Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

4065. Найти условия, при которых уравнение
X
(х, 
у) dx
-j- 
У
(,г, 
у) dу =
0
допускает интегрирующий множитель вида 
M = F(x-\-y).
4066. Найти условия, при которых уравнение
X
(л, 
у) dx-\- Y
(
х
, 
у) dy =
0 
допускает интегрирующий множитель вида /VI =
F ( х
• 
у).
§ I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 
2 G I
Р а з н ы е з а д а ч и
В задачах 4067— 4088 найти общие решения уравнений
4067. 
у' = ах -\-by-\- с.
4068. 
а / -\-by-\- сут
= 0.
4069. 
у = х + у ~-\.
4070. 
у'
=
г
+ ' 7 ~
J  
у — х — 4 
у-
4071. у = = — ^ -
5
. 
4072. У С
у * - х ) = у.
4073. 
=
4074. 
(2_у 
-f- 
ху*) dx
-{- 
(х
+ j r y 2) 
dy =
0.
4075. 
Ы ху
-}- 
х-у
-j- y j
dx
-{- ( х а -j- 
у 1) dy —
0.
4076. У —
х (У + \ )~ х*
4077. 
х dy
-f- 
У dx
-j- 
у- (х dy
— 
у dx) =
0.
4 0 Ж [ т - < З Г = - у р ] + [< т= 5 Г* ~ у ] ^ = °-
4079. 
у = х У гу -j-
у . 
4080. .у sin лг -{- У cos лг = I.
cos л* sin у  -j- tg2 х
4081. 
]/ — y + irc o s x = 0.
 
4 0 8 2 . / =
5ШЛ. . с05у 
-
4083. 
ху’
 cos — =
V cos — — jc.
* 
X 
X
4084. cos 
■
—
-j" 
У
 sin 
У dx
 +
[x
 cos 
~
 —
у
 sin y j
x dy
 =
0
4085. 
\f
= ——-te y. 
4086. 
у
— У cos 
x
=
y-
cos 
x
( I — sin 
x).
J  
cos 
у  
& 
*
д ;2
-|-yt
 
^ 
^ 
a
4087. 2 ;У =
e x
 
-[- 
_
2x.
4083. ( j _y 
ey j dx
I 
x __ 
dy =
0.
4089. 
Найти линию, у которой поднормаль в любой точке гак 
относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки 
к ее абсциссе.

262
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок каса­
тельной в любой ее точке, заключенный между осыо 
Ох
и прямой 
у =  
=
ах 
Ь,
делится точкой касания пополам.
4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от нормали 
в любой ее точке до начала координат к расстоянию от той же нор­
мали до точки (л, 
Ь)
равно постоянному 
к.
4092. Найти линию, для которой расстояние от начала координат 
до касательной в произвольной ее точке равно расстоянию от начала 
координат до нормали в той же точке.
4 093*. Найти линию, обладающую следующим свойством: ордината 
любой ее точки есть средняя пропорциональная между абсциссой и 
суммой абсциссы и поднормали, проведенной к линии в той же точке.
4094. В электрическую цепь с сопротивлением Л> = 3/2 
ом
в тече­
ние двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля до 
120
б
). 
Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число 
генри 
в цепи равно числу, выражающему ток в 
амперах.
Найти зависимость 
тока от времени в течение первых двух минут опыта.
§ 
2
. Уравнения первого порядка (продолжение)
П о л е н а п р а в л е п и й. И з о к л и и ы
4095. Дано дифференциальное уравнение 
у '=
— — . а) 
Построить
поле направлений, устанавливаемое данным уравнением, б) Выяснить 
расположение вектора ноля 
относительно полярного радиуса любой 
точки ноля, в) Выяснить вид интегральных кривых уравнения, исходя 
из поля направлений, г) Найти интегральные кривые, решая данное 
уравнение обычным методом (разделяя переменные), д) Указать семей­
ство изоклин данного уравнения.
4096. Написать дифференциальное уравнение, изоклинами которого 
служат:
1
) равнобочные гиперболы 
х у = а \
2
) параболы 
у- =
2
рх\
3) окружности 
x ‘ -\-y- = R-.
4097. Найти 
изоклины 
дифференциального 
уравнения 
семейства 
парабол 
у = ах~.
Сделать чертеж. Истолковать результат геометрически.
4098. Убедиться, что изоклинами однородного уравнения (и только 
однородного 
уравнения) 
служат прямые, проходящие через начало 
координат.
4099. Указать линейные уравнения, изоклинами которых являются 
прямые.
4100. Пусть 
у и у«, у л
— ординаты трех любых изоклин некоторого 
линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе. Убедиться, что
уя
-- у
отношение —— — сохраняет одно и то же значение, какова бы ни была
З'г 
Ух 
эта абсцисса.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРОДОЛЖ ЕНИЕ)
2G3
П р и б л и ж е н н о е и н т е г р и р о в а н и е 
д и ф ф е р е и ц п а л ь н ы х у р а в н е и и И
-j- V2
4101. Дано уравнение 
у ' =
- —[q ~ ♦ Построить приближенно инте?
тральную кривую, соответствующую интервалу 
проходящую
через точку Ж (
1
, 
1
).
4102. Дано уравнение 
у '= —
р у г - Построить приближенно инте­
гральную кривую, соответствующую интервалу 0,5 
jc ^ 3,5 и про­
ходящую через точку (0,5; 0,5).
4103. Дано уравнение 
у '= ху*-\-х*.
Применяя 
способ Эйлера, 
вычислить 
у
при * =
1
, если 
у
— частное решение, удовлетворяющее 
начальному условию _у|л- 
^0
= 0. Вычислить 
у
с двумя десятичными 
знаками.
4104. Дано уравнение 
у ' = ]/~х -у~
-]- 1. Применяя способ Эйлера, 
вычислить 
у
при 
х =
2
, если 
у
— частное решение, удовлетворяющее 
начальному условию _y[v = t = 0 . Вычислить 
у
с 
двумя десятичными 
знаками.
х
у
4105. Дано: уравнение 
у =
и начальное условие 
_y|A.=
0
= l .
Решить это уравнение точно и найтп значение 
у
при „v = 0,9. Далее, 
найти это значение прп помощи приближенного метода, разбивая интер­
вал [0; 0,9) на 9 частей. Указать относительную погрешность послед­
него результата.
4106. Дано: уравнение 
y r = —
r x y x j " и начальное условие_y|.v = i =
=
0
. Решить уравнение точно и, пользуясь каким-либо из приближен­
ных методов интегрирования уравнений, вычислить значение 
х
при 
у =
1
(сравнить со значением л*, получаемым при точном решении).
4107. У = у
2
-(“ Л',\'-|-Л '2. Найти по методу последовательных при­
ближений второе приближение для решения, удовлетворяющ его началь­
ному условию 
у
|.v==o—
1
.
4108. 
у = х у
3
— 1. Найти прп дг
= 1
значение того решения дан­
ного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию 
у \х
=»
0
=
0
. 
Ограничиться третьим приближением по методу последовательных при­
ближений. Вычисления вести с двумя десятичными знаками.
В задачах 4109 — 4116 найти несколько первых членов разложения 
в степенной ряд решений уравнений прп указанных начальных условиях.
4109. У = У — 
х\ 
у
|д- — о = 1. 
4110. 
у 
= х-у
- — 1; 
у
|ЛГ„ 0
=
1
.
4111. 
у = х г
—
у\
j» U _ o = 0. 
4 1 1 2 ./ =
r U - o = l .
4 П З - 
y = T f x + y <
J ' U
—0
 = 0. 
411
4. У =
e>
 +
xy,
;'Ц -и = 0.
4115. 
у '
= sin 
у
— sin 
x\ у
|.v=0
=
0
.
4116. 
у ' =
1 -j--V
- j-
x
1
—
2y°-;
y . v = i = I.

2G4
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я
О с о б ы е р е ш е н и я . У р а в н е н и я К л е р о и Л а г р а н ж а
В задачах 4117 — 4130 найти общие и особые решения уравнений 
Клеро и уравнений Лагранжа.
В задачах 
4131
—
4133 
найти особые решения уравнений, применяя 
тот же прием, какой используется в случае уравнений Лагранжа и Клеро.
4131. 
у '“ — у у '
+
ех
= 0. 4132. л;-/'- — 2 
(ху
— 2) / -j- / = 0.
4133. у (У —
2х)
= 2 0 ' —
Х-).
4134. Доказать теорему: если линейное дифференциальное уравне­
ние является уравнением Клеро, то семейство его интегральных кривых 
представляет собой пучок прямых.
4135. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой 
линии и осями координат, есть величина постоянная. Найти линию.
4136. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях к о о р ­
динат отрезки, сумма которых равна 
2а.
4137. Найти линию, для которой произведение расстояний любой 
касательной до двух данных точек постоянно.
4138. Найти лпшио, для которой площадь прямоугольника, имеющего 
сторонами касательную и нормаль в любой точке, равна площади прямо­
угольника со сторонами, равными по длине абсциссе и ординате этой точки.
4139. Найти линию, для которой сумма нормали и поднормали про­
порциональна абсциссе.
4140*. Найти линию, для которой отрезок нормали, заключенный 
между координатными осями, имеет постоянную длину 
а.
4141. 
Скорость материальной точки в произвольный момент времени 
отличается от средней скорости (от начала движения до этого момента) 
на величину, 
пропорциональную кинетической энергии точки и обратно 
пропорциональную времени, считая от начала движения. Найти зависи­
мость пути от времени.
О р т о г о н а л ь н ы е и и з о г о н а л ь н ы е т р а е к т о р и и
и э в о л ь в е н т ы
4117. 
у = ху'
-j- У 2. 
4119. 
у = ху'~
| - у .
4118. 
у = ху' — 3угл.
4120. 
у = х / -\-Y
1 - |- у *
4121. 
у = ху
— sin у . 
4123. 
у = у ~(х-[~
1).
4125. 
у — уу'~
-j- 
2
х/. 
4127. у = 1п 
(ху’
—
у).
4124. 
2уу' = х (/--+-
4). 
4126. 
у — х (\
+ У Н - У 3. 
4128. 
у = У (х
- |- l ) - j - У 2.
4122. 
ху'
—
у
= 1п у .
4129. 
у = у 'х
4 - й / 1 — У а .
В задачах 4142 — 4147 найти траектории, ортогональные данным.
4142. Эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 
2а.
4143. Параболам 
у-
= 4 (лг — 
а).