r
2
.
Аналогично можно оценить и энеpгию повеpхностных волн. Для простоты рассмотрим
релеевскую волну в однородном полупространстве. Как было показано в разделе 2.11,
движение в волне Релея происходит по эллипсу в вертикальной плоскости, так что волна
имеет две компоненты – вертикальную
w
и горизонтальную в направлении
распространения волны
u
. Эти компоненты сдвинуты по фазе на
π
/2 , имеют
максимальные значения на поверхности и затухают с глубиной. Энергия поверхностной
волны переносится через поверхность полубесконечного цилиндра радиуса
r
. Плотность
энергии волны в соответствии с формулой (2.44) в этом случае имеет вид
(
)
2
2
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
t
r
z
u
t
r
z
w
t
r
z
W
+
=
ρ
Поток энергии, переносимый волной через цилиндрическую поверхность за время,
равное одному периоду, будет очевидно равен
cdt
dz
t
r
z
W
r
E
T
∫
∫
=
∞
0
0
)
,
,
(
2
π
Поскольку наблюдения проводятся на поверхности, эту величину следует выразить через
амплитуду волны на поверхности. При этом обычно для оценки энергии поверхностной
волны используется горизонтальная компонента смещения
)
0
(
u
U
=
.
Выразим энергию поверхностной волны
Е
через значение амплитуды горизонтальной
составляющей смещения на поверхности. Компоненты смещения
u
и
w
в волне с
плоским фронтом выражаются с точностью до постоянного множителя
С
формулой
(2.52), а в случае сосредоточенного источника в эти выражения должен быть добавлен
множитель
r
π
2
1
за счет геометрического расхождения волны. Учитывая также, что
2
cos
sin
0
2
0
2
T
tdt
tdt
T
T
=
=
∫
∫
ω
ω
и интегрируя по
z,
мы получим
ω
αβ
β
β
α
α
α
β
ρω
c
cTC
E
−
+
+
+
=
2
2
)
1
(
2
)
1
(
2
1
2
2
2
2
Амплитуда горизонтальной составляющей смещения на поверхности
z
=0
и на расстоянии
r
от источника , согласно формуле (2.52), равна
(
)
r
C
U
π
αβ
β
2
/
1
−
=
откуда
)
1
(
2
αβ
β
π
−
=
r
U
C
и, учитывая, что
π
ω
2
=
T
,
86
2
2
2
2
2
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
)
1
(
2
αβ
β
αβ
β
β
α
α
α
β
ρ
π
−
−
+
+
+
=
Достарыңызбен бөлісу: |