§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых

36 
гл. 
II. П РЕДЕЛ. НЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
262. Нш
л-ч-оо
/4 + 2 + 3 +
-.. 
+ 
Л 
п \
\ 
п +  2 
2 / ’
263. lim /1- 2 + 3 - 4 +г^ 2 / Л
«-«Л
I
2644 я1! ^ ( т 72 + 2Тз + - + ( л - D /г)'
^265. п1^ о( г з + з Т 5 + - + (2л - 1) ( 2л + 1) )*
_1
2п
—
1 
2 Л —
1 
266. lim һглГ\- 
267‘ 15m П ---
n -УСО 
I * 
л-*-оэ —
2п + 1
Ф у н к ц и я н е п р е р ы в н о г о а р г у м е н т а
В задачах 268— 304 найти пределы.
268. Ит £ ± § .
269. и „ ( £ = ^ ± i + l ) .
270. lim т-^— . 
271. lim 
~ 3
’ 
*-/3 A'’ + ^ + 1 •
272. lim х3 
273. lim
1 
л — Л 
„V-* —2
274. lim 
275- lira, ё т а ^ Г -
2
276. Hm ^
 + і Д
, - 
277. lim 
.
278‘ j ™ [* (•* - 2)a — .1» - Зл- + г] •
279. U n [ - ^ ± ^ + -
3
— 1
•si 280. lim ~ — r (//г и n — целые числа).
* _ i * - l
281. lim „ Л ^ Л -г. 
282. lim 
* ~ 5x
х-*оэх' ~ Зх' + 1 ‘ 
* л-оо A'“ - Зл' + 1 ’
non
1- 
Xs — I 
OQ/1 1- 
1-f-X— Зл'3
283. hm 
284. hm 1+Jt>+-g .
285. j t a
_ , ) .
286. Um - ^
j ) .
. nR7 lira Г 3'V> 
<2*-1) ( a * + * + 2)1
^ 287‘ Л “
І.2*+1 
4 *  
J-
ooo 
lim (X  
+
1)J0 
+ (X  
+ 2)*° 
+ ... + (* - +
IPO)10
J- fL
* 10 + 10,0

289. 
lim 
290. lim 
+ 1 -
У ^ + 1
.v-*-foo у 
X я -f- 
X 
— 
X 
х —
*■
 
со 
\ 
X* -f- 1 — У х *  + I
291. 
lim 
t i t
, 
292. lim 
+ ‘А~
У х *± *
х ->
■
-j- 
со 
у A'8 4~ X7 4“ 1 — X 
х -* 
со 
У
ЛГ7 4“ 1
293. ііт
~ 1. 
294. lim ?-L± £ ~ 1 .
дг->0 
л
Л- - . О 
А ‘
295. Ііт
+ ,1.^ - L . 
296. lim 
1 
.
Л--.0 V x >  4 - 1 6 - 4
л- — 5 
* - 5
A 297. lim 
. 
298. lim l ' x + h ~
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕД ЕЛО В. С РАВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 
37
•
-*1 V'x — 1 * 
* A-0 
h
299. lim ^ 1 + f ‘ 
. 300. lim 
K L + * ~ *Vl ~ *
ЛГ-.0 
Л' 
дг-О 
X
о т f
— b — l^a — 6 
,
^
 
, ,
3 0 1 .
l i m
--------------------------------------( a > 6 ) .
A '- * 0
у - _ J
302. lim 
(я и m — целые числа).
ЛГ- l 
дг — 1
303*. lim 
+A'J ~ 
~-2- . 
304. lim 
~
.V -► 0 
* + ■** 
Л--П 
X - \
305. Как изменяются корни квадратного уравнения ах1 -(- Ьх-\~ с-=0, 
когда b \\ с сохраняют постоянные значения (Ь ф  0), а величина а стре­
мится к нулю?
В задачах 306— 378 найти пределы.
306. lim ( ] / .v -j- a — У х ) .  
307. lim ()/ x l -f- I — У х *  — 1).
.V - . C O
X -+
308. lim ( У x* -[- 1 —
A") 
*). 
309. 
lim x {Y x *  -j- 1 — x).
X -* -± _ C O
JC-*- + CO
310. 
lim ( У (x ~}—
a) 
"l- — ^ )1 ^
•V-. + 00
311. 
lim (іЛхг1— 2 x — 1— ]/ x* — I x  -j- 3).
X - +
± c o
312. liin І^У\х -j- 1 f  — V (x — l)13).
X
-+■ CO
3
^313. lim x- ( У  jct3 —
{- 1 — У~x * — l).
.. 
sin 
3x
 
0*_ .. 
tir 
kx
 
01/, „
sin 
ax
314. lim — :— . 
315. lim-»— . 
316. Hm 
ц ■.
x -г 
О 
Л
A- 
— 
0 
X
x
- *
0 S l t l
p x
*)
 
В примерах, где указано 
* —*■ 
± 
оо,
 
следует отдельно рассматривать случаи
X
—>
4 " СО 
и X —*■
— оо.

38
ГЛ. II. ПРЕД ЕЛ. НЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
317. lim 3 —
л. _ О sin 5,v ’
318. lim ,sin^a 2-(/* и tn — целые положительные числа). 
a_*o(sinct>
>
.. 
2 arcsin.с 
ОГ1Л .. 
2,с — arcsin х
319. lim — ^--- . 
320. lim
л--0
Зл* 
* 
л._ 0 
2х -f- arctg л* ’
пп1 
I — COS* 
ono .. 
I — COS3 X 
tga
321. lim --- ;-- . 
322. lim --- r-??— . 
323. lim 
-
324. lim
ДГ.-(
326. lim
a -► С
328. lim
—о 
x% 
Л- —о * sin 2л' 
a — О У  (I — cos a)*
I -{- sin X — cos X
x _ о I — Sin X — COS X * 
(I — COS a)2 
ц*_1*о tg3 a — sin3 a ’
I — sin X
2
\
2
*
325. lim
tg a — sin a
a -» 0
a3
327. lim
------ —
)
* - 0 \sin 
X 
tg 
X/
329.
lim
cosx
* У  (I — sin * )3
2
330-
ж§ •
 
331- (f “ 
*)
tg *•
X~*J
J 332. lim —
333. lim (1 — z )t g ^ . 
в-*ж l _ ? L
г-1 
г
J 334. lim (
y-+a \
• V — a , я_у\ 
_ _ _
.. 
cosx — sin x
s m
^
-
y - 336. lim
cos 2x
J 336. - Sin\X - * >  
-------
• ¥ f - C O S X  
C O .f (cos* - sin *-)
■j 338. lim h x t g x --- — ). 
339. ііш —-(д + x) ~ co5 (a ~ ** ,
* \ 
ь 
cosx) 
„ „ 
X
2
,.m m s ^ - c o s ^
sin —
|—
x) 
sin (d 
.y)
V 
x-o 
Л 
Л-.0 t g ( e + A T ) - t g ( e — X)
n . n .. 
sin2 a — sin3P 
342. lim
a-H.3
c r — {i-
J 343> J im Sin (a H- 2//) — 2 sin (a  - f /г) - f sin a
4} 344. lim І8І^-±--2Л) - 2/g ^ + /0 + tg д
h~*o 
_  
______________________________________
____
345. lim V2 ~ K l+C0SX. 
J  346. lim У 1 + sin * ~ У { ~
■v-»0 
Sin X 
-v-0 
x
347. lim 
V i + x t i n x — V a s Z X "
 
,im J - cos x/ 5 5
A-»0 
X
x-*Q
L 2

!M Q
15m У 1 + arCtg З х - V 1 —  arcsin З х
— 
arcsin 2а 
— 
У
1 
arctg 
2х 
'
350*. lim
V 
* _ _ i
у т т т
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ П РЕД ЕЛО В. СРА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 
39
35Ь 
^ Ш х- 
У2
-
( l
+ i ) ' .
j 
854. lim ( . + £ ) " * ,
363. lim
.*-»00
Jf± i
d
855. Jim
3 5 6 . 1 ^ ( 1 ^ )
.
35
7. jta (^тГ- 
; эм. хи»и(йп)'.
359
д;
. 
lim 
i 36(>* 
l i m
JC — ± C Q \ A
1 / 
---
Л' —► СО \ 
л
/
. 
lim 
(l-flV ”. 
i 
362. lim
,_*+ «> \ ^ * J
\ — - СО \ A ~ 'ІА + 2 i
303. lim (1 +
s ill 
x)mccx. 
364. lim ( l -j- tg2 У1с)2х.
3 6 5
. п т !M L ± M
366. lim 
rf 
~
.
л--»0 
X
x-*0 
A
367. lim {x  fin (x 
a) — Injf]}. 1 —-
А' 
CO 
%
In у __ I 
' 
дЛ H 1 
л9ДГ __ 1
368. lim — — *. 
369. 
lim 
- 370. lim Ц — І-.
x - .e x ~ ~ e  
- w
Л - 0
/z 
. v - 0
6 X
371. 
372*. lim — ~ ,созл:-. 
373. l i m ^ - ^
X  — 1 * 
д._ о
А'2 
л._ 0 
sin A
.slnOx 
.sin 
x
„ a x ___ p0x
374. lira -----— -- . 
375. 
lim
ЛГ-+0 
x
x-rO
376. lim x { e x — l). 
377. 
lim (d u e — sh#). 378. 
lim tli x.
x -t-co 
jc - f + oo 
* - » + c o
Р а з н ы е п р е д е л ы
В задачах 379— 401 найти пределы.
(ах 
I 1)гс
379. lim ■
ДТ '-' -. Отдельно рассмотреть случая, когда п. 1) целое 
* - * 0 0
X
А
положительное число, 2) целое отрицательное число, 3) нуль.

40
ГЛ. И. ПРЕД ЕЛ. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
380. lim х (^ У х *- \-У X х-f- 1 — У 2).
381. lim _ ^ ( а > 0 ) .
382. 
lim 
(а > 0 ).
х->± со и >
1 
х-*±сои т “
383. iim 51£. 
384. lim
Л 'ч - 0 0
JC — СО 
х
oor 
1- 
*+8ІПЛГ 
оое 1- arcsin X
S85. lim — ---- . 
386. lim ----- .
* - 00* + « ® *
х —
*• i tgH
2
sin (a -f- 3h) — 3 sin (a + 2h) -f 3 sin (a 4 Л) — sin a
h-*0
387. lim —
----- ,a
388. lim tg2 x (]/"2 sin2 x  -f- 3 sin x -j- 4 — ) / sin'2 x  -)- 6 sin x  -f- 2 ).
-v^-2
o o n
1
- 
I — COS ( I — C O S * )
о п л -f 
/ 
x
X
X \
389. lim ------4 ----- 390-. lim cos 
• cos - r.. .cos m .
.v -<• 0 
л
я -» oo \ 
z
4 ^ /
391. lim 
f 1 — cos —^. 
392. lim (cos У х  -j- 1 — cos У x ).
„V —► CO 
'
/ 
ЛТ — CO
393*. lim x ( a r c t g i i f — - j).
394. lim x (arctg £+• 
arctg - 4 - J . 395*. lim -arcsin * ~ " c,e * .
x -* со 
\ 
X -j- Z 
X
Z / 
x-+0 
x
396. 
lim (l-f-'Tn'j (И^>Ф- 
397*. lim (cos x )sin-v‘.
ЛГЧ-+СО v 
X
/ 
Jf-i-0
sin л
398. lim iH£2Lf. 
3 9 9
. lim /s,n
* - » 0
л
 
Л‘ - * 0
—
Л
400. lim (cosx -j- sinx) x. 
401. lim (cosx-4-a sin £*)*.
x -*• 0 
x-f-0
С р а в н е н и е б е с к о н е ч н о м а л ы х
402. Бесконечно малая величина ип принимает значения
1 
- 
1 
1
п
а бесконечно малая величина г>„— соответственно значения
X>J = 1, 
^ 2 = 2 ], 
^ 3 = з | , . . . ,
. . .
Сравнить 
и 
какая из них высшего порядка малости?
403. Функция ип принимает значения
3 
.. _ 8

5 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ. С РА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 
41
а функция vn — соответственно значения
0
 
5 
10 
п- +1
vi = 2, 
г*і = у , 
«з = 27, . . . ,
Vn==~ l f ~ ’ “ *
Сравнить эти бесконечно малые величины.
404. Бесконечно малая величина н„ принимает значения
п 
1 
2 
/ г - 1
и j — и, 
и2 — ^ , 
г/з — 9 ’ * * ’ ’ 
—
/is 
» • • •»
а бесконечно малая величина 
— соответственно значения
Q 
5 
7 
2л + 1
t»j = 3, 
г>о = ^ , 
^3= 9-, . . . ,
^ = —
Убедиться в том, что иа и vn — бесконечно малые одного порядка, но 
неэквивалентные.
J __ ^ 
у-
-
405. При х->\ функции у  = -г—р— и у  = 1 — у х бесконечно малы.
1 
х
Которая из них высшего порядка малости?
406. Дана функция у = х'л. Показать, что Ду и Дх при Дх->0 и 
при х Ф  0 являются бесконечно малыми одного порядка.
Проверить, что при х = 0 величина Д_у бесконечно малая более 
высокого порядка, чем Ах.
При каком значении х приращения Дх и Д^ будут эквивалентными?
407. Убедиться в том, что при х-> 1 бесконечно малые величины 
1 — х и 1 — У х  будут одного порядка малости. Будут ли они экви­
валентными?
408. Пусть х->0. Тогда У a-f-x3 — У а (а^> 0) будет бесконечно 
малой величиной. Определить порядок ее относительно х.
409. Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой 
при х -*■ 0:
1) * » + 1000л* 
2) Y ^ - V x -  
4 ) - ^ .
410. Доказать, что приращения функций и = а У х  и v = bx2 при 
х )> 0 и при общем приращении Дх->0 будут одного порядка мало­
сти. При каком значении х они будут эквивалентными (а и b отличны 
от нуля)?
411. Показать, что при х-> 1 бесконечно малые величины 1— х
. a ( l - V x ) ,  где а ф  0 и k — целое положительное число, будут одного 
порядка малости. При каком значении а они будут эквивалентными?
412. Доказать, что при х —► тс/2 функции s ec x— t gx и тс — 2х 
будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквивалент­
ными?
413. Доказать, что при х —>0 бесконечно малые величины eiv — е* 
и sin 2х — sinx будут эквивалентными.

42
ГЛ. II. П РЕДЕЛ. НЕП РЕРЫ ВН О СТЬ
414. 
Определить порядок относительно х функции, бесконечно малой 
при х  -> 0:
1) V l + V * - 1 ; 2) | Л - {- 2 х — 1 — ]/х ; 3) е ^ — 1; 4)
5) In ( l
"[/xsinx); 6) У  1 Ң- х* tg ~ ; 7) ех — cos х;
8) ех~ — cosx; 9) cosx— >/cosx, 
10) sin ( ] / 1 -|-x— l);
\ 1) In (1 - f x 2) — 2 У (e* —  l) a; 
12) arcsin 
— 2).
416. Дан правильный треугольник со стороной а; из трех высот 
его строится новый правильный треугольник и так п раз. Найти предел 
суммы площадей всех треугольников при п-+ оо.
416. В круг радиуса R  вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот 
круг опять вписан квадрат и так п раз. Найти предел суммы площадей 
всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов при п 
оо.
417. В равнобедренный прямоугольный треугольник, основание кото­
рого разбито на 2/г равных частей, вписана ступенчатая фигура (рис. 15).
Доказать, что при неограниченно возрастающем п разность между пло­
щадью треугольника и площадью ступенчатой фигуры бесконечно 
мала.
418. 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, катет которого 
равен а, гипотенуза разделена на п равных частей и из точек деления 
проведены прямые, параллельные катетам. При этом получается лома­
ная A K L M N O P Q R T B  (рис. 16). Длина этой ломаной при любом п 
равна 2а, значит, и предел ее длины равен 2а. Но, с другой стороны, 
при неограниченном возрастании п ломаная неограниченно приближается 
к гипотенузе треугольника. Следовательно, длина гипотенузы равна сумме 
длин катетов. Найти ошибку в рассуждении.
Н е к о т о р ы е г е о м е т р и ч е с к и е з а д а ч и
В
Рис. 15.
Рис. 16.

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: