Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
| л* = -^--|-271/7, где
гг — 0, ± 1 , ± 2 , . . . В этих точках у — 0 . График состоит пз отдельных точек оси абсцисс. 3) Функция определена на всеИ числовой оси, кроме точек х — кп, где п — 0 , ±1, ± 2 , ... ,_ 0 0 . a a (/ cos ф + b sin ф ) 158. w = 2 arcsin ^ . 159. агс.ц -^ + ,а + - _*/ 5 | д ■ 160. а = arccos Г1 — —Д L 2 /е (« + / ? - *)J 161. 1 ) - I йСл-йС 1 ; 2) О ^ х ^ ] ; 3) О ^ х ^ 1; 4) - І а С л г ^ О ; 5) 0 < л ' < с о ; б) — со с -V < 0 ; 7 ) 0 ^ л' < оо; 8 ) — о о < л ' ^ 0 ; 9) — со < л' <: 1; 10) 1 < х с со. 1G2. 1) — l s g . v ^ l ; 2) 0 л' ^ 1; 3) — со < л: <; со; 4) определена всюду, кроме х = 0. 163*. Период 2л. График см. на рис. 82. Указание. На интервале — ү л' ^ ~ имеем у = arcsin (sin Л') ~ х по определению функции arcsin х . 7Г 7Z TZ Для получения графика функции на интервале - ^ - ^ л г с с З — полагаем 75 71 z = х — тогда л' = 71 г , ---------- 2 ^ 2 ^ Т * у — arcsin (sin х) = arcsin sin (z -f- т.) = — arcsin (sin z) = —z; у = 7t — X И т. Д. 167. з»нз„б « s 15, «= 5,5; функция переходит от возрастания к убыванию при х = — 2 . Нуль функции: — 3,6. 169. у = 4 (267 - Юл: — л:8) или у = — 0,0312.V- — 0,3125* + 8,344; нули О д_, функции: х , ^ - 22,09, х£^ 12,09. Чтобы получить корни с точностью до 0,01, надо коэффициенты взять с точностью до 0 , 0001 . 170. Л'д=а2,б0 с м , л-j «=7,87 с м . 171. A'j «= — 2,3, л\.;=»3; остальные корни — мнимые. 172*. Выбрать а так, чтобы коэффициент при x'z обратился в нуль; д-, ^ - 3,6, Л'о «= - 2,9, л'д ^ 0,6, Х\ «= 4,8. 173. хх «= 0,59, xs 3,10, х3 6,29, хА «з 9,43; вообще х ;=» т.п. (п > 2). 174. лг, я» — 0,57, y t л= — 1,26; л а ^ — 0,42, у 2 =а= 1,19; х3 ^ 0,16, у 3 ^ 0,7-1, хл «= 0,54, ух =« - 0,68. К г л а в е II 176. lim = л 5 = 4. 177. lim ия = 0; л > - ^ — . 178. « = 1 9 999. п — о о п — с о у г 179. lim t>„ = 0; п ^ 1000. Величина vn бывает то больше своего предела, tl -* 00 то меньше, то равна ему (последнее при л = 2 &-J- 1 , где к — 0, 1 , 2 , ...). 180. lim л„ = 1; л 5= 14; « S ^ lo g 2 — . п — о о с 300 ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ II j /"5 _ 5 t) 181. л у "I/ 1 —-—- , если л = 0 , если е > 0 * 182. л > = —----- ■ — ; последовательность лл убывающая. У е (2 с) 183. lim £>„ = 0 ; г/„ достигает своего предела при л = ш - f - 1 , так как, п СО начиная с этого значения л, vn — 0. 185. 0. 186. 1) Нет. 2) Да. 189. При « = 0 этот предел может равняться любому числу или не сущ ест вовать. ____ _ 2 190. Ь < V 4 + е - 2; 5 < 0,00025. 191. 6 < 2 - V 3. 192. о < . 193. J X — ^ | < -if — arcsin 0,99 ^ 0,13G. 194. — Ь ссли N — 0, если e > 1. 195. —— 3, если N — 0, если e > 4 - . 196. л > -—- . Г e .1 d 2 197. — положительная бесконечно большая величина, если разность прогрессии <7 > 0, и отрицательная, если d с 0. Для геометрической прогрес сии утверждение справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине больше 1 . 1 1 1ПО 3000 _ 3000 1Ж ю* + 2 < Л < 10‘ — 2 ‘ 1001 ^ 'V < 999 * 200. 5 < —= = 0,01. 201. log, 0,99 < jc < logs 1,01. V N 202. ЛІ 5^ Юлг = 10100. 203. sin лг, cos л: и все обратные тригонометри ческие функции. 205. Нет. Да. 206. Нет. 207. 1 ) Например, хп — + Ц-2л~ и Л'л = 2-л; 2) Нет. 209. Если а > 1 , то функция при .v —*-}-оо не ограничена (но не бес конечно большая); при х —<■ — со она стремится к нулю. Если 0 < я < 1 , функ ция при л* — — оо не ограничена (но не бесконечно большая); при л* — -{-оо она стремится к нулю. При а = 1 функция ограничена па всей числовой оси. 210. 1), 3) „ 5 ) - н е т ; 2) „ 4) - д а . 213. 214. N\ т - 215. 1 , , - 1 + ^ ; 2 ) I 1 , . ^ ’ 3) + г ^ . ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ II 301 216*. Сравнить ип с суммой членов геометрической прогрессии — , ? .............g * . 220. 3 .2 2 1 . Да. 222. / (д-) = 9г* при 0 ^ л ' ^ 5 ; f (х) — 4ъ при 5 < л* ^ 10 ; /( ,* ) = * при 1 0 < л ' ^ 1 5 . Функция разрывна при х — о и прп * = 1 0 . 223. а = 1. 224. Л = — 1, В = 1. 225. * = 2; л' = — 2. 226. 2/3. sin X 227. Функция у — ——— имеет в точке л' = 0 устранимый разрыв, cos* ,/• у = ——------разрыв второго рода (бесконечный). 228. Функция разрывна при х = 0. 229. Функция имеет три точки разрыва. Прп х ~ 0 — разрыв устранимый, при * = + 1 — разрыв второю рода (бесконечный). 230. Нет. Если х —<• 0 справа, то / (л*) —■ п/2, если х —«■ 0 слева, то / ( * > - » — г./Л 231. Функция разрывна при л* = 0. 232. 0. 234. Нет. Если х — 1 справа, то у — 1, если л'—* 1 слева, то у —* 0 . 235. Если -V —* 0 справа, то у — 1 , если х —* 0 слева, то у —► — 1. 236. Функция разрывна при А' = 0 (разрыв первою рода). 237. Функция имеет разрывы первого рода в точках х = (2/г - f 1 ). 238. При д- = 0 функция непрерывна, при х-ф 0 функция разрывна. 239. Все три функции разрывны, когда л- равен цело-:- 'положи тельному или отрицательному) или нулю. 241*. Записать многочлен в виде хп ( а0 -j - - 1 -J- . . . -f іт>, \ X j \, с ю повеление при х — ± со. 244*. Построить схематично график функции х - X, исследовав ее поведение в окрестности точек А„ А» и Л;(. 245. 1. 246. 1/2/247. 3. 248. оо. 249. 0. 250. 0. 251. 15/17. 252. 1. 253. 0. 254. 4. 255. 1. 256. 0. 257. 0. 258. 0. 259. 1. 260. 4/3. 261. 1/2. 262. — 1/2. 263. — 1 . 264*. 1 . Заметить, 1 1 265. ~ . 266. 1. 267. 0. 268. 9. 269. 3 (я — 1 ) п и — 1 и ' 2 ........................................................4 * 270. оо. 271. 0. 272. 0. 273. — 2/5. 274. 1/2. 275. 6 . 276. оо. 277. - 1. 278. оо. 279. 0. 280. т/п. 281. 0. 282. оо. 283. 1/2. 284. — 1. 285. 0. 286. 1/4. 287. — 1/2. 288. 100. 289. — 1. 290. 1. 291. оо. 292. 0. 293. 0. 294. оо. 295. 4. 296. 1/4. 297. 3. 298. — !—— если * > 0 ; со, если х = " . 299. 4 - . 300. 4*. 2 V х 3 3 301. ----- у- ------- . 302. — . 303*. К числителю прибавить и отнять 4а у а — b п ~ единицу. 304. — 1/4. 305. Один корень стремится к — cjb, другой — к оо. 306. 0 . 307. 0. 308. 0, если х —«• -f- оо; оо, если .V— — оэ. 309. 1/2, если х —* -j- 0 0 ! — оо, если х —«•— оо. 310. , если л-—<• оо; оо, если х —- — оо. 311, ± 5 /2 . 312. и. 313. 1. 314, 3. 315. к. 316. а[р. 317. 2/5. 302 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ II 318. 0, если я > ш ; 1, если п = т\ со, если п < т . 319. 2/3. 320. 1/3. 321. 1/2. 322. 3/4. 323. оэ. 324. — 1. 325. 1/2. 326. со. 327. 0. 328. 1/2. 329. оо. 330. — 3/2. 331. 1. 332. */2. 333. 2/я. 334. — 335. 336. 2. 337. 338. — 2. р.8 _ л - c i n 03 339. —2 sin а. 340. -— Г) — . 341. cos 3 а. 342. . 343. — sin ce. 344. 2 Sin— 345. 346. 1. 347. 6. 348. 4 * 349. — 1. cos0 а о жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|