Вейерштрастың қажетті шарты. Жай есепке оралайық. Әлсіз локәлдік минимумның қажетгі шарттары әлді локәлдік минимумның да қажетті шарттары болатындықтан функционалды әлді минимумге жеткізетін функциясы Эйлер теңдеуінің шешімі болып табылады. Дегенмен, мұнымен қатар әлді локәлдік минимумның тікелей анықтамасынан шығатын қосымша қажетті шарттар да орындалуы тиіс. Мұндай шарт - Вейерштрастың қажеттілік шарты.
1-анықтама. Жай есептің Вейерштрасс фунциясы деп төрт айнымалыдан тәуелді
формуласынан анықталатын функциясын айтамыз.
Ескерту: егер функциясы, бекітілген кезінде, айнымалылары бойынша дөңес болса, онда 1-теоремаға орай барлық үшін функция мұндағы .
1-теорема. Қарапайым есепте функциясы функционалды әлді локәлдік минимумге жеткізуі үшін Эйлер теңдеуінің шешімі бойында кез келген нүктесінде
. (1)
теңсіздігі орындалуы қажет.
Дәлелі. Мәселен функциялары үшін
, .
орындалсын дейік. Сонда (1) - өрнек жүзеге асатынын көрсетейік.
Ескерту: Эйлер тендеуін қорытқан кезде функциясынын дербес жағдайы болып табылатын функциясын алғанбыз.
