Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері» «5В011000 – Физика» мамандығы үшін ОҚУ-Әдістемелік материалдары
Тақырып: Микроканоникалық үлестірілу. Энтропия
жүктеу/скачать 0,75 Mb.
|
11ebc649-7a01-11e4-a79f-f6d299da70eeУМКД Стат.физ.2014 каз
| Тақырып: Микроканоникалық үлестірілу. Энтропия.
Кез-келген термодинамикалық жүйе сыртқы заттардан мүлде шектелген боп саналсын. Онда оның толық энергиясы барлық процестерде тұрақты боп саналады. Ондай мүлде шектелген термодинамикалық жүйеге сәйкес келетін каноникалық үлестірім микроканоникалық үлестірімі деп аталады. Онда термодинамикалық жүйенің энергиясы: (6.4) тұрақты болғандықтын, фазалық кеңістікте жүйенің фазалық треакториясының барлық нүктелері энергияның гипербетінде орналасады. Мұндай жүйелерінің күйле-рінің өзгерісі Лиувилл теоремасына бағынбауы мүмкін, бірақ сондада жұйенің көп бөлшектерден құралғандықтын микроканоникалық үлестірімінің шарттарын бұзбай оны келесі талаптарға бағынатын көлемдік үлестірімімен ауыстыруға болады. Белгіленген жүйені өте жіңішке фазалық кеңістіктің көлемінде орналассын деп санайық. Фазалық кеңістіктің қалыңдығының ауытқуы өзінің тұрақты мәнінен өте аз деп белгілейік. Мұндай қабатты үлестірімге келесі шарттар орындалады деп санауға болады: Егер онда үлестірім функциясының фазалық тығыздығы Егер онда Егер онда Осы көрсетілген шектіктерден үлестірім фүнкцияның тығыздығы тек қана өте жіңішке энергияның интервалында нольдік мәнәнен жоғары боп табылады, ал сол көрсетілген энерияның интервалының сыртында нольге тең. энергияның қалың-дығында жүйенің үлестірім функцияның тығыздығы тұрақты боп саналады. Онда мұндай жіңішке қабат боойыншы таралған жүйенің күйлеріне Лиувилл теоремасын пайдалануға болады. Жүйенің жіңішке қабатта таратылған күйлереінң саны тең болады: = (6.5) Бұл секірмелі жіңішке қабатты жүйенің күйінің энергиясының өзгерісіне (N,E) диаграммада өте созылған үздіксіз кисық сәкес келеді. Яғни микроканоникалық үлустірімді каноникалық үлустірімінің шегі деп санауға болады. Бірақ мұндай ұлестірім функцияның түрінің ерекшілігінен оны жиі пайдалануға өте қийын. Кей бір жағдайларда изотермалық жүйелердің үлістірім функциясы пайдланады. Қарстырылған үлестірім функцияның қасиетіне бағынатын Дирак өзінің кванттық механикасында пайдаланған - функциясын еске алуымыз керек. Біздің жағдайда ол келесі түрінде белгіленеді: (6.6) Мындағы С тұрақты шаманың мәнін нормалау шартынан анықтыуға болады. Осыдан белгіленген жүйенің күйің жіңішке фазалық кеңістігінде орналасатын ықтималдығы тең болады: немесе: Арқарай функцияның қасиетін еске алсақ: егер , және eгер онда:
Яғни: Осы алынған (6.15) микроканоникалық үлестірім функциясы арқылы термодинамикалық жүйенің кез келген физикалық шамалардың фазалық оташа мәндерін шығаруға болады: Ендігі қойылытын мақсат шаманың физиқалық мағнасын анықтау. Ол үшін энергияның интервалында интегралын шығарайық: = Интегралдың ішіндегі шама функцияның қасиеті арқылы бірге немесе нольге теңб яғни:
Сондықтан мәні көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің көлеміне тең. Осыдын ) физикалық мағнасы көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің көлемі боп табылады. Каноникалық үлестірім функциясының параметлерінің қасиеттері мен танысып енді олар мен байланысты басқа термодинамикалық потенциалдардың қасиеттерін анықтауға болады. Солардың арсында әрқашанда зор маңызды боп энтропия функциясы табылады. (6.59) өрнектен: (6.69) Бұл өрнекті басқаша алуға болады: (6.70) Каноникалық үлестірім функциясы берілген түрі арқылы: (6.71) Онда өрнекті басқаша жазуға болады: (6.72) Егер шаманың орташа мәнінің анықтамасын еске алсақ, онда: (6.73) Осыдан термодинамикалық жүйенің энтропиясын үлестірім функциясының тығыз-дығының логарифм функциясының орташасына тең деп анықтадық. Яғни термо-днимикалық жүйенің энтропиясы ешқандай механикалық параметрлер арқылы табыл-майды, ол тек қана жүйенің статистикалық қасиетіне тәуелді боп анықталды. Кезкелген термодинамикалық жүйенің энтропиясын механикалық аспаптар арқылы өлшеуге болмайды деп тұжырымдауға болады. Энтропияның қасиеттерін толықтау анықтау үшін кванттық механика көзқарасын пайдалану керек. Термодинамикалық жүйелердің үздікті күйлерін қарастыруға болады. өрнек арқылы үздікті күйлердің ықтималдығын еске алсақ, ондай жүйенің энтропиясы тең болады: (6.74) Мында N дегеніміз жүйенің барлық мүмкіншілік болатын күйлерінің саны, – деп белгіленгін жүйенің ықтималдығы. Бұл жағдайда жүйенің барлық күйлерінің ықтималдықтары бір-біріне тең деп сануға болады. Онда нормалау шартын пайдала-нып жалғастыруға болады: яғни: (6.75) Осы алынған өрнек бойынша термодинамикалық жүйенің энтропиясы жүйеның бар-лық мүмкін болатын күйлерінің санына пропорционал боп табылды. Термодина-микалық жүйенің барлық мүмкін болатын күйлерінің санын термодинамикалық ықтималдығы деп белгілегінбіз. Егер орнына қойсақ, онда: (6.76) Өсы алынған теңдеу белгілі Больцманның пікірі деп атлады. Больцман бойынша жүйенің энтропиясы термодинамикалық ықтималдығының логарифымына пропорционал. Кванттық механиканың қөзқарасы бойынша термодинамикалық жүйенің бөлшек-терінің еркін дәрәже саны 3 тең болса, онда бір кванттық күйіне сәйкес келетін минималдық көлемі ( . Онда жүйенің күйлерінің саныны сәкес келетін фазалық кеңістіктің көлемі . Фазалық көлемді арқылы ақырғы өрнекке еңгізсек, онда кваннтық термодинамикалық жүйенің энтропиясы тең болады: (6.77) Көбінесе кездесетін процесстерде энтропияның текқана өзгерісіне мән беріледі, сондықтан термодинамикалық жүйенің энтропиясын кез-келген тұрақтысына дейін қарастырады, сондықтан энтропияны фазалық кеңістіктің көлемінің логарифына тең деп санауға болады: (6.74) Осылай белгіленген энтропия термодинамикалық жүйенің күй функциясы боп саналады және ол әддитивтік шартына бағынады. Термодинамикалық жүйе бір қалпынан өз беті мен екінші қалпына келуі күйінің ықтымалдығы мен байланысты. Ол үшін екінші күй қалпының ықтималдығы жоғары болу керек, немесе екінші жүйенің күй қалпының саны неғұрым көбірек болу керек. Яғни жүйенің екінші күй қалпының термодинамикаллық ықтималдығы жоғары боп табылды. Онда оған неғұрым үлкен фазалық кіңістік сәйкес болу керек, яғни неғұрым үлкен жүйенің энтропиясы. Бірақ термодинамикалық жүйе өз бетімен тек қана тепетеңдік емес қалпынан тепе-теңдік қалпына көшеді. Яғни термодинамикалық жүйенің энтропиясы тепе-теңдік емес процесстерде тек қана ұлғаяды. Бұл тұжырым белгілі термодинамиканың екінші бастамасына сәйкес келеді. Термодинамиканың екінші бастамасы бойынша егер термодинамикалық жүйе тепе-тенңдік емес процесстерге қатнасса оның энтропиясы әрқашанда ұлғаяды. Егер жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте орналасса, онда: Мұнда Т - абсолют температура немесе температура деп аталады және Т1 =Т2 (тепе-теңдік күйі). Т – статистикалық сипатта болады. жүктеу/скачать 0,75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|