Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ !. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ !. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 255 а) Доказать, что У = У \ -\-С(у .2— У\) является общим решением того же уравнения ( С — константа). б) При каком соотношении между постоянными а и (3 линейная комбинация а уу-\-%уъ будет решением данного уравнения? в) Доказать, что если у 3 — третье частное решение, отличное от У\ и Vo, то отношение ~ — постоянное. Уз -- У1 Л* 8970. Д оказать тождество (см. задачу 2345): \j ezx~z2dz = о Л -V 4dz, составив для функции 1 (х )= \ezx~z~dz дпфферен- о о циальное уравнение и решив его. 3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой касатель ной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. 3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построен ного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная ( = а 2). 3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника, образо ванного осыо абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна ( = а '). 3974. Точка массой, равной т , движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорцио нальности равен ki), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, про порциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен к). Найти зависимость скорости от времени. 3975. Точка массой, равной т , движется прямолинейно; па нее дей ствует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была (коэффициент пропорциональности ранен к). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен /v’i). Найти зависимость скорости от времени. 3976. Начальная температура тела 0„°С равна температуре окруж аю щей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: co(t), где с — по стоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окруж аю щей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры т е л а от времени, отсчитываемого от начала опыта. Решить задачи 3977— 3978, учитывая, что если переменный электри ческий ток 1 — 1 (t) течет по проводнику с коэффициентом индуктивности L и сопротивлением R , то падение напряжения вдоль проводника будет равно L -|- RL 256 ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я 3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает от £0 = 2 в до Е і = 1 в в течение 10 сек. Каков будет ток в конце 2 десятом секунды, если в начале опыта он был 1 6 -^ -а ? Сопротивление катуш ки 0,12 ом, коэффициент индуктивности 0,1 генри. 3978. Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление ее R, коэффициент индуктивности L, начальный ток /0 = 0, электродвижущ ая сила меняется по закону £ , = £ ,0sin Ы. Р а з н ы е з а д а ч и ( У р а в н е н и я с р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и, о д н о р о д н ы е и л и н е й н ы е) В задачах 3979 — 3997 найти общие решения уравнений. 3979. у = -yi!+ g > + 3'- ^ 3 9 8 а x'~dy -f- (3 — 2 ху) dx — 0 . 3981. x ( x e -f- ^)У -\~У = х(1 - f - х 1)\ 3982. у = £ ± J . 3983. У — - 1 + у- жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|