Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ 4321. / " + 2 / ' 4 - / 4 - 2 < г 2л* = 0; у \Х а 0 = 2, У |.v = 0 = 1 » y'U- 0 =l. 4322. / " —/ = 3 ( 2 — * 2); ^ = 0= У U - o = y ' U - o = 1. 4323. Решить уравнение Эйлера х 3 / " х у ' — _у = 0. § 5. Системы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравн ен и й (корни характеристического урав нения г 1 = 1 , г,2 = 2, г 3 = 5). (корни характеристического урав нения Гі = 2 , г 2 . з = 3 ± : /). 276 ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я У 'ху 4330. 4332. 4334. У ~ 2 ' 2xz X- — у- — z~ 4 ^ _ й + 3 х dt dt 1 Sin t, dx dt 4331. 4333. z = y '(z — y f, y = z '(z — y)\ X, -J- у = COS t. dt- I dt ' x ~ d t ' dt- dy_ dt* d-x d F = y - e l, 4335. dx dy dz z — y y — x В задачах 4 3 3 6 — 4339 найти частные решения систем дифференциаль ных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям. d y _ у - - y z 4336. 4337. 4338 4339 4340. Найти пару линий, обладающих следующими свойствами: а) каса тельные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси ординат; б) нормали, проведенные в точках с одинаковыми абсцис сами, пересекаются на оси абсцисс; в) одна из линий проходит через точку ( 1 , 1 ), д р у гая — через точку ( 1 , 2 ). 4341. Даны две линии: у ~ t (х), проходящая через точку (0. I) „V и у = ^ f(t)clt, проходящая через точку ^О, V Касательные, про § 5. СИСТЕМЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Х УРАВНЕНИИ 277 веденные к обеим линиям в точках с одинаковыми абсциссами, пересе каются на осп абсцисс. Найти линию у = / (х ). 4342. Найти линию в пространстве, проходящую через точку (0, 1 , 1 ) и обладающую следующими свойствами: а) след касательной на пло скости Оху при перемещении точки касания вдоль линии описывает биссектрису угла между положительными направлениями осей Ох и О у, б) расстояние этого следа от начала координат равно координате точки касания. 4343. Два шарика, масса каждого из которых /п, соединены очень легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растягивающей силе). Длина нерастянутой пружины /0. Пружина растянута до длины 1и а затем в момент t — 0 оба шарика, расположенные вертикально одни над дру гим, начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). Через время 7' длина нити сокращается до /«. Найти закон движения каждого из шариков. 4344. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду. В трубке находятся два шарика с массами 300 и 200 г, соединенные невесомой упругой нера стянутой пружиной длиной 10 см, причем более тяжелый шарик дальше от оси вращения. Сила в 0,24 я растягивает пружину на 1 см, а центр тяжести системы шариков удален от осп вращения на 10 см. Шарики удерживаются в указанном положении некоторым механизмом. В момент, который считаем началом отсчета времени, действие механизма прекра щается, и шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого шарика относительно трубки. (Трением пренебрегаем.) 4345. Скорость роста культуры микроорганизмов пропорциональна их количеству и количеству питательных веществ (коэффициент пропор циональности равен к). Скорость убывания питательных веществ про порциональна наличному количеству микроорганизмов (коэффициент про порциональности равен к\). В начале опыта в сосу и имелось Ло микро организмов и В 0 питательных веществ. Найти зав. снмость количества А микроорганизмов и количества В питательных веществ от времени ( А > 0 , А , > 0 ). 4346*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, про порциональной их наличному количеству (коэффициент пропорциональ ности равен а), по в то же время вырабатывают яд, истребляющий их со скоростью, пропорциональной количеству яда и количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен Ь). Далее, допустим, что ско рость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий (коэффициент пропорциональности равен с). Число бактерий сначала возрастает до некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стре мясь к нулю. П оказать, что для любого момента t число N бактерий дается формулой 11 ! 4ДІ 278 ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я где М — наибольшее число бактерия и время t измеряется от того момента, когда N = M , k — некоторая постоянная. 4347. Два цилиндра, основания которых лежат в одной плоскости, соединенные внизу капиллярной трубкой, наполнены жидкостью до раз ной высоты (Н\ и Н 2). Через трубку в единицу времени протекает объем жидкости, пропорциональный разности высот, т. е. равный — h o ) , где а — коэффициент пропорциональности. Найти закон изменения высоты жидкости в сосудах над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосу дов и So. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|