Говорят, что призма вписана в цилиндр, если основания вписаны в основания цилиндра (Рис. 6), и призма описана около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра (Рис. 7). Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра.
Рис. 6
Рис. 7
Будем неограниченно увеличивать число n . При этом радиус rn цилиндра Рn стремится к радиусу r цилиндра Р : rn = r cos 180/ n при n → ∞.
Будем неограниченно увеличивать число n . При этом радиус rn цилиндра Рn стремится к радиусу r цилиндра Р : rn = r cos 180/ n при n → ∞.
Поэтому объём цилиндра Рn стремится к объёму цилиндра Р : .
Из неравенства (1) следует, что и .
Но .
Таким образом: V = r2h . (2)
Обозначив площадь r2 основания цилиндра буквой S , из формулы (2) получим: V = S · h .
Теорема доказана.
Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Доказательство
Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n - угольную призму Fn , а в эту призму впишем цилиндр Рn (Рис. 8). Обозначим через V и Vn объёмы цилиндров Р и Рn, через радиус цилиндра rn. Так как объём призмы Fn равен Sn· h , где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , которая, в свою очередь, содержит цилиндр Рn , то
Vn< Sn· h < V. (1)
Призма
Цилиндр
Цилиндр
Рис. 8
Площадь цилиндра
На рисунке 9.1 изображён цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей AB и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости (Рис 9.2). В результате в плоскости получится прямоугольник ABA´B´ .
Стороны AB и A´B´ прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей AB . Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Основание AA´ прямоугольника является развёрткой окружности основания цилиндра, а высота AB – образующей цилиндра, поэтому AA´ = 2 r , AB = h , где r – радиус цилиндра, h – его высота.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки.
Так как площадь прямоугольника ABA´B´ равна AA´· AB = 2rh , то для вычисления площади Sбок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула: Sбок = 2rh .
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
Рис. 9.1
Рис. 9.2
Пирамида
Рассмотрим многоугольник А1A2…A n и точку P , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников (Рис 10):
PА1A2 , PА2A3 ,,…, PAn А1 . (1)
Многогранник, составленный из n – угольника А1A2…A n и n треугольников (1), называется пирамидой. Многоугольник А1A2…A n называется основанием, а треугольники (1) – боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PА1,PА2,…,PAn – её боковыми рёбрами. Пирамиду с основанием А1A2…A n и вершиной P обозначают так: PА1A2…A n – и называют n - угольной пирамидой. На рисунке 11 изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида – это тетраэдр.
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 10 отрезок PH является высотой пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.
Очевидно, Sполн. = Sбок + Sосн.
Рис. 11
Рис. 10
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания , является ее высотой (Рис. 12).
Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
