Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
ветствующей производной. Тогда grad h = Vm; div_A=V
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
- Бұл бет үшін навигация:
- div rot A; V x (V x A) — rot rot
| ветствующей производной. Тогда grad h = Vm; div_A=V.<4; rot ^4 = V X
A. При помощи оператора Гамильтона можно записывать и дифференциаль ные операции второго порядка: Wu = div grad и\ V X Vw = rot grad «; V (V.4) = grad div A; V(V x A) — div rot A; V x (V x A) — rot rot A. 4426. Доказать, что г • Vr" = nrn, где г — радиус-вектор. 4427. Доказать соотношения: 1) rot grad ti — 0 \ 2) div r o t /1 = 0. 4428. Доказать, что ,. , д-и , д!и - д-и div grad a = W l - 1-^5 + — . (Это выражение называется оператором Лапласа и обычно обозна чается А и. При помощи оператора Гамильтона его можно записать в виде A« = (VV)» = V-;/.) 4429. Доказать, что rot rot А (Р) = grad div /1 (Р) — ДЛ (Р), где Д/1 (Р) = ДЛ vt -j- ДЛуу - р Д А.к. П о т е н ц и а л 4430. Векторное поле образовано постоянным вектором А. Убе диться, что это поле имеет потенциал, и найти его. 4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной рассто янию от точки приложения до начала координат и направленной к началу координат. Показать, что это поле — консервативное, и найти потенциал. 4432. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию точек их приложения от плоскости Оху и направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4433. Силы поля пропорциональны квадрату расстояния точек их приложения от оси аппликат и направлены к началу координат. Будет ли поле консервативным? 4434. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной расстоянию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Показать, что это иоле консервативно, и найти его потенциал. 4435. Векторное поле образовано линейными скоростями точек твердого тела, вращающегося вокруг сиоей оси. Имеет ли это поле потен циал? ГЛ. XVI. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 289 4436. Силы поля задаются так: A ( P ) = f ( r ) - ( т а к называемое центри рованное поле). Показать, что потенциал поля равен Г а(х, у, z) = \ f (r )d r (г = ]Л г 3 + / - -{- г 2). а Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил притяже ния точечной массы и потенциал поля задачи 4431. 4437. Найти работу сил поля A{p)= xyi-\~yzj~\~xzk при переме щении точки массы т по замкнутой линии, состоящей из отрезка пря мой х — j— z = I, у ~ 0, четверти окружности х 2 -f- — j - y - = r 1,^ = 0 и отрезка прямой y - j- z = 1, x = 0 z\ (рис. 78) по направлению, указанному на чер теже. Как изменится величина работы, если дуга В А будет заменена ломаной ВОЛ или отрезком В А ? П о т е н ц и а л с и л ы п р и т я ж е н и я *) 4438. Дан в плоскости ОҢ однородный стер жень А В длины 2 / с линейной плотностью о, рас положенный на осп 0 \, симметрично относительно начала координат (рис. 79). а) Найти потенциал и(х, у ) стержня. б) Показать, что проекции X и У силы притяжения, действующей на точку Р массы т с координатами £ = х, т ]= у , равны 1 Рис. 78. Х — т/го(рл рв У __ __ткЪ (СВ . АС у \РВ + РА а результирующая сила R по величине равна R = ^ ~ - sin ^ (а — |- (3), где к — постоянная тяготения (С — проекция точки Р на ось 0\, а — угол АРС, {3 — угол В PC). 4439. Найти потенциал окружности х 1 у '1 = R'1, : = 0 в точке (R, 0, 2 R), если плотность в каждой точке равна абсолютной величине синуса угла между радиус-вектором точки и осыо абсцисс. 4440. Найти потенциал первого витка однородной (плотность о) винтовой линии х = а cos t, у — a sint, z — bt в начале координат. 4441. Найти потенциал однородного квадрата со стороной а (поверхностная плотность о) в одной из его вершин. *) жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|