Байланысты: ООП 03.03.03 Радиофизика Комп технологии передачи информации очная 2019
Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальное уравнение
n -го порядка, разрешенное относительно старшей произ-
водной. Сведение его к нормальной системе уравнений. Теоремы существования и един-
ственности, непрерывной зависимости решения нормальной системы от начальных усло-
вий и от параметров. Теорема существования и единственности решения уравнения
n -го
порядка, разрешенного относительно старшей производной, как следствие теоремы су-
ществования и единственности решения нормальной системы. Частные случаи диффе-
ренциального уравнения
n -го порядка, допускающие понижение порядка. Теорема суще-
ствования и единственности решения линейного дифференциального уравнения
n -го по-
рядка с непрерывными коэффициентами. Общая теория линейного однородного диффе-
ренциального уравнения
n -го порядка. Определитель Вронского, проверка независимости
решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного од-
нородного дифференциального уравнения. Теоремы о максимальном числе линейно-
независимых решений и о тождественности уравнений. Построение линейного диффе-
ренциального уравнения по фундаментальной системе решений. Формула Лиувилля и ее
применение. Способ понижения порядка линейного однородного уравнения при извест-
ном частном решении. Структура общего решения линейного неоднородного дифферен-
циального уравнения
n -го порядка. Принцип суперпозиции. Метод вариации произволь-
ных постоянных для отыскания частного решения неоднородного уравнения
n -го порядка.
Функция Грина. Линейное однородное уравнение
n -го порядка с постоянными коэффици-
ентами. Операторные многочлены и их свойства. Разложение операторного многочлена
на линейные множители. Действие операторного многочлена на простейшие функции.
Формула смещения. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с по-
стоянными коэффициентами в случае простых и кратных корней характеристического
многочлена (действительных или комплексных). Линейные неоднородные уравнения с
постоянными коэффициентами. Квазиполиномы и их свойства. Структура частного реше-
ния линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и квазиполи-
номом в правой части. Операторный метод отыскания частного решения такого уравне-
ния. Уравнение Эйлера. Интегрирование однородных линейных дифференциальных
уравнений с помощью рядов. Отыскание фундаментальной системы решений уравнений
Эйри и Бесселя.