Лагранж леммасы. Егер - үзіліссіз функция және
(12)
онда
Дәлелі. Қарсы жориық яғни кейбір нүктеде .
Мәселен, анықтық үшін сан делік. Онда функциясының үзіліссіздігінен кезінде болатын ε0>0 саны табылады. функциясын келесі түрде таңдаймыз:
Онда интеграл
Бұл (12) шартына қайшы. Лемма дәлелденді.
Эйлер теңдеуі. Ізделінді функциясы Эйлер тендеуі деп аталатын дифференциаддық теңдеулердің шешімі болатынын көрсетейік. Эйлер теңдеуінің алғашқы қорытылуын Лагранж леммасының негізінде аламыз.
2-теорема. функциясы (5) – есептегі J(x, и) функционалын әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін осы функция Эйлер тендеуін:
(13)
қанағаттандыруы қажет.
Дәлелі. Жоғарыдағы (6) - теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін J(x, и) J(x0, и0) орындалсын дейік. Сонда көрсетілген функциялар (13) тендеудің шешімі екендігін көрсетейік. Шынында да, бірінші ретті қажеттілік шартына сай нүктесіндегі бірінші вариация:
(14)
Бөліктеп интегралдағаннан кейін екінші қосылғыш
түрінде жазылады. Енді (14) өрнегін мына түрде өрнектейміз
Осыдан, Лагранж леммасына орай
десек (13) теңдеу алынады. Теорема дәлелденді. Бойында Эйлер тендеуі орындалатын функциялары экстремәлдар деп аталады.
Негізгі әдебиеттер: 7 /40-44/, 5/141-157/ Қосымша әдебиеттер: 6 /133-152/
