Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

306
ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ I I I
549.
552.
554.
557.
560.
562.
565.
5CS.
569.
570.
573.
577.
579.
582.
585.
589.
592.
594.
595.
546.
— 3 sin 3.v tin {2 cos Зл:). 
548. 
arcsin 
x
- f
Y ~
x-
550. 
2 arCS'n 
*
. 551. arcsin 
л:.
2 (arccos 
x)- Y \ - x * '
V \ -
1 
, , ,
, 
, 
, 
x
 sin 
X
............................................ .. 553. sm 
x
 • arctg 
x
4 - 
x cos x
 • arctg 
x
 
4- -r—
^.
(arcsin 
x)-y 
\ - xa
 
b 
,+ • * *
+ *'* rccos -Y 
555_ 
« g _ i + j 5 _
556_ 
0
" 
’ 
2 Y x
 
1 -K v 2
2-va 
rc„ 
Y\ —
 .v- 4 - 
x
 arcsin 
x 
. 559. 
r 
1
Y
(1 -
x*)»
561.
(
1
 
4
-
x")
(arctg 
x)'~
 
* 
у 2x - xi
V
2
 
‘2
 к 
2
I 
x
 I 
Vx-
- 4 *
567.
i cos 
X V
 
1 4~ 
х' 
Y
1 — 
Xs
 • 
Y
1 
— (arccos 
x)*
(I4--V) 
V
2.v( 1 — 
x ) '
x
 
4-1
8 
"\f
 (arcsin 
Yx-
-(- 
2xУ Y (
 1 — 
2x — x~)
 (л'" 4 - 2л-)
571. 
Ү ? - * ..
 
572. „
'
1 — cos 
a
 cos 
x 
' a
 4 -ic o s .i:' 
2
(
14
- л'£) *
2x
 log, 
x
 +
. 
574. 
. 
575. -
-. 
576. ------
In 3 
x
 
In 10 
2х У Ш
x
 
In 
x
 — 
x
 
-f-1
Л' In 2 X
In 2. 
578. sin 
x
In 
x
 4~ 
x
 cos 
x
 ln 
x
 -f- sin 
x
.
1 
580. ------581.
X  In- X  * 
Д-П
+1
• 
' 
л: (1 4- In лг)* *
1 +
х' ~
2x‘ ,П 'ү 
583. 
xn~' 
(n
 
In 
ЛГ +
1). 
584. 
ln v
л- (1 4 - 
x*)~
 
‘ 
x ү
 j 
4
_ |n-- 
x
*
2 
2 v — 4 
9x
- J- — .
 
586. — ---- j l .
587. ctg.v. 
588. 
.. 
.
1 
— 
2x 
Xя — 4л' 
ь 
(л'- 
— 
1) 
In 
3
5 9 0 . ------------------2 
591. 4 In3 sin .v • ctg 
x.
s'n 2л* 
arccos 
2x Y
1 — 4.va
a
(ax
 4~ 
b)
 [ 1 4 - ln* 
(ax
 4- 
b)]'
____________ 1
___________
x
 log5 
x
 log3 (logb 
лг) 
In 2 In 3 In 5 '
593. 
n
 (1 4~ In sin 
x)n
1 clg 
x
,
x
 
___
ggg 
6л'3 arcsin [In (a3 4~ -^3)]
arctg 
У 1 4- л'“’ (2 + x'2) V I 4" л'2 * 
(a'! H" л'3) V 1 — in~ («3 4-xS)

ГЛ. XVJ. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
291
кающей из замкнутого контура 
L,
окружающего начало координат, 
в единицу времени (ноток) и количество жидкости, протекающей в еди­
ницу времени вдоль этого контура (циркуляция). Как изменится резуль­
тат, если начало координат лежит вне контура?
4455. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен 
и
= ?,
где <р = a r c t g - . Определить поток и циркуляцию вектора вдоль замкну­
того контура 
L.
4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен 
и ( х , у ) = х ( х '
— Зу2). Вычислить количество жидкости, протекающей 
за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало 
координат с точкой (1, 1).
П о т о к и ц и р к у л я ц и я ( п р о с т р а н с т в е н н ы й с л у ч а й )
4457. Доказать, что поток радиус-вектора 
г
через любую замкнутую 
поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поиерх- 
ностыо.
4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность 
круглого цилиндра (радиус основания 
R,
высота 
Н),
если ось цилиндра 
проходит через начало координат.
4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить, чему 
равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра предыдущей 
задачи.
4 4 СО. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность 
круглого конуса, 
основание которого находится на плоскости 
хОу, 
а ось совпадает с осыо 
Oz.
(Высота конуса 1, радиус основания 2.)
44G1. Найти поток вектора 
А
(Р) 
= x yi -\-yzj-\-xzk
через границу 
части шара 
х
1
- |-
у*
-f- 
z~
= 1, заключенной в первом октанте.
4462*. Найти поток вектора 
A ( P ) = y z i - \ - x z j x y k
через боковую 
поверхность пирамиды с вершиной в точке 
S (
0
,
0, 2), основанием кото­
рой служит треугольник с вершинами 0 ( 0 , 0, 0), 
А (2,
0, 0) и 5 ( 0 , 1, 0).
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка 
АВ 
винтовой линии 
х — a cost, y = as\ut, z = bt,
где 
А
и 
В
— точки, 
соответствующие значению параметра 0 и 2тс.
4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью m 
вокруг оси 
Oz.
Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль 
окружности радиуса 
R,
центр которой лежит на оси вращения, а плос­
кость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вра­
щения.
4465*. Вычислить поток вихря поля векторов 
А ( Р ) — y i -\-z j x k  
через поверхность параболоида вращения
- = 2 ( 1 — л " — У ),
отсеченную плоскостью 
z =
0.
10*

О Т В Е Т Ы
К г л а в е I
1. 
Все числа 
п
 
натуральною ряда, 
кроме 
п
= 1 и 
п 
—
2. Если сумма
углов 5 , а число сторон 
п,
 
то 
8 
— т.(п—
 
2).
4. 
а) При лг 
= — 
2, 
х — \,
а ' = С функция обращается в нуль;
б) при -V < — 2, — 2 < .V < 1, л' > 6 функция положительна;
в) при 1 <
л
' < 6 функция отрицательна.
1 
_ 
„ 
а- — 
Ь~
6
. г — 
у = у
• 
7* ^ 
tg а. 
8
. 
b =-У'2Ъ ~ и-.
 
9. 
/ (0) = — 2;
/ (1) = — 0,5; 
/ (2) — 0; 
/ ( - 2 ) = 4; 
/ ^ _ 5; 
/
( V

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: