Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

296
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
82. Высота прямоугольника должна 
быть равна половине 
высоты тре­
угольника.
93. Радиус цилиндра должен быть ранен половине радиуса конуса.
, 
RH
S4. При 
И
> 2
R
 
радиус 
цилиндра должен быть равен 
Щ ң _ -Щ
; ПРН
И
 - s
2R
полная 
поверхность вписанною цилиндра будет тем 
больше, 
чем
больше радиус его основания.
Р
Р
 
4
95. 
. 
96. 
а = ----- у —.
.
 
97. 
— — —,
2 
о _ ) / з
я + 4
98. Сторона должна быть равна 10 
см.
99. Сторона основания и боковые ребра должны иметь по 10 
см.
100. Сторона треугольника должна быть равна ----- — — .
9 - 4 | 3
101. Искомая точка 
J . 
102. Искомая точка 
y y j .
104. л-! « = — 1,1» 
л* «а 2,1; 
2) л'| = — 1, 
х%
 — 
; 3) 
х х
 ^ 0,5, лг2 «=;4,1;
А)
л-j = л'.. = у ; 5) не имеет вещественных корней. 105. л', = —3, л-2 = 8.
При 
графическом решении 
ищется точка 
пересечения 
графика 
функции
у> =
о (х)
и параболы 
у-
 =
Тх
 -f- 25.
106. Если 
Ь-
— 4
ас
 > 0 и 
а 
> 0, то функция определена на всеП числовой
оси, кроме интервала л ,^ а * ^ л '2, где х , и л\.— корни трехчлена. При 
0-
— 4 ас;> 0
и 
а 
< 0 функция определена только при 
хх
 < л < л 8. Если 
Ь~
 — 4 а с < 0 и я > 0 ,
то функция определена на всей числовой оси. Если 
Ь~— ‘\ас
< 0 и а < 0 , то функ­
ция нигде не определена. Наконец, при 
1>'—Аас =
 0 функция будет определена
на всей числовой оси, кроме одноП ее точки: 
х =
 — — , если а > 0, и нигде не
определена, если е < 0 .
107. / (л- + 1) = 2л-г + 5.v + 3.
х
2 —
4—
2 v -4- 
с
108*. 
Пусть —
=
ш,
 
где 
т —
произвольное 
действительное
X
~ 
4л 
оС
число; тогда (/м — 1) 
х-
 -f- 2 (2/и — 1) 
х-\-с
(3/и— 1) = 0. Аргумент 
х
должен быть
действительным числом, следовательно, (2/м — I)5* — 
( т
— 1) (3/мс — с) ^ 0 или
(4 
— Зс) /и* —
J- 4 
(с
— 
]) lit — (с —
1) 
52
= 0; по так как 
т
—
действительное число,
то это неравенство 
в свою очередь справедливо лишь при условии, 
что
j
 4 - Зс > 0,
I 4 (с — l) s -f- (4 — Зс) (с — 1) sgO;
отсюда O ^ c s g l , но по условию 
с ф
 0, следовательно, 0 < с ^ 1.
109. 
pv
 = 1748.
110. Переменная 
х
обратно пропорциональна 
v.
1 1 1 .
Переменная 
х  
прямо пропорциональна 
v.
112. Количество 
выделяющегося 
вещества 
обратно 
пропорционально
объему растворителя.
114. 
1) п р и л ' = 1 , 
у
 = 4 — наибольшее значение;
4
при д: = 5, 
У = ~с
—
наименьшее значение;
О
2) при 
х =
 — 1, 
у
 =
— наибольшее значение;
при 
х
 = 2, 
у —
 — 2 — наименьшее значение;
3) при Л' = 0, 
у
 5= 1 — наибольшее значение:
3
при л — г, 
у
:= — - — наименьшее значение.
О

ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
297
117. 1)
у
 
=
а 
; 
2) 
у 
=
6
)
Х 
-
1 
• 
7 \ 
•>’ =
Л- 
: 
7 »
П) у = '
8
^0 ; 
ю)
13)
5
у —
 
2
 
2
-
х
J
1
-)- arcsin -
15)
у — 
- — ---------
у ; 3) 
у
 =
; 4) 
у =
±
V x
-
1
; 5) .У = ү
;
ілч 
1 
• 
Л '
14) У = у arcsin у ;
16) y > = ± c o s - £ -
{0 ^ x ^ 2 r.).
. 
. „
. 
4
1 
— arcsin —
2
—
119. 
d — — a.
122. ! < л' eg 3; j,» = 1 -(- 2l—A‘\ 
123. 
3
» = arcsin 
V x
— л
*2
— 2.
125. 
x,
s= — 0,5, 
xs —
1, л';і % 54,5.
126*. 1) 
а'і 
1,4, 
остальные корни мнимые; 
xt
— абсцисса точки пере­
сечения графиков кубической и линейной функций: 
у = х3
и 
у
 — — а ;+
4
;
2) 
х, =
 
1, 
лг* 
= —
1, 
х , =
3; 
целесообразно применить замену неремениой
А' = Л'' -j- а 
и выбрать 
а 
так, чтобы коэффициент при 
х '2 
обратился в нуль;
далее, как в и. 
1); 3) 
лг, 
== 
4, 
лг2 
= а% = 1; 
см. указание к п. 
2); 4) лг
1
= — 
1
, 
остальные корни мнимые; см. указание к п. 
2
.
127.
 
1) 
1/165 
. . . ;
2) «=14,26 
см;
 
3) 
почти 
6,8
см.
п
.—
128.
Если 
уі
=
хп, у« = У х,
то
при 
п
 > 1 для 0 < л' < 1 
у , < ул., 
а для 
1 < л' < со у, 
> у а,
>
0
<
п
<
1
> 
> 
у», 
>
уз
> 
> 
> 
у., 
<
J-.,
> — 
1
< я
< 0
 
> 
» 
З’і
<^2
 
> 
> 
> 
J ’i
> 
п
 < — 1 
> 
> 
У і > У і
>
 
> 
> 
y'j <
y s.
133. 
лгх 
— 1, 
x2 = 2.
134,
. Точки пересечения 
(1, 
2); (3, 
8
); ^3, 
y j ; (— 1,5; 
0,3). 
135. 
п
 
= 1 5 .
136. 
Исходя из определения гиперболических функций, можно доказать,
что 
sh ( — А') = — sh 
a
, Hi ( —
х) 
= — th 
a
', ch ( —
а
') = ch 
а
*. 
Периодическими эти
функции не являются.
140. 
З’папм ^ 0,8 
прп 
х
 = 0,4. 
141. 
График функции симметричен отио-
, 
ах
 — 
а~х
ситсльно начала координат, так как функция нечетная, 
у —
-------- —
----- .
143. 1)
А
=
 
1
,
г - t «І
2
) 
А
= 5 ,
7 ' = я;
3) 
А
= 4 ,
Т =
 2;
4 ) Л =
2,
Г = 4 г . :
; 
5 )
A —
i ,
Т =
8
3
’
6
) 
А =
3 ,
Т —
I*?
„
5
1 4 4 .
1)
1 
1
to
к ’
5; 
2)
 
|;
1
4 71 ’
Зя —
2 К ' 3>
 
1
; 
1
; ---- 4 )
1; 
6
.Т-;
1 
# 
1
(то* ’ 
2л'
146.
Область определения (0, 
г.).
Площадь будет наибольшей при 
х
 =
.
147. 
л' 
=
R
sin 
-J- у -j- arccos 
.

298
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
148. у = s in
\j
—
7
- (arcsin 
—
arcsin 
у 0)
+ arcsin 
y0
;
1
 tj 
t0 
\
T =
2
~ (ti —
*n)
arcsin 
у i —
arcsin 
3»0
‘піач
t
j arcsin 
— 
f„
arcsin 
y t 
^1
^0
149. 
x = R (\
— cos с) 
-\- a — \гйг - R-
sin- о, где 
о
 =
2~nt.
151. 
1) 
A', 
= 0, 
А м = ^ ±
1,9; 2) 
x
 
=
0; ±-1,5; ± 7 ,7 2 ; 
далее 
со значи-
(2
n
-{- 1) z 
. 
n 7 .
7
СЛЫІОІІ 
ТОЧНОСТЬЮ 
МОЖНО 
считан. 
Л*»=± ------ Г
5
------
(п
 >• о), 
о) лг=»и,/4,
2
4
) л-! = 0,9, л*» = 2,85, л-, = 5,8; о) корней — бесчисленное множество; 
xt —
 0,
х.,
немного меньше у , Л
'3
немного больше 
и т. д.
152. 
1) 2я; 2) 2я; 3) 24; 4) 2. 
153. 1) 
у
 =
V~2
 sin f л* - f
j
);
2
) 
у = V o
 
2)^3 sin (л- -{- е>0), где
0
 = arcsin 
—
 
1
 
.
V 
5 + 2)^3
155*. 1) Период 
ү .
На интервале [0, 2 -] функция может быть представ­
лена так:
3
>
=
sin 
х
 
+
cos 
Л' 
на интервале
3
» =
sin 
х
— соз 
X *
 
»
у
 = — sin 
Л' 
— 
соз Л' 
* 
»
у

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: