«Планиметриядағы жаңа оқыту технологиялары»

Салуларға арналған геометриялық есептерді шешу әдістері

в)түзетулер әдісі

г)геометриялық түрлендірулер әдісі(параллель көшіру, центрлік, симмеетриялық ось, бұру)

д) метод инверсии

е) алгебраический метод

1. 
   Жазықтықты түрлендіру және оның қасиеттері
   
2. 
   Осьтік және центрлік симметриялар
   
3. 
   Параллель көшіру
   
4. 
   Бұру
   

Шеңберді мысалға ала отырып бейне және кері бейне ұғымдарын енгізіп алады.

Егер түрлендіруде қандай да бір нүкте өзіне-өзі бейнеленсе, онда бұл нүкте түрлендірудің қозғалмайтын нүктесі деп аталады. Ал егер түрлендіруде жазықтықтың әрбір нүктесі қозғалмайтын нүкте болса, онда мұндай түрлендіру тепе-тең түрлендіру деп аталады.

Егер түрлендіруде F фигурасының бейнесі фигурасы болса, онда фигурасы берілген F фигурасын түрлендіруге арналған дейді. (1-сурет)
F →

Әрбір нүктесі әрбір Х нүктесіне бейнеленетіндей фигурасын F фигурасына бейнелеуді кері түрлендіру деп атайды.

Түрлендірулер әртүрлі болуы мүмкін: фигураның пішінін өзгертетін түрлендірулер және фигураның пішінін де өлшемін де сақтап, тек оның оорналасу жағдайын өзгертетін түрлендірулер де бар.

Анықтама. Жазықтықтағы нүтелер жұбының арақашықтығын сақтайтын түрлендіруді қозғалыс деп атайды.

Яғни, егер қозғалыс Х пен У нүктелерін және нүктелеріне бейнелесе, онда ХУ= орындалады. (1-сурет)

Дәлелдеу. А, В, С нүктелерін қозғалыс сәйкесінше А′, В′, С′ нүктелеріне бейнелейді делік. В′ нүктесі А′ пен С′нүктелерінің арасында жататынын дәлелдейік (2-сурет)

В′нүктесі А′ пен С′ арасында жатпайды делік. Сонда үшбұрыштар теңсіздігі бойынша А′С′ ˂А′В′+ В′С′. Бірақ қозғалыс А′С′=АС, А′В′=АВ, В′С′=ВС арақашықтықтарын сақтайтындықтан, АС ˂АВ+ ВС болып шығады. Бұл В нүктесі А мен С-ның арасында жатқандаорындалатын АС= АВ+ВС теңдігіне қайшы келеді. Демек, В′ нүктесі А′ пен С′ арасында жатады. Теорема дәлелденді.

F F′

Шындығында, АВ мен АС бір А нүктесінен шығатын және бір түзуде жатпайтын екі сәуле болсын (3-сурет). Қозғалыс оларды А′В′ және А′С′ сәулелеріне көшіреді. Қозғалыс арақашықтықты сақтайтын

А А′

В В′
(3-сурет)

болғандықтан (үш қабырғасы бойынша), АВС және А′В′С′ үшбұрыштары тең. Үшбұрыштардың теңдігінен ВАС және В′А′С′ бұрыштарының теңдігі шығады.

Дәлелдеу. Бірінші қозғалыс М нүктесін М′ нүктесіне, ал екінші қозғалыс М′ нүктесін М′′ нүктесіне бейнелесін (4-сурет). Бұл екі қозғалысты М нүктесін М′′ нүктесіне көшіретін бір түрлендірумен ауыстыруға болады. Және бұл жағдайда жазықтықтың әртүрлі нүктелері іртүрлі нүктелерге бейнеленеді де, біз шындығында да түрлендіру аламыз. Осы әдіспен құрылған түрлендірулердің қозғалыс болатынын дәлелдеу қалады. Бірінші қозғалыста М′ және N′ нүктелеріне бейнеленетін жазықтықтың әртүрлі М және N нүктелерін қарастырайық. Екінші қозғалыстың нәтижесінде бұл М′ пен N′ нүктелері сәйкесінше М′′ және N′′ нүктелеріне бейнеленсін, МN= М′N′= М′′N′′ болғандықтан, М мен N нүктелерін М′′ және N′′ нүктелеріне көшіретін түрлендіру қозғалыс болады. Теорема дәлелденді.

Қозғалысқа кері түрлендірудің де қозғалыс болатыны түсінікті.

Қозғалыс түсінігі көмегімен геометриялық фигуралардың теңдігінің

Жалпы анықтамасын беруге болады.

Анықтама. Егер қозғалыс арқылы екі фигураның бірін екіншісіне

Бейнелеуге болса, онда бұл фигуралар тең деп аталады.

Бұл анықтамадан мынадай қасиеттер шығады:

1.Әрбір фигура өзіне-өзі тең.

2.Егер мен фигуралары тең болса, онда мен фигуралары да тең.

Тең кесінділерді, бұрыштарды және үшбұрыштарды қозғалыс көмегімен беттестіруге болатындықтан, кесінділердің, бұрыштардың және үшбұрыштардың теңдіктері туралы бұрын қарастырылған ұғымдар фигуралардың теңдігі туралы айтылған осы жалпы анықтамаға сәйкес келеді.

Түрлендірудің оське қарағанда симметрия, центрлік симметрия, нүктеден айналдыра бүру және параллель көшіру деген түрлері қозғалыс түрлеріне жатады.

F фигурасы берілген болсын (1-сурет)

Анықтама. Егер F фигурасының барлық нүктелері бір бағытта және бірдей қашықтыққа ығыстырылса, онда F фигурасы параллель көшірілген делінеді.

Параллель көшіру – ол фигураның барлық нүктелері бір векторға ығыстырылған түрлендіру. Бұл векторды (а - ) көшіру векторы деп атайды.

4-теорема.Параллель көшіру қозғалыс болады.

Дәлелдеу. Параллель көшірілген ММ′ пен NN′ кесінділері тең және параллель немесе тең және бір түзуде жатады.

Егер олар тең және параллель болса (1.2-сурет), онда ММ′ N′N төртбұрышы – параллелограмм. Сондықтан МN=N′М′. Егер ММ′ пен NN′ кесінділері тең және бір түзуде жатса (1.3-сурет), онда МN=|ММ′ - NМ′|=|NN′ - NМ′|=М′ N′.

Сонымен МN= М′ N′. Теорема дәлелденді.

1) F

F


2) F F