Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛО В. СРА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛО В. СРА ВН ЕН И Е БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 43 419. Отрезок А В длины а разделен п точками на равные части, и из этих точек проведены лучи под углами ~ (рис. 17). Найти предел длины получившейся ломаной линии при неограниченном возрастании п. Сравнить с результатом предыдущей задачи. 420. Отрезок А В длины а разделен на п равных частей. На каждом частичном отрезке построена дуга окружности, равная ъ/п радиан А Рис. 17. Рис. 18. (рис. 18). Найти предел длины получившейся линии при л-*- со. Как изменится результат, если на каждом частичном отрезке будет строиться полуокружность? 421. Окружность радиуса R разделена п точками М и Л12 ..., Мя на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга окружности Рис. 19. Рис. 20. радиуса г до пересечения с дугами, построенными в соседних точках (рис. 19). Найти предел длины получившейся замкнутой линии при не ограниченном возрастании п. 422. Два круга с радиусами R и г (R^> г) касаются в начале коор динат оси О Y и расположены правее нее (рис. 20). Какого порядка относительно х при jt -► 0 будут бесконечно малый отрезок М М и бес конечно малый угол а? 423. Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точкой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р проведена касательная Р'Г к 44 ГЛ. If. ПРЕДЕЛ. НЕП РЕРЫ ВН О СТЬ окружности и из точки 'Г опущен перпендикуляр T N на прямую ОР. Доказать, что отрезки АР и AN, где А — точка пересечения прямой ОР с окружностью, — эквивалентные бесконечно малые при Р —► А. 424. В конечных и в средней точках дуги А В окружности прове дены касательные и точки А и В соединены хордой. Доказать, что отно шение площадей образовавшихся при этом двух треугольников стре мится к 4 при неограниченном уменьшении дуги АВ. В ы ч и с л и т е л ь н ы е з а д а ч и 425. Исходя из эквивалентности при лг->0 функций У 1 — jc — 1 и ү х, вычислить приближенно: 1) j/~105; 2) ]/ 912; 3) j/^GO; 4) |/Тб32; 5) У 0,31; 6) ]Л ),021. П --------- 426. Показать, что при *-> 0 функции у \ -{-х — 1 и х/п — экви валентные бесконечно малые. Воспользоваться этим для приближенного вычисления корней: 1) '\f1047; 2) |/8144; 3) |/~ 1,1; 4) У 1080. Найти значение этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Сравнить результаты. 427. Использовать эквивалентность 1 п (1 — {— jc) и дг при лг->0 для приближенного вычисления натуральных логарифмов следующих чисел: 1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти десятичные логарифмы этих же чисел и сравнить с табличными данными. Г Л А В А III ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|