онда мұндай жүйені ортонормаланған деп атайды.
Теорема 1. Кез келген ортонормаланған жүйе сызықты тәуелсіз болып табылады.
Дәлелдеуі. ортонормаланған векторлар жүйесі үшін
теңдігін қарастырайық және ол болған кезде ғана орындалатындығын көрсетейік. Теңдікті оң жағынан
ал бұл болғанда ғана мүмкін, бұдан жүйесінің сызықтық тәуелсіздігі шығады.
Кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін берілген жүйенің сызықтық қабықшасындай болатын ортонормаланған жүйеге түрлендіруге болады. Мұндай түрлендіруді Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданып жүргізуге болады.
Айталық - комплексті векторлық кеңістіктегі сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі және - ізделінді ортонормаланған жүйе болсын. векторлары төмендегі формулалар бойынша рекуррентті есептеледі:
(1)
мұндағы - векторының евклид ұзындығы.
Мысал 1. (Грам-Шмидтің ортогоналдау процессі).
Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін ортонормалайық.
Грам-Шмидт процессінің әрбір -шы қадамында векторлары тек қана алғашқы сызықтық тәуелсіз векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеледі, яғни
(2)
болатындай сандары бар болады.
Грам-Шмидт процессін кез келген ақырлы немесе саналымды (сызықтық тәуелсіз болуы міндетті емес) векторлар жүйесіне қолдануға болады.
