Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е УРАВНЕНИЯ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е УРАВНЕНИЯ Ш иое сопротивление которой 2 ом. В ванне в литре воды растворено 10 г хлористого водорода. Кислота разлагается током, при этом меняется концентрация раствора (ср. с предыдущей задачей, где коли чество растворенного вещества не менялось, а менялся объем раствори теля). Напряжение на клеммах цепи 20 в , электрохимический эквива лент к хлористого водорода равен 0,000381 г/кулон, начальный ток Ю а. Найтн зависимость (в форме степенного ряда) между количеством соляной кислоты в растворе и временем. § 4. Линейные уравнения 4227. Функции х 3 и л '1 удовлетворяют некоторому однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение. 4228. То же для функций еК и х 1 ех. 4229. Функции х, х\ ех образуют фундаментальную систему реше ний линейного однородного уравнения третьего порядка. Составить эго уравнение. 4230. Функции х2 и Xя образуют фундаментальную систему реше ний линейного однородного уравнения второго порядка. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у |* = і = I, / U « 1 = 0 . 4231. Функции cos 2х и sin2* удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка: а) проверить, что они составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, что другой фундаментальной системой этого уравне ния являются функции 1 и cos 2 *. 4232*. Если уу есть частное решение уравнения у" Л-у'Р (х) + У Q С*) = °> Уз = Суу ^ е “' J Р(л> dx (С — постоянное) тоже является решением. Показать это тремя способами: 1 ) непосредственной проверкой, 2 ) заменой y = y xz, 3) из формулы Остроградского. 4233. Пользуясь формулой задачи 4232, найти общее решение уравнения ( 1 — Xе1) у ” — 2ху' -\- 2 у = 0 , зная его частное решение у х = х. 4234. Решить уравнение У ' — у' -}- у = 0, зная его частное реше- sin х 4235. Уравнение (2 х — х * )/ г-\-(хг — 2 )j,/ 2 ( 1 — л*)_у = 0 имеет решение у = сх. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у |.v и , = 0 , у 'х „ 1 = 1 . 4 236*. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение у " - | - у 'Р (х )— yQ (*) = 0 имело два линейно независимых решения у } и y it удовлетворяющих условию у іу ъ = 1 . 423 7 * . Найти общее решение уравнения (1 — х~) у " — ху’ + 9_у = 0, если его частное решение есть многочлен третьей степени. Б задачах 4238 — 4240 легко подобрать одно частное решение (не считая тривиального >' = 0) для данного уравнения. Найти общие решения этих уравнений. 4238. / ' — tg х - У -|- 2у = 0 . 4239. У — У + - = 0. 4240. у _ - ^ т у + - ^ т = 0. 4241. Найти общее решение уравнения х У " — З х у " + 6 л У — 6 у = 0,! зная частные решения у\ — х и у* — х*. В задачах 4242 — 4244 найти общие решения неоднородных урав нений. 4242. х у " — ху' -j- у — Ах\ 4243. у " - У -]- |74 г У = х - 1 • 4244. (Зх + 2х-) у ” — 0(1 -\-х) у ' -\- Су = 6 . 4245. Уравнение (1 -\- х~) у " -|- 2 ху' — 2 \у — 4л :2 -{- 2 допускает част ное решение у = х-. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям у |д-_j = 0 , у ' |х_ у = 0 . 270 ГЛ. XIV. д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е УРАВН ЕН И Я 4246. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у " — (1 — {— 3 / = 0 , удовлет воряющего начальным условиям.)' = о = — 2 , У | л-= о = 2 . 4247. Найти девять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у " = х~у — у\ удовлетворяю щего начальным условиям j.|.v = 0 = l , УЦ-=о = 0 . 4248. Записать в виде степенного ряда частное решение уравнения у" — ху' -\-у— 1 = 0 ; у |.v. o = 0 , у' |х_о = 0 . 4249. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у " = у - е к. (Ограничиться шестью первыми членами.) 4250. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у"-\-ху' — л - '-у = 0 . (Ограничиться шестью первыми членами.) У р а в н е н и я с п о с т о я н н ы м и к о э (j) ф и ц и е и т а м и Б задачах 4251 — 4261 найти общие решения уравнений 4251 . у " у _ 2 у = 0. 4252. у " — 9^ = 0. 4258. У — 4У = 0. 4254. у ” — 2у' — у = 0. 4255. ЗУ' — 2 у — 8 у = 0. 4256. у"-\-у = 0. 4257. у" + б у -J- 1 Зу = 0. 4258. 4у" — 8 / -j- 5 у = 0. 4259. У — 2у ' -}- j» = 0. 4260. 4 с - ~ — 20 ^ + 2 5 * == 0. 4261. 2у* -\~У - ( - 2 sin2 1 5 °cos2 1 5 ° .у = 0. В задачах 4262 — 4264 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям. 4262. У — 4 у -\- 3 у = 0; у | rV = 0 = 6 , У |.v = 0 = 10. 4263. У -j- 4 у -j- 29 у = 0; ; ' U - o = 0 , У | л- = о = 1 5 . 4264. 4 У -)- 4 у у = 0; у |л- ~ о = 2, у' |л- _ о = 0. 4265. Дано частное решение некоторого линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у 1 = етх. Дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифференциального уравнения, обра щающееся вместе со своей производной в 1 при * = 0 . 4266. Найти интегральную кривую уравнения у" -[- 9 у = 0, прохо дящую через точку М (тс,— 1) и касающуюся в этой точке прямой у \ = Х — тс. 4267. Найти интегральную кривую уравнения у" - \- k y- 0, проходя щую через точку М (*<>, Уо) и касающуюся в этой точке прямой у — _Уо = = а (х — X q ). В задачах 4268 — 4282 составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных. 4268. 2 У ' -|~ У — у — 2ех. 4269. У -{- cry — сх. 4270. У — 7У -f- 6 _у = sin х. 4271. У + 2 у -j- 5у = — у cos 2 *. 4272. у " — б у -\-9у = 2 * 2 — х 3. 4273. у ' _ 2у + 2^ = 2х. 4274. у" -{- 4 у — 5у = 1. 4275. У — ЗУ — )— 2у = = /( * ) , если fix ) равна: 1) 10е~х\ 2) 3e2v; 3) 2 s in * ; 4) 2 * 3 — 30; 5) 2 ) х — с~~х — (— 1; 7) ех (3 — 4х); S) 3 * - |- 5 sin 2*; 9) 2ех — ) s i n * s i n 2 * ; 11 ) s h * . 4276. 2У ' 4 " 5У = / ( * ) , если / ( * ) равна: J) 5 * 2 — 2* •— 1; 2) ех\ 3) 29 c o s* ; 4) cos2*; жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|