Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
Здесь (в задачах 4438 — 4449) везде имеется в виду сила тяжести, дей
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
| Здесь (в задачах 4438 — 4449) везде имеется в виду сила тяжести, дей
ствующая по закону Ньютона. Вместо выражения «потенциал массы», располо женной па (или в) данном геометрическом объекте, для краткости мы говорим «потенциал данного объекта». 10 Г. Н. Берман 290 ГЛ. XVI. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 4442. На плоскости Оху распределена масса с плотностью В, убы вающей с расстоянием р от начала координат по закону 8 = = --- ^ - г< Найти потенциал о точке (0, 0, К). (Рассмотреть три случая: h<^ 1, һ — 1 и Һ > 1.) 444 3 * . Вычислить потенциал однородной боковой поверхности круг лого цилиндра: 1) в центре его основания, 2) в середине его оси (радиус цилиндра R, высота /У, поверхностная плотность о). 4444. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности прямого круглого конуса (радиус основания R , высота Н ) в его вершине. 4445. Дан прямой круглый однородный цилиндр (радиус основания R, высота Н, плотность о). 1) Найти потенциал в центре его основания. 2) Найти потенциал в середине его оси. 4446. Дан прямой круглый однородный конус (радиус основания R, высота Н, плотность о). Найти потенциал конуса в его вершине. 4447. Найти потенциал однородного полушара х " - \ - у * z* ^ R* ( z ^ 0) с плотностью о в точке А (0, 0, а). (Рассмотреть два случая: R п а R.) 4448*. Найти потенциал однородного тела, ограниченного двумя концентрическими сферами с радиусом R и г (R^> г) и плотностью о, в точке, удаленной от центра шара на расстояние а. (Рассмотреть три случая: a ^ R , а ^ г и г а ^ R.) Показать, что если точка находится во внутренней полости тела, то сила притяжения, действующая на эту точку, равна нулю. 4449. Найти потенциал неоднородного сплошного шара + / Ч - z - ^ R в точке А (0, 0, а) (а^> R), если плотность о = Хг2, т. е. пропорциональна квадрату расстояния точки от плоскости Оху. П о т о к и ц и р к у л я ц и я (п л о с к и й с л у ч а й) 4450. Вычислить поток и циркуляцию постоянного вектора А вдоль произвольной замкнутой кривой L. 4451. Вычислить поток и циркуляцию гектора А (Р) — or, где а — посто янный скаляр, а г — радиус-вектор точки Р, вдоль произвольной замкну той кривой L. 4452. Вычислить поток и циркуляцию вектора A { P ) = x i — y j вдоль произвольной замкнутой кривой L. 4453. Вычислить поток и циркуляцию вектора А ( Р ) — (х 3— у ) i -f- Н" (У* ~\~x) j 'вд оль окружности радиуса R с центром в начале координат. 4454. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен н = 1 п г , где г = У х'- у'\ Определить количество жидкости, выте- |