Педагогикалық институтының директоры

1. 
   Геометрияның шығуы туралы қысқаша мәліметтер;
   
2. 
   А.Н. Колмогоновтың аксиомалар жүйесі;
   
3. 
   А.В. Погореловтың аксиомалар жүйесі;
   
4. 
   Л.С. Атанасянның аксиомалар жүйесі (өз бетімен).
   

Әр түрлі аксиомалар жүйесін көрсетіп, оларды салыстыру.

/1/ 252-260 б.

/4/ §1 п 13, §4 п 37.

Қосымша /3/ 294-299 б.

Геометрияны жүйелі түрде баяндаған алғашқы еңбек ежелгі грек математигі Евклидтің «Бастамалары» (б.э.д.ІІІ ғасыр) болды. Онда қазіргі орта мектептің деңгейіндегі геометриялық білімнің көлемі берілген болатын. Ол өз жұмысында өзінен бұрынғы ғалымдардың, соның ішінде Фалес пен Пифагор, Демокрит мен Евдокс және тағы басқалардың еңбектеріне сүйенеді.

Адамзат тарихында алғаш рет геометрия «Бастамаларда» аксиоманың көмегімен және осы аксиомалардан логикалық тұрғыдан келіп шығатын қорытындылар – теоремалар арқылы түсіндіріледі.

Кейін геометрия ғылымында сапалық өзгерістер байқалып, жаңа геометриялар пайда болды. Ол геометриялар орыс ғалымы Н.И.Лобачевский, неміс ғалымы Б.Риман тағы осы сияқты ғалымдардың еңбектерімен байланысты.

1. 
   Әрбір түзу нүктелер жиыны болады.
   
2. 
   Бір-бірінен өзгеше екі нүкте үшін оларды қамтитын бір, тек бір ғана түзу болады.
   
3. 
   Кемінде бір түзу болады және әр түзуге кемінде бір нүкте тиісті болады.
   
4. 
   ІІ. Ара қашықтықтар аксиомалары
   

2.А-ден В-ға дейінгі ара қашықтық В-дан А-ға дейінгі ара қашықтыққа тең болады: /АВ/= /ВА/;

3.Кез-келген А,В,С үш нүкте үшін А-дан С-ге дейінгі ара қашықтық А-дан В-ге дейінгі және В-дан С-ге дейінгі ара қашықтықтардың қосындысынан артық болмайды: /АС/ ≤ /АВ/ + /ВС/

ІІІ. Реттік аксиомалары

1. 
   Р түзуінің кез-келген О нүктесі Р түзуінің О-дан өзгеше барлық нүктелерінің жиынын бос емес екі жиынға былайша бөледі:
   

ә) егер де А мен В нүктелері бір ғана жиынға тиісті болса, онда олардың біреуі екінші нүкте мен О нүктесінің арасында жатады.

2. 
   Басы О нүктесіндегі, берілген сәуле бойындағы кез-келген а ара қашықтық үшін О нүктесінен ара қашықтығы а-тең болатын бір, тек бір ғана А нүктесі болады: /ОА/=а.
   
3. 
   Егер де С нүктесі А мен В нүктелерінің арасында жатса, онда А,В,С нүктелері бір түзуге тиісті болады.
   
4. 
   Кез-келген Р түзуі жазықтықтың ол түзуге тиісті емес нүктелерін бос емес екі жиынға былайша бөледі:
   

ә) бір ғана жиынға тиісті кез-келген екі нүкте Р түзуімен бөлінбейді.

1. 
   Егер /АВ/ ара қашықтығы оң болып және ол /АВ/ ара қашықтығына тең болса, онда екі, тек екі орын ауыстыру ғана болады да, олардың әрқайсысы А нүктесін А₁ нүктесіне, ал В нүктесін В₁ нүктесіне бейнелейді. Егер α – АВ түзуімен шектелген жарты жазықтық болса, онда ол осы екі орын ауыстыру арқылы А1В1 түзуімен шектелген әр түрлі α және β жарты жазықтықтарға бейнеленеді.
   

1. А нүктесі арқылы берілген р түзуіне параллель болатын біреуден артық емес түзу өтеді.

1. Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті болатын нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

2. Кез-келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

ІІ. Нүктелердің түзуде және жазықтықта өзара орналасуының негізгі қасиеттері:

1. 
   Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.
   
2. 
   Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
   

1. 
   Әрбір кесіндінің нөлден артық белгілі бір ұзындығы болады. Кесіндінің ұзындығы өзінің кез-келген нүктесімен бөлінген бөліктерінің ұзындықтарының қосындысына тең.
   
2. 
   Әрбір бұрыштың нөлден артық белгілі бір градустық өлшеуіші болады. Жазыңқы бұрыш 180° - қа тең. Бұрыштың градустық өлшеуіші оның қабырғаларының арасымен өтетін кез-келген сәулемен бөлінетін бөліктерінің градустық өлшеуіштерінің қосындысына тең болады.
   

1. 
   Кез-келген жарты түзудің бойына оның бас нүктесінен бастап, ұзындығы берілген кесіндіні өлшеп салуға болады және ол тек біреу ғана болады.
   
2. 
   Кез-келген жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа 180° -тан кем градустық өлшеуіші берілген бұрышты өлшеп салуға болады және ол тек біреу ғана болады.
   

1. Үшбұрыш қандай болса да, оған тең және берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан үшбұрыш бар болады.

Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы жазықтықта осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол біреуден артық болмайды.

1. 
   Геометрияның қысқаша даму тарихын түсіндіріңіз.
   
2. 
   А.Н.Колмогоновтың ұсынған аксиомалар жүйесіне көрсетіңіз.
   
3. 
   А.В.Погореловтың ұсынған аксиомалар жүйесіне көрсетіңіз.
   
4. 
   Л.С.Атанасянның ұсынған аксиомалар жүйесіне көрсетіңіз.
   

1. 
   Нүкте, түзу, кесінді, сәуле, бұрыш және оның түрлері;
   
2. 
   Үшбұрыш және төртбұрыш, олардың түрлері;
   
3. 
   Шеңбер және дөңгелек.
   

Әдебиеттер:

/1/ 252-260 б.

/4/ §1 п 1-11, §3 п 20-27.

Қосымша /3/ 1 тарау §1,2

1-сұрақ: Жазықтықтағы негізгі фигуралар нүкте мен түзу болады және олардың қасиеттері аксиомаларда беріледі. Кез-келген геометриялық фигураны біз нүктелерден тұрады деп есептейміз. Сондықтан геометриялық фигура – кез-келген нүктелердің жиыны, оның шектеулі де, шексіз де, дербес жағдайда бос та болуы мүмкін.

Анықтама: Кесінді деп түзудің берілген екі нүктесінің арасында жатқан барлық нүктелерінен тқратын бөлгіін айтады. Бұл екі нүкте А мен В кесіндінің ұштары деп аталады. Кесіндіні оның ұштары арқылы белгілейді, АВ деп жазады, оқиды. АВ кесіндінің ұзындығын А және В нүктелерінің ара қашықтықтары деп те атайды.

Анықтама. Түзудің берілген нүктесінің бір жағында жатқан барлық нүктелерінен тұратын бөлігі жарты түзу немесе сәуле деп аталады. Берілген нүкте сәуленің екі нүктесі деп аталады.

Анықтама. Бұрыш деп бұрыштың төбесінен нүктеден және сол нүктеден шығатын әр түрлі екі жарты түзуден бұрыштың қабырғаларынан құралатын фигураны айтад
Бұрыштарды сүйір, тік, доғал және жазыңқы бұрыштар деп бөледі.

2-сұрақ. Анықтама: Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді қос-қостан қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны атайды. Нүктелер үшбұрыщтың төбелері, ал кесінділер қабырғалары деп аталады.

Егер үшбұрыштың екі қабырғасы тең болса, ол тең бүйірлі үшбұрыш деп аталады.

АВ = ВС Тең қабырғалары үшбұрыштың бүйір қабырғалары, ол үшінші қабырғасы үшбұрыштың табаны (АС) деп аталады.

Теорема: Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады. Барлық қабырғалары тең болатын үшбұрыш тең қабырғалы үшбұрыш немесе дұрыс үшбұрыш деп те аталады.

Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы болады.

Аксиома: Төртбұрыш деп төрт нүктеден және оларды тізбектей қосатын төрт кесіндіден тұратын фигураны айтады. Төртұрыштың барлық қабырғаларының қосындысын периметр деп атайды.

Төртбұрыштың түрлері – параллелограмм, тік төртбұрыш, ромб, квадрат (шаршы) және трапеция.

Осы төртбұрыштардың мәнді қасиеттерінің ішінен оны сипаттылық қасиеттерін бөліп алып, оларға анықтама береді және осы қасиеттер анықталатын ұғымның қажетті немесе жеткілікті шарттарын белгілеп көрсетеді.

Мысалы: «Параллелограмм дегеніміз қарама-қарсы қабырғалары параллель болатын төртқрыш».

Оның негізгі қасиеттері:

1. 
   Параллелограмның диагоналдарының ортасы оның симметрия центрі болады.
   
2. 
   Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.
   
3. 
   Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштары тең.
   
4. 
   Параллелограмның әрбір диагоналы оны тең екі үшбұрышқа бөледі.
   
5. 
   Параллелограмның диагоналдары қиылысу нүктесінде тең бөлінеді.
   
6. 
   Параллелограмның диагоналдарының квадраттарының қосындысы оның қабырғлаарының квадраттарының қосындысына тең болады.
   

1. Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары қос-қосынан тең болса,

онда бұл төртбұрыш параллелограмм.

2. Егер төртбұрыштың қарама-қарсы екі қабырғасы тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм.

Параллелограмның әрбір белгісі, параллелограмның анықтамасы ретінде алынуы мүмкін.

3-сұрақ. Анықтама: Шеңбер деп берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелерінен тұратын фигураны айтады. Берілген нүкте шеңбердің центрі деп аталады. Шеңбер центрінен оның нүктелеріне дейінгі ара қашықтық шеңбердің радиусы деп аталады. Шеңбердің екі нүктесінен қосатын кесінді хорда деп, ал оның центрінен өтетін хорда диаметр деп аталады.

Анықтама: Дөңгелек деп жазықтықтағы берілген нүктеден алынған қашықтықтан артық емес ара қашықтықта жатқан барлық нүктелерден құралатын фигураны айтады.

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Жазықтықтағы негізгі фигураларды атаңыз.
   
2. 
   Кесінді, сәуле, бұрыш, үшбұрыштарды анықтаңыз.
   
3. 
   Үшбұрыштың биіктігін, медианасын және биссектрисасын анықтаңыз, салып көрсетіңіз.
   
4. 
   Төртбұрыштың түрлерін атаңыз, оларды салып көрсетіңіз.
   
5. 
   Шеңбер мен дөңгелекті анықтаңыз және оларды салып көрсетіңіз.