Республикасының



жүктеу/скачать 326,84 Kb.
бет17/21
Дата29.01.2022
өлшемі326,84 Kb.
#115787
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21
Байланысты:
is 4

Рунге-Кутт әдісі

Басқа шынайы (яғни мәні k алдыңғы мәндер бойынша



шынайы есептеледі) және бірқадамды (k=1) әдістер бар. Олардың ішіндегі ең көп таралғаны Рунге-Кутт әдісі. Оның негізінде түрлі дәлдік қатардың айырмалы сызбалары тұрғызылады (7.1-кестесін қараңыз). Рунге-Кутт әдісінің неғұрлым көп қолданылатын сызбасы – 3-сызба.


    1. кесте

№

Формула

Қосымша айнымалылар

Қате реті

1

y  y  1 (k  4k  k )

i1 i 6 1 2 3
k1  h  f (xi , yi ),

k  h  f (x  h , y  k1 ),

2 i 2 i 2

k3  h  f (xi  h, yi  2k 2  k1 )


O(h4 )

2

y  y  1 (k  3k )

k1  h  f (xi , yi ),

k  h  f (x  h , y  k1 ),

2 i 3 i 3

k  h  f (x  2h , y  2k 2 )

3 i 3 i 3


O(h4 )




i1 i 4 1 3




3

y  y  1 (k  2k  2k  k )

k1  h  f (xi , yi ),

k  h  f (x  h , y  k1 ),

2 i 2 i 2

k  h  f (x  h , y  k 2 ),

3 i 2 i 2

k 4  h  f (xi  h, yi  k3 )
O(h5 )




i1 i 6 1 2 3 4







  1. сызбадағы есептеу формуласына қарап отырып, Рунге – Кутт әдісінің алгоритмін қарастырамыз (7.1-кестені қараңыз):

а) ( ) (бастапқы шарттар); б) есептелген мәндерінің қорыту;

в) есептеу;

г) ( ) ( ) ⁄ ( ). (y-тің жаңа мәнін есептеу); д) (келесі нүктеге өту);

е) Егер б) бөліміне өтеді.

Рунге-Кутт әдісі көп есептеулер жүргізуді қажет етеді, алайда айтарлықтай дәлдікке ие болғандықтан есептеуді үлкен қадаммен жүргізуге мүмкіндік береді. Бұдан басқа, бұл әдістің маңызды артықшылығы (мысалы, Адамс немесе Адамс типті әдістер алдындағы) - «айнымалы қадамды» пайдалану мүмкіндігі, яғни біркелкі емес торларда есептер жүргізуге болады.
Мысал 7.2. Рунге – Кутт әдісін пайдаланып, y(0) = 1 бастапқы


шартымен [0, 1] бөлігінде

дифференциалдық теңдеуін шешу.



Қадамды h = 0.05 деп алып, алғашқы үш нүктені табу керек.
Шешуі. Сандарды табамыз
( ) ( ) ( ) 0,05;

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Осыдан


( )

Сонымен, болғанда

Дәл осылай -ні және т.б. табамыз.

Көрініп тұру үшін барлық алынған нәтижелерді 7.2-кестеге енгіземіз.


    1. кесте

xi
Рунге-Кутт әдісі

yi f(

xi, yi)

K1

K2

K3

K4

0

1

1

-

-

-

-

0.05

1.0477

0.9089

0.05

0.0477

0.0476

0.0454

0.1

1.0912

0.8321

0.0454

0.0435

0.0434

0.0416

0.15

1.1311

0.7658

0.0416

0.0399

0.0399

0.0383



    1. Адамс әдісі

Адамс сызбасында , келесі мәнін есептеу үшін -нің мәні ғана емес, бірнеше алдыңғы мәндері де қолданылады.



бірқалыпты торда (7.1)-(7.2) есебінің шешуінің ( ) бірнеше жуықталған мәні ( ) ) табылды деп есептейік және келесі ( ) мәнді есептеу үшін ереже керек. Мұндай

ережелерді қорыту үшін интегро- интерполяциялы әдіс қолданамыз: (7.2)

теңдеуінің оң және сол жақ бөліктерін


( ) ( ) ∫ ( ( )) ( )

теңдеуінен алынған [ ] аралық бойынша интегралдап, интеграл астына ( ( )) функциясының орнына оны интерполяциялайтын ( ) көпмүшесін қоямыз. Әрі қарай, болғанда, ( ) ( ( )) дискретті жуықталған мәндерді қысқашалап деп белгілейміз.

Ньютонның екінші интерполяциялы (5.9) формуласы бойынша

түйінінен кейін интерполяциялау кезінде аламыз:



( ) ( ) ( )


( )


( ) ( )

( )

(7.4) теңдеуіне ( ) көпмүшесін қою ( ) кезекті мәнін есептейтін мына түрдегі формулаға әкеледі:





( ) ( ) ∫ ( ) ( )

(7.6)-дағы интегралға Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану

нәтижесінде Адамстың көпқадамды әдісін аламыз.



∫ ( ) интегралындағы айнымалыны ауыстырамыз

∫ ( ) ∫ ( )


Сонда (7.4) формуласын келесі түрде жазуға болады:

( )

мұндағы



∫ ( )



[

(

) ( )



( ) ]







) ( )

Демек, (7.8) негізінде Адамс-Башфорт экстраполяциялы әдісін анықтайтын келесі соңғы-айырмалы формула шығады:



(

) ( )
Адамс-Башфорт (7.3-кестесін қараңыз) әдісінің (7.7) формуласының параметрінің бірнеше алғашқы мәндеріне сәйкес келетін қарапайым дербес жағдайларын қарастырайық. (7.7) формуласына тіркелген кезде интерполяциялы көпмүшенің дәрежесі (нөлдік, бірінші, екінші және т.б.) және, сәйкесінше, (7.8) формуласының оң жағындағы немесе (7.9) формуласындағы 1, 2, 3, ..., тең қосындылар саны беріледі.

Наиболее употребильной схемой метода Адамс әдісінің неғұрлым көбірек пайдаланатын сызбасы 4-сызба.




    1. кесте




n мәні

Есептеу формуласы

Дәлдік

қатесі


1

n=0

( )

( )

2

n=1


( )



[ ( ) ( )]




( )

3


n=2






[ ( ) ( )



( )]


( )

4


n=3










[ ( ) ( )



( ) ( )]



( )


Мысал 7.3. y(x=0) = 1 бастапқы шартпен [0, 1] бөлігінде

y' 

y x y x

дифференциалдық теңдеуін шешу. x4 нүктесінде Адамс әдісімен

(коррекциямен) шешу, қадамды h = 0.05 деп алып, бастапқы үш нүктедегі шешуді Рунге- Кутт әдісімен шешу.



Шешуі. Бастапқы төрт нүктедегі функцияның мәнін 7.2 кестесінен аламыз (алдыңғы бөлімдегі 7.2-мысалды қараңыз).



( )
( )


    1. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есептерін Рунге- Кутт әдісімен жуықтап шешу.

Қарастырылған әдістер дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу үшін де қолданылуы мүмкін. Мұны мына екі теңдеулер жүйесі жағдайында көрсетейік:



( )

{

( )

( )


3-сызбаны, Рунге-Кутт формуласын қолданып, мына түрде жазамыз:



( )



{

(

( )



)



( )
( )


( )



( )

( )
( )


( )



( )

Егер (7.1) - (7.2) жоғары ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі қарастырылса, онда ол дифференциал теңдеулер жүйесіне теңдеу ретінің кемуімен, қарапайым жолмен келтіріледі.

2-ретті дифференциал теңдеу үшін Коши есебін шығару керек делік.



( )
( ) ( ) ( )

Екінші белгісіз ( ) ( )функциясын енгіземіз. Сонда тұжырымдалған Коши есебі келесімен ауыстырылады:



( )



{

( )





( ) ( )

Сөз соңында бірқадамды әдістің артықшылығын белгілейміз: әрбір жаңа есепті түйінде шешім алу үшін алдыңғы түйіндегі функция мәнін алу жеткілікті. Бұл i=0-ден бастапқы белгілі мәнге дейін есептеулер жүргізуді іске асырады. Сонымен қатар, бұл артықшылық есептеу үдерісінде кез-келген нүктеде қадамды өзгертуге рұқсат етеді, ал бұл автоматты қадам таңдаумен сандық алгоритмдер тұрғызуға көмектеседі.




жүктеу/скачать 326,84 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21



©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет