Лагранж леммасы. Егер - үзіліссіз функция және
(12)
онда
Дәлелі. Қарсы жориық яғни кейбір нүктеде .
Мәселен, анықтық үшін сан делік. Онда функциясының үзіліссіздігінен кезінде болатын ε0>0 саны табылады. функциясын келесі түрде таңдаймыз:
Бұл (12) шартына қайшы. Лемма дәлелденді.
Эйлер теңдеуі. Ізделінді функциясы Эйлер тендеуі деп аталатын дифференциаддық теңдеулердің шешімі болатынын көрсетейік. Эйлер теңдеуінің алғашқы қорытылуын Лагранж леммасының негізінде аламыз.
2-теорема. функциясы (5) – есептегі J(x, и) функционалын әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін осы функция Эйлер тендеуін:
(13)
қанағаттандыруы қажет.
Дәлелі. Жоғарыдағы (6) - теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін J(x, и) J(x0, и0) орындалсын дейік. Сонда көрсетілген функциялар (13) тендеудің шешімі екендігін көрсетейік. Шынында да, бірінші ретті қажеттілік шартына сай нүктесіндегі бірінші вариация:
(14)
Бөліктеп интегралдағаннан кейін екінші қосылғыш
түрінде жазылады. Енді (14) өрнегін мына түрде өрнектейміз
десек (13) теңдеу алынады. Теорема дәлелденді. Бойында Эйлер тендеуі орындалатын функциялары экстремәлдар деп аталады.
Негізгі әдебиеттер: 7 /40-44/, 5/141-157/ Қосымша әдебиеттер: 6 /133-152/
