Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 3. Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Е Ф УН КЦИ И
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 3. Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Е Ф УН КЦИ И 33 При каком выборе числа а функция / (х ) будет непрерывной? (Пост роить ее график.) 224. Пусть А * ) 2 sin х, если х ^ . — — - Л б і п х + Д если cos Ху если x ^ f . Подобрать числа А и В так, чтобы функция / (х ) была непрерывной; построить ее график. 225. В каких точках терпят разрывы функции у = --- и у = - ? X - (A' 2)- Построить графики обеих функций. Выяснить разницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва. 226. Функция / (х ) = - а — j- не определена при х = 1 . Каким должно быть значение / ( 1), чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной при х = 1? 227. Какого рода разрывы имеют функции у — — — и у COjX X X при х — 0? Указать характер графиков этих функций в окрестности точки х — 0. I X I 228. Исследовать непрерывность функции, заданной так: у = -L~ при х Ф 0, у = 0 при х = 0. Построить график этой функции. 2 Г, Н, Берман 34 гл. И. П Р Е Д Е Л . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь 229. Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция у = 1 -? Построить ее график. ' ІЯI * I } 230. Функция у — arctg— не определена в точке х — 0. Можно ли так доопределить функцию f ( x ) в точке х = 0, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции. 231. Исследовать непрерывность функции, определенной так: / ( * ) = s i n ~ при х ф О , / ( 0) = 1. Построить график этой функции. 232. Построить график функции f ( x ) — х sin ~ . Какое значение должно иметь / ( 0), чтобы функция f ( x ) была везде непрерывной? 233. Доказать, что функция у — — —~ имеет в точке х = 0 разрыв 1+ 2* первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х = 0. __i_ 234. Исследовать характер разрыва функции у — 2~2' ~ х в точке х = 1 . Можно ли так определить у при лг=1, чтобы функция стала непрерывной при д г= 1? 2 2*— 1 235. Исследовать характер разрыва функции У = —--- в точке 2х+ 1 х — 0. 236. Функция / (х ) определена следующим образом: / ( х ) = +1) = (лг+ 1)2 \1*1 */ при х ф О и f (0) = 0. Доказать, что в интервале — функция f ( x ) принимает все без исключения значения, содержащиеся между / ( — 2) и / ( 2), и что она все же разрывна (в какой точке?). Построить ее график. * 237. Исследовать непрерывность функции у = Выяснить ха рактер ее графика. 238. Функция определена так: если х — рациональное число, то / (х ) = 0; если х — иррациональное число, то f (x) — x. При каком зна чении х эта функция непрерывна? 239. Исследовать непрерывность и построить график функции: 1 ) у = х - [х \ , 2) У = т ^ щ \ 3) j/ = (— 1)М. [Функция [х] равна наибольшему целому числу, не превосходящему х (см. задачу 59).] § 4. Н А Х О Ж Д Е Н И Е П Р Е Д Е Л О В . С Р А В Н Е Н И Е Б Е С К О Н Е Ч Н О М А Л Ы Х 35 240. Используя свойства непрерывных функций, убедиться в том, что уравнение х 5 — З х = 1 имеет по меньшей мере один корень, за ключенный между 1 п 2. 241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по мень шей мере один действительный корень; б) многочлен четной степени имеет по меньшей мере два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту при его старшем члене. 242. Показать, что уравнение дг. 2Г = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1. 243. Показать, что уравнение х — a sin х -f- b, где 0 < ^ я < 4 , Ь^> 0, имеет по меньшей мере один положительный корень и притом не пре восходящий b -j- а. 244*. Показать, что уравнение . % - -j----^ т " 4 " ~~ Ч ~ = 0» где аі^>0, X — Aj X — Ajj х — Лд G-я 0, о3^>0 и Х ,< х 9< х > имеет два действительных корня, заклю ченных в интервалах (Аь Х.2) и (Х.2, һл). жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|