Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

§ f УРАВН ЕН И Я ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
257
4001. ( 1 4
-е*)уУ = еУ; 
у
U = o = = 0 .
4002. 
У
=
Зх*у
—
j—
х^
4* 
X'} У
|.v = o == 1.
4003. Доказать, что только прямые 
у
=
kx
п гиперболы 
ху = т  
обладают следующим свойством: длина полярного радиуса любой их 
точки равна длине касательной, проведенной в этой точке.
4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорциональна квад­
рату ординаты. Коэффициент пропорциональности равен 
к.
4005. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью 
ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания н ог начала 
координат.
4006. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс в точке 
х =
I и обладающей таким свойством: длина поднормали в каждой точке 
линии равна среднему арифметическому координат этой точки.
4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями 
координат, ординатой произвольной точки и касательной в этой точке, 
равна половине квадрата абсциссы.
4008. Найти линию, для которой площадь, заключенная между осыо 
абсцисс, линией и двумя ординатами, одна из которых постоянная, а 
другая — переменная, равна отношению куба переменной ординаты к пе­
ременной абсциссе.
4009. Найти линию, для которой площадь фигуры, ограниченной 
осыо абсцисс, двумя ординатами и дугой 
MAY
этой линии, пропорцио­
нальна дуге 
MAY
прп любом выборе точек 
А\
и 
AY.
4010. Найти линию, для которой абсцисса центра тяжести криволи­
нейной трапеции, образованной осями координат, прямой 
х = а
и линией,
была бы равна у при любом 
а.
4011*. Найти линию, все касательные к которой проходят через 
данную точку (лгп, _)'„).
4012. Найти линию, проходящую через начало координат, все нормали 
к которой проходят через данную точку (лг0, 
уо).
4013. Какая линия обладает следующим свойством: угол, составля­
емый с осыо 
Ох
касательной к линии в любой ее точке, вдвое больше 
угла,
который составляет с той же осыо полярный радиус точки ьасачия.
4014. На тело массы 
т =
I действует сила, пропорциональная времени 
(коэффициент пропорциональности равен 
к\).
Кроме того, тело испыты­
вает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффи­
циент пропорциональности равен 
к.2).
Найти закон движения тела (зави­
симость пути от времени).
4015. Частица падает в среде, сопротивление которой пропорцио­
нально квадрату скорости частицы. Показать, что уравнение движения
dv 
. о 
,
будет: 
( ~ = g
—
k v ,
где 
к
— постоянная, 
g
— ускорение силы тяжести.
/
^
Проинтегрировать это уравнение и показать, что 
v
стремится к | /
ири 
t 
—> оо.
9 
Г. Н. Берман

258
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
4016. Сила трепня, замедляющая движение диска, вращающегося 
в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения.
1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секун­
ду, через 
1
мин
вращается с угловой скоростью 
2
оборота в секунду. 
Какова будет его угловая скорость через 3 
мин
после начала вращения?
2
) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборотов в 
секунду, через 
2
мин
вращается с угловой скоростью 3 оборота в секунду. 
Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угло­
вой скоростью, равной 
1
обороту в секунду?
4017. Пуля входит в доску толщиной 
Һ
= 0,1 
м
со скоростью 
г'о =
200
м/сек,
а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 
v\
= 80 
м/сек. 
Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна 
квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось 
движение пули через доску.
4018*. Капля воды, имеющая начальную массу УИ
0
г и равномерно 
испаряющаяся со скоростью 
т г/сек,
движется по инерции с начальной 
скоростью г'о 
см/сек.
Сила сопротивления среды пропорциональна ско­
рости движения капли и ее радиусу. В начальный момент (*£ = 0) она 
равна /о 
дин.
Найти зависимость скорости капли от времени.
4019*. Капля воды, имеющая начальную массу уИ
0
г
равномерно 
испаряющаяся со скоростю 
т г/сек,
свободно падает в воздухе. Сила 
сопротивления пропорциональна скорости движения капли (коэффициент 
пропорциональности равен 
к).
Найти зависимость скорости движения капли от времени, протекш его 
с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость 
капли равнялась нулю. Считать, что 
к у± 2т.
4020*. Решить предыдущую задачу для капли сферической формы, 
предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна произве­
дению скорости капли и площади ее поверхности. Плотность жидкости f. 
(Привести к квадратурам.)
4021*. Если в каком-либо процессе одно вещество превращается 
в другое, причем скорость образования продукта пропорциональна налич­
ному количеству превращающегося вещества, то такое явление называют 
процессом (или реакцией) первого порядка.
Некоторое вещество, начальное количество которого /«о. превра­
щается в другое вещество, а пз образовавшегося продукта немедленно 
начинает получаться второй продукт. Оба превращения происходят как 
процессы первого порядка; коэффициенты пропорциональности известны: 
ку
— в первом процессе и /с2— во втором.
Какое количество второго продукта образуется через 
t
единиц вре­
мени после начала процесса.
4022. 
В резервуаре, объем которого 100 
л,
находится рассол, содер­
жащий 10 
кг
растворенной соли. В резервуар втекает вода со скоростью
3 
л /мин,
а смесь с такой же скоростью перекачивается во второй резе­
рвуар емкостью также 
100
л,
первоначально наполненный чистой водой, 
из которого избыток жидкости выливается. Сколько соли будет содер­

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: