Г-’
2
— l-^cz - ^  1.
§ 4. Применение двойных и тройных интегралов
О б ъ е м т е л а. I
В задачах 3559— 3596 найти двойным интегрированием объемы тел, 
ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач пара­
метры считаются положительными).
3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 и у = 4 и парабо­
лоидом вращения z = х*-\-у*-\- 1.
3560. Плоскостями координат, плоскостями х = а, у = Ъ и эллипти­
ческим параболоидом z —
V 
V 
Z
3661. Плоскостью ~  -J- у -|- — = I и координатными плоскостями
(пирамида).
3562. Плоскостями у —  0, z =  0, Зх-\-у =  6, 
Зх-\-2у= \2 
и
х-\-у -|- z =
6
.
3563. Параболоидом вращения z = x 'i -\- у 2, координатными плоско­
стями и плоскостью х-\-у —  1.
3564. Параболоидом вращения z = x--\-y- и плоскостями z = 0, 
у =  1, у =
2
х  и у  = 6 — А*.
3565. Цилиндрами у = У х , у = 2 У х  и плоскостями z =  U 
и
л* -|-Z —  6.
224 
ГЛ. X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3566. Координатными плоскостями, плоскостью 
2х-\-Зу
— 12 =
0
и 
цилиндром г =
у*j
2
.
3567. Цилиндром 
2
= 9 —
у~,
координатными плоскостями и плоско­
стью 
Ъх
-J- 4
у =
12
(у ^
0).
3568. Цилиндром 
z
= 4 — х 2, координатными плоскостями и плоско­
стью 
2х -\-у
= 4 (х ^ 0).
>
К
V 
Z
3569. Цилиндром 
2у- = х,
плоскостями 
—
и 
z =
0.
3570. Круглым цилиндром радиуса г, осыо которого служит ось
х I У
(
ординат, координатными плоскостями и плоскостью 
у ~г ^
— Г
3571. Эллиптическим 
цилиндром 
— - |~ у г=
1
> плоскостями 
2
=
= 12 — З х — 4
у
и 
2
=
1
.
3572. Цилиндрами х
2
у*
=
Ri
и 
x--\-zi = R*.
3573. Цилиндрами 
2
= 4 — 
у\
—
и плоскостью 
2
= 0.
к
:5
3574. Цилиндрами х 2 -{- 
у*
= /?3, 
z
= — и плоскостью 
2
= 0 ( х ^ - 0 ) .
3575. Гиперболическим параболоидом 
z
= х - —
у
1
и плоскостями
2 
= 0, х = 3.
3576. Гиперболическим параболоидом 
z = xy,
цилиндром 
у = \ гх 
и плоскостями 
х-\-у =
2
, у =
0
и 
2
=
0
.
3577. Параболоидом 
z
= х
2
-J- 
у 1,
цилиндром 
у
= х
3
и плоскостями
У
= 1 И 2 = 0.
X*
2
“ 
fj
3578. Эллиптическим цилиндром ^
1
и плоскостями 
у = ~ х,
у =
0
и 
2
=
0
( х ^
0
).
3579. Параболоидом 
2
=
а
~~ 
х
~ 4'V 
и плоскостью 
2
= 0.
3580. Цилиндрами 
у = ех, х = е
~х, 
2
= у-
и плоскостью 
2
= 0.
3581. Цилиндрами 
у =
In х и 
у
= In2х и плоскостями 
2 = 0
и 
У
~{—
z 
——
1 
•
3582*. Цилиндрами 
2
= In 
х
и 
2
= In ^ и плоскостями 
2
= 0 и х -j- 
у
=
=
2
< ? ( х ^
1
).
( V 
1
V
)3
3583. Цилиндрами 
у
= х -)- sin х, 
= х — sin х и 
2
=
^ 
■
(пара­
болический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х —
у==
0
,
2 
= 0) 
И 
ПЛОСКОСТЬЮ 
2 = 0 (0 
х
тс, 
у
^ 0).
3584. Конической 
поверхностью 
zl = xy
(рис. 
66
), 
цилиндром 
х -}- 
у
=
1
и плоскостью 
2
=
0
.
3585. Конической поверхностью 4_у- = х ( 2 —
2
) (параболический ко­
нус, рис. 67) и плоскостями 
2
= 0 и х
-|-2
= 2.
3586. Поверхностью 
2
= c o s x * c o s j ' и плоскостями х = 0, у = 0,
2 
=
0
и 
х 
у =
тс/
2
.
3587. Цилиндром х
2
у*
= 4, плоскостями 
2
= 0 и 
z
= х -|-
у
-{- 10.
3588. Цилиндром х
2
-j- Уг = 2х, плоскостями 2 х —
z
= 0 и 4 х — 
2
= 0.
8 
Г. Н. Берман
§ 4. П РИ М ЕН ЕН И Е ДВОЙНЫХ 
И 
ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 
225

3589.
Цилиндром 
x2-j
- y - = R \
параболоидом 
R z = 2Rr
+
х
2
-J- 
У* 
и плоскостью 
z
—
0
.
л*2 4- у3
3590. Цилиндром 
х--\-у- = 2ах,
параболоидом 
z —
—
ү -
и плос­
костью 
z = 0.
3591. Сферой 
ха--\-у~ -\-z~ = a
1
и цилиндром 
х*-\-у* = ах.
(Задача 
Внвиани.)
3592. Гиперболическим параболоидом 
z — ^-,
цилиндром х
4
- |- У г =
= ах
и плоскостью 
z
=
0
(х
^
0
, 
у
^
0
).
3593. 
Цилиндрами 
х
2
- |-
у*
= х
и 
х
2
- j -
у
1
 =
2
х , параболоидом 
z 
= х
2
-|- 
у
'1 
и плоскостями 
х-\-у =
0
, х
— _у =
0
и 
z = 0.
226 
гл. 
X II. МНОГОМ ЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 66.
Рис. 67.
3594. Цилиндрами 
х
2
- |-
у- = 2х, 
х~
-{-
у
1
=
2у
и 
плоскостями
z = x-j-
2
y
и 
z =
0
.
3595. Конической поверхностью 
z° = xy
и цилиндром (х
2
—
(—
== 
=
2ху (х
^ О, 
у ^ О , z ^
0
).
3596. Геликоидом («винтовая лестница») 
z = h
arctg 
, цилиндром 
x a -j
-y~ = Rr
и плоскостями х = 0 и z = 0 (х ^ 0, 
у
^
0
).
П л о щ а д ь п л о с к о 
(1
ф и г у р ы
В задачах 
3597 
— 
3608 
найти двойным интегрированием площади 
указанных областей.
3597. Области, ограниченной прямыми х =
0, 
у = 0) х - \- у=
1.
3598. Области, ограниченной прямыми 
у = х, у =
ох, х = 1 .
3599. Области, ограниченной эллипсом
3600. Области, заключенной между параболой 
у-
= — х и прямой 
Ь

3601. Области, 
ограниченной параболами 
у = У х , у =
2
 У х
и пря­
мой х = 4.
3602*. Области, ограниченной линией 
( х * у - ) * = 2ах*.
3603. Области, 
ограниченной линией 
{ х * у * ) г— х*-\-ух.
3604. Области, 
ограниченной линией 
(х°-\-у
~)'2
 = 2а?
(х
3
—
у 9)
(лем­
ниската Бернулли).
3605. Области, ограниченной линией 
х л-\-у
3
 = 2ху,
лежащей в пер­
вом квадранте (петля).
3606. Области, ограниченной линией 
(х-\-у)ъ = ху,
лежащей в первом 
квадранте (петля).
3607. Области, ограниченной линией (х
-|-y f
= х
2
У3, лежащей в нер­
вом квадранте (петля).
3608*. Области, ограниченной линией
О ё + £
М
:
2)

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: