Дәлелі. Ұйғарымды вектор функция таңцап алайық . бұл кезде . Онда функционалдың бірінші вариациясы
мұндағы
. (4)
Жоғарыдағы өсімшелері өзара тәуелсіз, ендеше шартынан . Онда (4)-тен Лагранж леммасынан Эйлер тендеуін (3) аламыз. Теорема дәлелденді.
Ескерту: ретті дифференциалдық тендеудің шешімі ; тұрақтылары шарттарынан анықталады.
ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ТУЫНДЫЛАРДАН ТӘУЕЛДІ ФУНКЦИОНАЛДАР. Келесі есепті қарастырайық:
(5)
(6)
4-теорема. функциясы (12) функционалын (13) шартында әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін оның Эйлер-Пуассон
(7)
тендеуінің шешімі болуы қажет.
Дәлелі. ,
яғни функциялары үшін бөліктеп интегралдаған соң функционалдың бірінші вариациясы
түрінде жазылады. Сонда шартынан Лагранж леммасына орай (7)-тендеу алынады. Теорема дәлелденді.
Ескерту: (14)- ретті дифференциалдық тендеу, ал оның шешімі ; тұрақтылары
шарттарынан анықталады.
Дәріс10. Тақырыбы: ИЗОПЕРИМЕТРЛІК ЕСЕП. ШАРТТЫ ЭКСТРЕМУМ.
