Примеры сильнейших землетрясений мира

 
216 
Если в жидкости отсутствуют вихри, то
0
=
v
rot
(13.2)
Условие несжимаемости жидкости может быть записано в виде 
0
=
v
div
(13.3) 
Из (13.2) следует, что скорость имеет потенциал, т.е.
Φ
−∇
=
v
, который согласно 
уравнению (13.3) удовлетворяет уравнению Лапласа: 
0
=
∆Φ
(13.4) 
Теперь, исходя из уравнений (13.1),(13.4) рассмотрим движение в форме
гармонической волны, распространяющейся вдоль оси 
x
в тонком слое жидкости 
толщиной 
h
на жестком основании. Термин "тонкий слой" означает, что толщина 
слоя мала по сравнению с длиной волны. Ось 
z 
направим вниз. Тогда, согласно 
уравнению (13.4) потенциал скорости можно записать в виде: 
(
)
)
exp(
)
exp(
)]
(
exp[
)
,
,
(
kz
B
kz
A
kx
t
i
t
z
x
+
−
−
=
Φ
ω
где 
k 
- 
волновое число. Коэффициенты 
А 
и 
В
определяются из граничного условия 
на дне. Поскольку мы принимаем, что подстилающая среда является жесткой, то в 
ней отсутствуют смещения. Но в силу граничного условия непрерывности 
вертикальных движений на дне следует, что в жидкости 
0
v
=
z
(
заметим, что 
горизонтальная составляющей скорости в жидкости будет отлична от нуля, так как 
возможно проскальзывание жидкости вдоль дна) . Так как 
Φ
−∇
=
v
, то это условие 
принимает вид: 
h
 z
z
=
=
∂
Φ
∂
при
0
, или 
0
)
exp(
)
exp(
=
+
−
−
kh
kB
kh
kA
Обозначим 
2
)
exp(
)
exp(
C
kh
B
kh
A
=
=
−
Тогда 
)
(
cosh
)]
(
exp[
z
h
k
kx
t
i
C
−
−
=
Φ
ω
(13.5) 
Обозначим 
)
,
(
t
x
η
поднятие точек поверхности жидкого слоя. Очевидно, что оно 
будет также волнообразным, т.е. 
)]
(
exp[
)
,
(
kx
t
i
D
t
x
−
=
ω
η
Поскольку ось 
z 
мы направили вниз, то
η>
0 соответствует опусканию поверхности, 
а 
η<
0 - 
поднятию. 
Теперь рассмотрим уравнение (13.1). Внешняя сила, действующая на жидкость - 
гравитационная. Гравитационная сила имеет потенциал 
U
, т.е. 
U
−∇
=
F
. Таким 
образом, уравнение (13.1) принимает вид: 
(
)
const
U
p
t
U
p
t
=
+
+
∂
Φ
∂
−
=
∇
+
∇
+
∂
Φ
∂
∇
−
ρ
ρ
1
0
или
Чтобы эта константа не нарушала периодичности бегущей волны, она должна быть 
равна нулю. 
Потенциал силы тяжести, действующей на единицу объема жидкости плотностью 
ρ
равен -
ρ
gz
. Таким образом, потенциал на поверхности колеблющейся жидкости 
равен 
η
ρ
g
U
−
=
0
Учитывая, что на свободной поверхности жидкости 
р
=0, получаем, что при 
z
=
η
η
g
t
−
=
∂
Φ
∂

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: