Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
| 830
— 833 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям. 830. у = sin х в точке М (х0, >’о)- 831. у = 1п х в точке М (х0, у а). ^ 832. у = -~-:— в точке с абсциссой х = 2я. 4а- -|- х- '• 833. У 2 — ---!—— (циссоида) в точке М (х0, _у0)-' 834. Показать, что подкасательная к параболе /z-го порядка у = х п равна ~ части абсциссы точки касания. Дать способ построения касательной к линии у = х п. 835. Найти подкасательные и поднормали к линии у = х л; У = х3; ху<2= 1. Дать способы построения касательных к этим линиям. 836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе х 2 = 4ау в ее точке (х0, Уо)', показать, что касательная в точке с абсциссой х 0 = 2am имеет уравнение х = ~ -}- am. 837. Хорда параболы у = х ° “ — 2х-|- 5 соединяет точки с абсциссами Х! = 1, х° = 3. Составить уравнение касательной к параболе, парал лельной хорде. ОГ»П Z'-’ А'“ — ЗЛГ — j— б 838. Составить уравнение нормали к линии у = -^ —!—■ в точке с абсциссой х = 3. 839. Составить уравнение нормали к линии у = — ]/”х-\~2 в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла. 840. Составить уравнение нормали к параболе у = х ~ — 6х-(-б, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы. 841. Показать, что нормали к линии у = хп - — х -f-l, проведенные в точках с абсциссами x i= 0 , х 2 = — 1 и х 3 = 5/2, пересекаются в одной точке. 842. В точках пересечения прямой х — 0 и параболы у = х~ — 4х-]-5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения. 60 ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ 843. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе у = ^^-~ в точках ее пересечения с осями координат, параллельны между собой. х 4- 9 844. Провести касательную к гиперболе у = так, чтобы она прошла через начало координат. 845. На линии у = -г-4—г найти точку, в которой касательная парал- I -f- х лельна оси абсцисс. 846. Найти уравнение касательной к линии х 1 (х -\-у) = а‘ (х — у) в начале координат. 1 зл-я 847. Доказать, что касательные к линии у = , проведенные в точках, для которых _у = 1, пересекаются в начале координат. 848. Провести нормаль к линии у = х \ п х параллельно прямой 2х — 2у + 3 = 0. 849. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии у = ^2лг-[-х', проведенной в точке # = 0. 850. Построить график функции у = sin (2# — тс/З) и найти точку пересечения касательных к графику, проведенных в точках с абсциссой Х\ = 0 и Хъ = 5 тс/12. 851. Показать, что у линии у = аеЬх (а и b — постоянные) подкаса- тельная во всех точках имеет постоянную длину. 852. Показать, что поднормаль линии у = х In (сх) (с — произвольная константа) в любой точке данной линии есть четвертая пропорциональ ная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и ординаты этой точки. 853. Показать, что любая касательная к линии y = ~ V x — Ах1 пересекается с осыо ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат. 854. Показать, что касательная к эллипсу в точке ■М (А'о. _Уо) имеет уравнение 855. Показать, что касательная к гиперболе -^-=1 в точке УН( jc 0> _Vo) имеет уравнение ~ г ~ ^ = = :1- 856. Доказать, что нормаль к эллипсу в любой его точке делит попо лам угол между фокальными радиусами (рис. 21) этой точки. Вывести отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу. у"* 857. Составить уравнения касательных к гиперболе у — ү = 1, перпендикулярных к прямой 2х-\- Лу — 3 = 0 . жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|