Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 253 3929. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и среды. В задачах 2 710— 2711 мы считали коэффи циент пропорциональности постоянным. При некоторых расчетах считают, что он линейно зависит от времени: /г = Л *0 ( 1 — j— а/). Найти при этом предположении зависимость между температурой тела 0 и временем t, полагая, что при £ = 0 0 = 0 о, а температура окружающей среды 0 Ь 3930*. Скорость роста площади молодого листа виктории-регии, имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на лист. Последнее в свою очередь пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью. Найти зависимость между площадью 5' листа и временем t, если известно, что в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600 см1, а в б часов вечера того же дня 2500 см1. (Пола гать, что наблюдение производилось на экваторе в день равноденствия, когда угол между направлением лучей солнца и вертикалью можно считать равным 90° в 6 часов утра и в б часов вечера и 0° в полдень.) В задачах 3931— 3933 при помощи замены искомой функции при вести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными и решить их. 3931. У = cos (х — у ) (положить и = х — у). 3932. У = З л - — 2 у + 5. 3933. У У 1 -\-х-\-у = х + у — 1. О д н о р о д н ы е у р а в н е н и я В задачах 3934 — 3944 найти общие решения уравнений. 3934. У = К — 2. 3935. у ' — . * X- S X — V 3936. xcly — y d x = y d y . 3937. у' — . 3938. У = у - 1“ • 3939. х / — у = Ух--\-у\ 3940 . у 1 + х - у = х у у . 3941 . у = е х - 3942. х У — у 1и ^ . 3943. (3 у- -j- Зху -j- х~) dx = (х 1 -\- 2 ху) dy. В задачах 3945 — 3948 найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям. 3945. (хУ — у) arctg — = х; >>|x = 1 = 0. 3946. (у- — Зл*) dy -j- ‘2ху dx = 0; у j х = 0 = 1 . 3947. 3948‘ + 2 х ^ ~ У = 0; У U- = o = T ^ 5 . 3949. Привести уравнение У = у -} -с р ( y j к квадратуре. Какова должна быть функция 'P ^ y j» чтобы общим решением данного ураине- X НИ Я было V = :—г-^—Г ? 1 п | Са' | 3950. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания. 3951. Найти линию, у которой начальная ордината любой касатель ной равна соответствующей поднормали. 3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее точки М равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке AI с осыо Оу и началом координат. 3 9 5 3 :;:. Какой поверхностью вращения является зеркало прожектора, если лучи света, исходящие из точечного источника, отразившись, на правляются параллельным пучком? Л и н е й н ы е у р а в н е н и я В задачах 3954— 3964 найти общие решения уравнений. 3954. У - |- 2 у = Ах. 3955. у ' -}- 2 ху = хе~ х\ 3956. У - ( - Ц т ^ ; , = 1. 3957. (1 И - х ° ) у — 2ху = (\ - j - х-)\ 3958. У -(- у = cos х. 3959. У ау = етх. 3969. 2 у dx -j- (у ~ — Gx) dy = 0 . 3961. у = 5. 3962. у '= — -----^---------. J 2х —у 2у\пу-\-у — х 3963. х ( у ' — у ) = (\ - f х°) ех. 3964. У + У ^ Ч -х О — Ф (х) Ф' (х) = 0 , где Ф (х) — заданная функция. В задачах 3965— 3968 найти частные решения уравнений, удовлетво ряющие указанным начальным условиям. 3965. У — у tg x = sec л:; ^ | л. = 0 — 0. 3966. х У -j~y — ех = 0; у \ х=а = 1>. 3967. х У — - ^ - j = x; у \ х = 1 = 0. 3968. t(l+ t* )d x = z (x - {- x P — t*)dt; x \t = i = — ^ . 3969. Пусть уу и _уа — два различных решения уравнения У + P (x )* y = Q(x). 254 ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ |