1-мысал. Брахистохрон есебіндегі функция . Демек
(5)-теңдеу
түрінде жазылады. Осыдан мұндағы . Бұл дифференциалдық тендеудің шешімі - циклоида доғасы.
2-мысал. (Гильберт мысалы). шарттарында функционалын минимумдайық. Бұл кездегі
Эйлер тендеуі , түрінде жазылады. Дифференциалдық теңдеу шешімін жазайық: . Мына
шарттарынан . Ендеше
Дегенмен, функциясы [0, 1] кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функция емес.
3 - мысал. (Вейерштрасс мысалы). Айталық
болсын. Эйлер тендеуінің түрі:
Осы теңдеу шешімі: . Дегенмен , нүктесі арқылы бұл үйірдің бірде бір қисығы өтпейді.
Байқайтынымыз: Эйлер тендеуі әлсіз локәлдік минимумның бірінші ретті қажеттілік шартынан алынғандықтан, бірқатар есептер үшін, ол шешім болып табылады. Бірақ келесі жағдайларда кездеседі:
Эйлер тендеуінің жалғыз шешімі бар, бірақ ол әлсіз локәлдік минимумға да, әлді локәлдік миинмумға да жеткізбейді;
шешімдер сансыз көп, және олардың бәрі U -дағы глобәлдік минимумын береді;
шешімдер сансыз көп, бірақ олардың еш бірі әлді немесе әлсіз локәлдік минимумге жеткізбейді;
Эйлер тендеуінің берілген нүктелер арқылы өтетін бірде бір шешімі жоқ. (3 - мысалды караңыз).
Больц есебі. Мына функционалды минимумдайық:
, (6)
мұндағы - бекітілген сандар, ал қарапайым есептен айырмашылық: шамалары бекітілмеген.
1-теорема. Мәселен делік және айнымалылары бойынша екі рет дифференциалданатын болсын. Онда функциясы (6) функционалын әлсіз локәлдік минимумге жеткізуі үшін ол Эйлер теңдеуін
(7)
мына
(8)
шарттарында қанағаттандыратын шешім болуы қажет.
Дәріс 8. Тақырыбы: Вейерштрасс шарты. Лежандр шарты. Якоби шарты.
Достарыңызбен бөлісу: |
